聖彼德堡悖論

Danial Bernoulli (Source: http://www.benomics.org/)

Mr Thursday在介紹機率的一篇文章中,談及人們可以利用期望值的概念,對不確定的事情的價值進行估算。這次我想談談一個和期望值有直接關係的悖論 – 聖彼德堡悖論﹝St Petersburg Paradox﹞

聖彼德堡悖論所提及的情形是這樣的,如果現在有一個遊戲,首先擲一個銅板,如果擲出正面,你便會得到1元,這樣遊戲便結束了。但如果擲出反面,便要再擲一次,如果在這個時候擲出正面,便賺2元﹝2^1﹞,同樣,擲出反面的話便要再擲一次。在如果在這次才擲到正面,你便得到4元﹝2^2﹞,如果是反面則再擲,一直繼續,直到擲出正面才結算。

總括而言便是「出現反面便再擲,如果出現正面你便得到x元,x是2的n-1次方(x=2^(n-1)),而n則是一共擲了多少次」。

這個遊戲的結果是一種「不確定的事情」﹝因為我不知道會出現多少次反面啊﹞,人們如何估量這種事情的價值?換句話說,就假設這個個銅板真是是1/2 機會出現正面,1/2 機會出現反面,你會願意付出多少錢來換取可以參加這個遊戲的權利?

表面上好像沒有什麼特別,但如果我們利用期望值進行估算,這個遊戲的期望值竟然是…….

期望值=(1/2)*1 + (1/4)*2 + (1/8)*4 + (1/16)*8 + (1/32)*16 ……….= (1/2)+(1/2)+(1/2)+…… = 無限大?!

期望值的確是這樣計出來的,1/2 的機會得到1 元,1/4 機會得到2 元,1/8 機會得到4 元,如此類推……….最後把它們都加起來,不就是期望值了嗎?那就是說這個遊戲的期望值是無限大,但問題是,我猜沒有人會為了玩這個遊戲付出很多金錢吧,想想看啊,這個遊戲很有可能只會讓你得到1 ,2 或4 元,不要說「無限大」了,要付出100元去玩這個遊戲也嫌太多了吧。可是為什麼大家都不願意付出很多金錢去換取這個期望值是無限大的遊戲呢?

對於這個悖論,有很多人都提出過解釋,第一個是利用了期望功用理論,這和之前提及的功用理論是有點關係的。

期望功用理論

Log Function (Source: Wikipedia)

數學家Daniel Bernoulli提出,我們對一項物品的價值是由它帶給我們的功用而來的,即使是金錢或財富我們也可以用同樣的說法,就是說我們應估量的,是這個金錢或財富帶給我們的功用的期望值,而不是金錢本身的期望值。

他說我們可以用一個功用函數來表達金錢帶給人們的功用,然後把功用的期望值計算出來,他選用的功用函數是對數函數,即是說,擁有1元,帶給我們的功用數值是log(1),擁有2元,則是log(2),擁有x 元便是log(x),而這個log(x)才是我們真正要估量的價值。

如果利用這個函數把期望值重計一次,便知道那絕對不是「無限大」,某程度上是解答了聖彼德堡悖論。

可是,在云云這麼多的函數中,為什麼他偏偏要選擇對數函數?原來對數函數有一個重要的特性,就是它是不斷的上升,而且是越升越慢的,這個特性正好表達了一個窮光蛋得到5000元便高興得很,但一個億萬富豪得到5000元卻不覺得有什麼特別高興這種情況﹝註一﹞。而事實上,如果我們選其他會「越升越慢」的函數﹝例如平方根﹞,也有差不多的效果。

我明白說到這兒一定有很多人跑出來說這個函數有問題,但Daniel Bernoulli這個解答的漏洞還不止這一個。更嚴重的問題是,即使對數函數真的可以把功用表達出來,但只要我們把這個遊戲稍稍調整,例如由大家擲到正面時可以得到2^(n-1)元,改為exp(2^(n-1))元,那麼不管你是說這個遊戲的期望值,還是它的功用的期望值也好,通通都變成無限大了。但明顯地,即使這種調整是令這遊戲賞金提高了不少,仍然沒有人們會肯付出數萬元去換取玩這個很有可能只能得到少於數十元的遊戲的。

