Category Archive for '數學'

Posted By Mr. Thursday 對於一般大眾來說,提到機率,或許最先想到的三件東西,不外乎就是銅板、骰子、以及撲克牌。對於數理背景的讀者來說,機率可能有各種應用,也是統計學的基礎,機率本身也有自己的理論基礎等等。然而今天想要探討的,是機率所代表的一般意義。 機率究竟代表什麼樣子的意義呢?譬如說0.5,譬如說50%、80%,這些數字,代表什麼事情呢?譬如說擲銅板,每次的結果,不是正面、就是反面,你說公正的銅板,正反兩面的機率是0.5,但是我每次出來的結果不是正面就是反面,不會是一半正面一半反面的銅板,那麼這個0.5有什麼樣子的意義呢?

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如何讓球由內翻到外

Posted By Mr. Thursday 拓樸 (topology) 數學的一支,其趣味的地方在於可以把物體在不產生碎裂的情況下,經由各種轉換,從一個形狀變成另外一個形狀,但是物體本身各種性質沒有被改變。 下面這段影片就是非常神奇的例子,是把一顆球的內面,經過一連串的轉換,變成球的外皮,過程中沒有產生任何破碎的地方。不過真的拿一顆球可能也沒辦法像影片裡面的球一樣,因為影片裡面是假設球可以穿越自己,但是對於不產生破碎的規則仍然有遵守。

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Posted by Mr. Friday 這次系列的主題是網路世界裡的Power Law。這個主題其實很不好寫,因為這個數學模型到處在生活中都看得到,而且在不同的場合、不同的環境下,人們往往對這個現象有著不同的意義詮釋。因此這個題目可以說是包羅萬象,即使今天這個主題只把範圍限制在網路世界裡,能夠寫的內容還是相當的多。 何謂Power Law? Power Law好像沒有什麼好記的中文名字,「冪次現象」是我所能查到的最廣用的中文翻譯,但大多數人聽到這四個字依舊是一頭霧水。不過也許換個角度,我把它改叫「長尾理論裡的那條曲線」,或許大部分的人就有印象了。這並不是在亂扯,最早開始談論長尾理論的文章〈Wired – The Long Tail〉裡,就明確的說到Power Law這個字眼。不過在解讀它的商業意義之前,還是先來了解一下這是什麼東西吧。

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Posted By Mr. Thursday 在本體論: 讓舉一反三變得可能裡面提到了機器在規則上面的學習,本體論 (ontology)是一件重要的事情,因為有了ontology,機器可以舉一反三,一件事情學習一次,可以以此類推到其他相同性質的事情上面,就如同我們第一堂數學課,學過了一顆蘋果加上一顆蘋果等於兩顆蘋果,考試的時候問一顆橘子加上一顆橘子等於幾顆橘子,我們知道是兩顆橘子,因為我們學到的是一個抽象後的規則: 1 + 1 = 2 ,不會因為蘋果換成橘子,就無法變通。 早期的人工智慧系統,是從邏輯出發,把外在的世界,轉換成一句一句的邏輯規則。或許我們會想問,為甚麼要用邏輯來表示外在世界呢?我們的大腦是用邏輯來處理事情嗎?首先,邏輯 (logic) 可以保證 sound and complete。甚麼又是 sound and complete呢?或許西方的法院裡面,證人作證之前,會先發誓說:I will tell the truth, the whole truth, nothing but the truth. (我會說實話,全部的真話,除了真話以外的都不說。) 因此 complete (完備) 就像是裡面所說的,「全部」的真話,不是部份的真話。sound (可靠) 就像是證人說的,「真話以外」都不說。因此我們如果使用邏輯內在表示法,來表示外在的真實世界,我們進行推理的時候,就不會推理出不會發生的事情。然而真實世界非常複雜,一滴雨滴從天上掉下來,中間溫度的變化,空氣摩擦力,地心引力,旁邊的雨滴,有許多的因素 (factor) 可以影響最後雨滴的位置。我們如果要用邏輯推理,前提的部分可能就要考慮所有可能的因素,才能保證我們用邏輯寫下來的規則,是真實的。 近代人工智慧系統,則是用機率表示法,加上統計對觀察資料的處理,來表示外在的世界。機率不會保證一個規則的sound and complete,但是會給這個規則一個機率值。如果機率值是0.7,代表說如果用了這個規則,100次裡面會有70次正確。或是說,如果有100次機會,70次用這個規則,會有最好的結果。再舉一個例子來說,今天我的手對著一把刀片揮下去,會被砍出一個傷口。我們就學一個規則:比手硬的東西,揮下去會受傷。但是一片硬的牆壁,手揮下去卻又沒有傷口,我們只好修改一下邏輯規則:比手硬,又尖尖的東西,揮下去會受傷。可是一堆沙堆出來一個刀片形狀,手揮下去,是沙堆破掉手沒有事情。因此對於邏輯系統來說,總是會一直出現「例外」,前提必須要不斷修改,才能保證整個規則的真實性。機率表示法來說,就是把例外當成可能發生的事情,「比手硬的東西,揮下去會受傷」的機率是0.8等等,剩下0.2的機率就是那些例外。不過機率也不全然是隨便給定,沒有真實的參考價值,也是要滿足一些基本條件,像是所有事件的機率加起來等於1等限制,因此可以證明如果照著算出來的機率值來行動,可以得到最好的期望值。 但是,除了邏輯和機率這兩種內在表示法,是否就沒有其他表示法,可以保證推理結果的真實性,又能夠處理真實世界複雜的各種因果關係,讓我們繼續活下去呢?或是說,怎樣子讓電腦計算機,可以像人類一樣,舉一反三,能夠化整為零,察覺到最細微的關鍵變化,又能夠「見樹又見林」,知道各個部分之間的關聯性,對整個全局 (big picture) 能夠有所了解呢?在這邊我想提出一個想法,就是「化整為零」。

