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Posted By Mr. Thursday 拓樸 (topology) 在研究一種抽象轉換的關係,不管是函數、實數集合、或是普通離散物品的集合,拓樸的轉換都可以應用在上面。對於不是以數學為專業的讀者來說,要如何了解拓樸呢?就可以試著從上圖一目了然。上面這張圖有三列,每一列有三件物品,雖然這三件物品看起來外觀形狀都不相同,但是在拓樸學家的眼裡,這三件物品是等價的。等價英文用equivalent來表示,就是說三件物品,在壓縮扭曲拉開等各種變化之後,就可以變成另外一件東西的形狀,但是轉換的過程中,沒有「打斷」物品上面任何一個地方,所以是等價的轉換。所以第二列來看,在拓樸學家眼中,一個甜甜圈、有把手的茶杯、和捲筒,是等價的!但是拓樸的轉換,和語意又有甚麼樣子的關係呢?

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Posted By Mr. Thursday 集合(Set)的概念可以在日常生活中常常見到。小時後我們可能都玩過「大風吹」的遊戲,大風吹,吹甚麼?吹有戴眼鏡的人,吹穿皮鞋的人,吹長頭髮的人。每講到一種特徵,符合這個特徵的人就要趕快起來換位置,但是因為原來講特徵的人也會搶位置,所以速度最慢的人,就變成下一個要講特徵的人了。因此每一個特徵,就形成一個集合。譬如說一個班級,考試成績大於70分的人,形成一群集合,考試成績小於90分的人,又形成另一群集合,我們如果要找成績大於70分又小於90分的人呢?只要把剛才兩個集合取交集(intersection)就可以了。除此之外,集合還有其他基本的運算,像是聯集(union),補集(complement),和差集(difference)。經由這些基本運算,可以幫我們處理不少事情,也讓數學家、統計學家、或是資訊科學家,可以在集合上面建立各種理論或應用。接下來就讓我們來看看,集合成為哪些理論的基礎或是延伸?下圖把一些集合的運算做視覺化(visualization):

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