總括來說這個利用期望功用理論的解答是問題多多,但原來Daniel Bernoulli 的表親Nicolas Bernoulli 也對這個悖論提出了一個解釋,他是從人們對那些不太可能發生的事件的態度來看這個悖論的。

人們傾向不理會太可能發生的事件

Source: http://wowbox.tw/

Nicolas Bernoulli 所提出的是,當我們仔細看看期望值的計算︰
期望值= (1/2)*1 + (1/4)*2 + (1/8)*4 + (1/16)*8 + (1/32)*16 …….
期望值的確是無限大沒錯,但一開始的數項﹝(1/2)*1 + (1/4)*2 + (1/8)*4﹞已經把最有可能發生的數個情況寫出來了,餘下的﹝(1/16)*8或之後的﹞都是那些發生機率很低很低的事﹝機率是(1/32),(1/64),(1/128)………﹞,而人們會很重視機率大的數項﹝就是你很大機會會得到1 ,2 或4 元﹞,而不會理會後面那些不太可能發生的可能性。這樣看,他們當然就不肯付很多錢去參加這個遊戲啊。

維基百科中提及Nicolas Bernoulli這個解釋的問題在於,很多心理學的展望理論﹝Prospect theory﹞或實驗經濟學到得到結論都說「人們是會過於重視那些不太可能發生的事件」,這和Nicolas Bernoulli 所提出的剛好相反。可是要留意一點,很多在心理學或實驗經濟學中提及的「人們是會過於重視那些不太可能發生的事件」,都是指造成損失的事件,好像是如果有一個遊戲是有0.0001% 你會損失很多錢,你便會感到過於害怕而不敢玩,即使只是0.0001%。但這不代表把事件換成是像聖彼德堡悖論中那種「賺錢事件」時,結果都會一樣﹝補充︰這兒我說得太武斷了,請看小光的回應﹞試想,同一個人,可以因為對出現很低機率的損失很重視,但同時又對很低機率的賺錢機會覺得沒什麼感覺吧。所以我不太贊同wikipedia中所說「現代的展望理論推番了Nicolas Bernoulli的解釋」的說法。可是我看過的心理學文獻實在很少,如果說錯了請指正。

是因為對方根本付不起

這個是在眾多對聖彼得堡悖論的解答中我最喜歡的一個,簡單說這個解答便是「人們不肯付錢玩這個遊戲,是因為對方賠不起」。也許你會說,難道你找一個極極極度有錢的人開設這個遊戲,人們就會付出數萬元去玩這個很可能只派1或2 元的遊戲嗎?答案是,是,但這個「極極極度有錢」是什麼意思?

如果我們假設對方有十億元,也就是說如果你真的十分好運,連擲29 次反面,到第30 次才擲正面,對方便會破產,那時只好賠你十億元了事。如果我們依照之前的說法,把期望值計算出來,又會得到什麼?
期望值=(1/2)*1 + (1/4)*2 + (1/8)*4 + (1/16)*8 + (1/32)*16 …….+ 1000000000*(1/2)^30 = 15.93

原來如果對方「只有」十億元這麼「少」的錢,我們對這個遊戲的期望值便由「無限大」跌至15.93 元,而在真實世界提供這種遊戲給我們的人,應該不會有十億元吧,如果他們最多只可以賠數十萬元﹝也不算是小數目了﹞,那麼期望值就真的只餘下數元了。如果說我們只願意付出數元去玩這個遊戲的話,看來期望值對於這個遊戲價值的估量也不是太差。

後記

維基百科對St Petersburg paradox還有更詳細的解釋,也有一些上面沒有提及的解答,有興趣的讀者可以去看看。原來寫這種paradox 也蠻難的﹝還以為會比較輕鬆﹞,本來還想在一篇裏寫完St Petersburg paradox, Allais Paradox 和Ellsburg Paradox,現在看來還是在另一篇才寫吧。

﹝註一﹞對數函數還表達了人們對風險的厭惡,這也解釋了為什麼用這個函數可以某程度上可以用來解答聖彼德堡悖論,如果用文字來說就相等於說「單用期望值的話沒有考慮風險因素,而人們不肯付出無限多的金錢去玩這個遊戲是因為他們不想承受這個遊戲的風險」

補充圖片

decision-weight-function

Source: Kahneman and Tversky "An Analysis of Decision Under Risk" Econometrica Vol 47 No 2(Mar1979)

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