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Posted By Mr. Thursday 子曰:「舉一隅不以三隅反,則不復也。」所謂舉一反三,就是可以靈活應用已經學過的規則,在新的情況上面。譬如說,第一堂數學課,可能會教到一顆蘋果加上一顆蘋果,等於兩顆蘋果,但是考試的時候問到,一顆橘子加上一顆橘子,等於幾顆橘子?這個時候我們不會因為蘋果變成橘子,就忘記後面一個抽象化的規則:1 + 1 = 2 。因此,舉一反三就是能夠把經驗歸納成一個規則來表示,但是這個規則是一條具有彈性的規則,可以在適當的情況下拿出來應用,即使現在面對的情況和過去遇到的經驗有些微不同,譬如說蘋果變成橘子,但是我們可以把經驗抽象萃取出來的規則,靈活運用在新的情況上面,因此一顆橘子加一顆橘子,就如同一顆蘋果加上一顆蘋果一樣,答案是兩顆橘子。 對於人類來說,舉一反三在某些領域,人類表現得不錯,然而電腦計算機來說,舉一反三仍舊是人工智慧的一個瓶頸,主要的問題,我想本體論的學習與維持,是其中一環。接下來我就分別就「規則」、「本體論」,分別介紹和討論,一起探討如果要讓計算機和人一樣,可以舉一反三,有哪些困難,又有哪些可能的解決方法?

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Posted By Mr. Thursday 我們的大腦複雜無比,裡面的神經網路錯綜複雜,也因此讓我們能夠表現智慧的行為。現今一些人工智慧 (AI: Artificial Intelligence) 的問題,或許可以透過參考人腦的神經網路,來設計一個可以處理視覺、聽覺、文字等資訊的人工智慧系統。除此之外,如果還能夠像人類一樣,能夠自我調整、自我學習,儘量減少人類對系統直接的調整,是最好的了。然而人腦的神經網路,又是如何自我學習、自我調整呢?今天就先和各位分享神經網路調整的兩種方法:海扁學習和STDP,並且另外介紹神經網路同步化 (synchronized)和同多步 (polychrnous)的模型,進一步探討可能的神經網路模式,或許對人工智慧自我學習的方法上,也能提供一些參考! Hebbian Learning Donald O. Hebb (1904 – 1985) 是一位神經心理學家 (圖1 Donald O. Hebb),他對神經網路最重要的一個貢獻,就是 Hebbian Learning ,在這邊我就暫且先翻譯成 海扁學習法。甚麼是海扁學習法呢?海扁學習是在學習甚麼東西呢?首先,讓我們先回憶一下,我們的大腦裡面,是由許許多多的神經元 (neuron) 所組成,神經元和神經元之間,有著連結,叫做神經鍵結 (synapse)。神經元和神經鍵結整個形成一個網路,可以讓神經訊號到處傳遞,就稱為一個神經網路 (neural network)。 我們外在的行為,就是因為神經網路接受了刺激,處理之後產生了反應。然而從刺激到反應之間訊號如何被處理、被轉換,讓我們的行為表現出有智慧的樣子呢?這就牽涉到神經元之間的連結了,因為某些神經元之間連結弱一點,某些神經元之間的連結強一點,我們就可以針對不同的刺激,產生不同的反應,進而表現出智慧的行為。如果我們再縮小範圍來看整個網路裡面的某兩個神經元,接著我們就要問,這兩個神經元之間的連結強度,要怎樣子變強變弱呢?Hebb就針對這個部分提出他的假設,後來也經由許多實驗資料證實,成為海扁學習法了。

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你看到一套防毒軟件,這個軟件聲稱會對你下載的所有檔案都掃描一次,病毒偵測準確度達99%。 這個「99%」令你眼前一亮,心想︰「這個軟件看來相當可靠,準確度99%呢﹗﹗」於是你便把它買下,並成功把它安裝了。 安裝了這個軟件一段日子,有一天,這個軟件突然響起警報,這個時候最正常的問題便是「我下載的檔案真的帶有病毒嗎?」又或者說,這個軟件誤鳴的機率有多高? 你認為誤鳴率就是 1- 99% = 1% 嗎?

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