Category Archive for '數學'

現在你的眼前有三扇門1 2 3 ,其中一扇門背後的是巨額獎金,另外兩扇門的背後則是「很感謝你參加這個遊戲,祝你下次好運」,遊戲主持人示意你選擇其中一扇。在主持人和觀眾的喧鬧聲之中,你戰戰兢兢地選擇了1號 。這個時候遊戲主持人問︰「你真的要選擇1號門嗎?」你說︰「是的。」在這個時候,遊戲主持人沒有立刻揭盅,他把2號門打開了,你很緊張的往裡面看,幸而2號門並沒有你在造夢時也想得到的獎金,正當你鬆一口氣的時候,主持人對你說︰「我現在給你多一次機會,你要堅持選你的1號門,還是轉為選3 號門呢?」 這個便是十分有名的Monty Hall problem,這個名字來自當年美國一個類似遊戲的節目主持Monty Hall。 你會怎麼選?

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算術平均數(下)

在算術平均數(上)文中,我一開始便說算術平均數(Arithmetic mean)是以刪掉資訊來換取簡潔的表達,但文中只簡單提及了在用平均數時我們失去了方差(Variance)的資訊,這次就讓大家看看平均數在不同的情況下,分別刪掉了什麼吧。 還記得Windows XP 和Mac OS X的例子嗎?如果你為你的程式在Windows XP 和Mac OS X 的環境下分別進行了1000次測試,得出的結果是︰在Windows XP中程式運行所需時間平均30秒,而在Mac OS X中則平均10秒。當有人問及你相關的資料時,你可以有以下三種回答方法︰ (1)XP 第1次︰32秒,XP第2次︰29 秒,XP第3次︰31秒…..OS X 第1次︰8秒,OS X第2次︰12 秒………………………(把所有測試的結果通通列出來) (2)OS X 的1000 次測試中,平均時間10 秒,Windows XP 的1000 次測試中,平均時間30秒 (3)在Windows XP 和Mac OS X 的2000 次測試中,平均時間20 秒。 有看算術平均數(上)的讀者們,應該知道我又想說「(3) 的資訊比(2)少,(2)的資訊比(1)少」和「三個答案沒有誰對誰錯,答哪一個才好是取決於對方想要什麼」但如果我們是知道對方想要什麼資料的話,這三個答案便有好壞之分。

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算術平均數(上)

統計學工具,可以協助我們把多餘的資訊刪減,令人們可以更清楚方便地看到他們需要的資訊。以大家一定懂得的「算術平均數」(Arithmetic Mean)為例,如果你編寫了一個改圖程式,為了測試它的速度。你在不同的環境,不同的時間,重複運行某功能1000次,然後把所需時間記下來。這個時候,如果有人問及你一些有關你的程式的運行速度的資料,你可以把你的測試告訴他。在報告測試結果的時候,你可以選擇說︰ 1. 第1次︰38秒,第2次︰36秒,第3次︰37秒,第4次︰38秒….(把所有記下來的時間讀出來)……….. 或 2. 平均運行時間是37秒。 這兩個答案沒有誰對誰錯,要回答哪一個就取決於對方想要什麼?想要仔細的資訊?還是想要一個簡潔,但又具代表性的數字?但可以肯定的是,2.的資訊比1. 的要少。因為如果我得到1. 中的資訊,我可以把2.所提及的平均數計出來,但我只知道2.的話,卻不可以把1.的資料計出來。換句話說,為了換取簡潔,我們使用「平均數」這個工具,把一些我們認為是多餘的資訊刪去了。 讀者可能會說,這只是小朋友都懂的算術題,有必要說得這樣複雜嗎?如果這些說話只是在一般朋友間的對話中,可能問題不大,反正大家在很多時候都只是想看個大概,細節上有什麼誤解也無傷大雅。但當這些平均數被廣泛用在廣告、公共資訊(如天氣預告)和資訊紀綠(如成績單)中,我們就得費點工夫去了解,這些平均數是在說些什麼了,或者他們刪除了什麼了。

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Posted By Mr. Thursday 在《探討拓樸和語意之間的關係》這篇文章裡面,稍微探討了語意的問題,以及拓樸對於語意問題可能的解決方法。然而在拓樸方面,只有約略和各位提到,拓樸就是對一個集合作運算,集合裡面的元素,不管怎樣子擴張壓縮變形,之間的關係都會維持著,這種運算就符合拓樸的條件。如果對於集合的基本想法和運算有些不記得,可以先參考另外一篇文章《集合: 從邏輯到1+1=2》。 因此,為了解決用電腦來處理語意資訊的這個問題,筆者打算用拓樸來嚐試解決,拓樸又是使用集合作為運算的基本單位,因此有了前面第一篇拓樸的簡介文章,以及第二篇有關集合的簡介文章。然而拓樸空間本身的定義,則是有一定程度的複雜性,接下來的一系列文章,我將努力把拓樸的觀念,在使用白話文、卻又不失去數學公式所定義的觀念下,向各位介紹「拓樸」(topology),然後介紹「流形」(manifolds),最後回到一開始設定的目標:「用流形 (manifolds) 來嚐試解決語意 (semantic) 問題」。 在這條漫長的道路裡面,今天我們先來看其中的一小段。今日的主角是「開集合」,英文是 open set。有了集合的基本概念,再加上「開集合」的概念,我們就可以開始了解「拓樸空間」的基本定義,在這條路上往前一步,同時也可以了解相關的概念:「歐氏空間」、「度量空間」、以及最廣義的「拓樸空間」。  

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Posted By Mr. Thursday 集合(Set)的概念可以在日常生活中常常見到。小時後我們可能都玩過「大風吹」的遊戲,大風吹,吹甚麼?吹有戴眼鏡的人,吹穿皮鞋的人,吹長頭髮的人。每講到一種特徵,符合這個特徵的人就要趕快起來換位置,但是因為原來講特徵的人也會搶位置,所以速度最慢的人,就變成下一個要講特徵的人了。因此每一個特徵,就形成一個集合。譬如說一個班級,考試成績大於70分的人,形成一群集合,考試成績小於90分的人,又形成另一群集合,我們如果要找成績大於70分又小於90分的人呢?只要把剛才兩個集合取交集(intersection)就可以了。除此之外,集合還有其他基本的運算,像是聯集(union),補集(complement),和差集(difference)。經由這些基本運算,可以幫我們處理不少事情,也讓數學家、統計學家、或是資訊科學家,可以在集合上面建立各種理論或應用。接下來就讓我們來看看,集合成為哪些理論的基礎或是延伸?下圖把一些集合的運算做視覺化(visualization):

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Posted By Mr. Saturday 之前 Mr. Saturday 曾經在 無人車橫越沙漠!–初探 Computer Vision (電腦視覺) 一文中粗淺地介紹過電腦視覺這個有趣的研究領域,裡頭中有提到了美國國防部對於這類研究之所以這麼重視,主要還是因為電腦視覺的技術一但成熟,應用到軍事科技上,將會有相當可怕的成果出現,為什麼說可怕呢?因為美國要是真正打造出智慧型的無人載具,那麼其軍事力量將會更加強大,最近我在經濟學人上又看到了一篇有關於無人載具 (unmanned vehicles) 的相關報導,裡頭就是在講有一位教授 Ronald Arkin 最近在做的事情。

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Posted by Mr. Thursday 這篇文章的標題翻譯成中文是:「康威:生命遊戲」。康威(John Horton Conway)是一位劍橋的數學家,生命遊戲是他在1970年發明的小遊戲。這個遊戲是一個模擬遊戲,首先有一個長方形棋盤,裡面劃分成許多小格子。每一個可以是活的細胞或死的細胞。每一步棋盤的狀態可以影響下一步的狀態,規則是: 如果某一格細胞在時間 t 是活著的話,那麼在時間 t+1 的時候 如果這格細胞只有一個鄰居或沒有鄰居活著的話,就死去 (因為孤獨) 如果這格細胞有四個或更多鄰居活著的話,就死去 (因為擁擠) 如果這格細胞剛好只有兩個或三個鄰居,則繼續活著 如果某一格細胞在時間 t 是死的話,那麼在時間 t+1 的時候 如果這格細胞剛好有三個鄰居的話,就活起來

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