貝氏定理(上) – Monty Hall 的三扇門

現在你的眼前有三扇門1 2 3 ,其中一扇門背後的是巨額獎金,另外兩扇門的背後則是「很感謝你參加這個遊戲,祝你下次好運」,遊戲主持人示意你選擇其中一扇。在主持人和觀眾的喧鬧聲之中,你戰戰兢兢地選擇了1號 。這個時候遊戲主持人問︰「你真的要選擇1號門嗎?」你說︰「是的。」在這個時候,遊戲主持人沒有立刻揭盅,他把2號門打開了,你很緊張的往裡面看,幸而2號門並沒有你在造夢時也想得到的獎金,正當你鬆一口氣的時候,主持人對你說︰「我現在給你多一次機會,你要堅持選你的1號門,還是轉為選3 號門呢?」

這個便是十分有名的Monty Hall problem,這個名字來自當年美國一個類似遊戲的節目主持Monty Hall。

你會怎麼選? 第一感可能告訴你,選1號門 和選3號門 有分別嗎?中獎機會不是都是二分之一嗎?

答案是︰這樣的遊戲規則(你先選一扇門,主持人選一扇沒有獎金的門,把它打開,你可以重選一次)之下,如果你轉換你的選擇至3號門,你贏得獎金的機會會增加一倍。為什麼呢?(補充︰主持人是知道那一篇門有獎金的,所以他絕對不會開出有獎金的門)

在解決這個機率問題前,先和大家複習一下貝氏定理(Bayes Theorem)吧。

翻開統計學課本,貝氏定理是這樣說的

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

這個數式在說什麼呢?P(A)和 P(B) 分別是A 和B 兩個事件發生的機率,而P(A|B)就是在已知B 事件的情況下,A事件發生的機率。仍是很複雜嗎?還是看看例子吧。

現在有一堆人,當中有7/10 喜歡看書(這是定理中的P(A)),這堆人中有一半是女生 (這是定理中的P(B)),而且我們知道,在喜歡看書的人中有 4/7 是女生(這就是P(B|A))。這樣如果我們在這堆人中隨機選一個人,剛好選中了一個女生,這樣我們便可以利用貝氏定理把她喜歡看書的機率計出來。

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

P(喜歡看書|女)=P(女|喜歡看書)*P(喜歡看書)/P(女)

=(4/7)*(7/10)/(1/2)= 4/5=80%

好了好了,這和三扇門的問題有什麼關係呢? 仔細看看上面的例子,在還未知道那個人是男生或女生之前,如果我們要猜那個人喜歡看書的機率,我們會猜70% (就是本來的P(A))。但我們在知道那人是女生之後,基於喜歡看書的人大部份都是女生這一項資料,我們會把70% 這個機率向上調整(到80%),同理,如果知道那個是男生的話,我們便會把我們的估計向下調整。至於調整多少,則是用貝氏定理的公式計出來。換句話說,利用貝氏定理,我們便可以用「喜歡看書的人大部份都是女生」這一項資料幫助了我們可以更準確地估計某人喜歡看書的機率。 三扇門的問題的重點,在於我們如何可以利用主持人開門這個動作,更準確地估計「門後有獎金」的機率。

使用之前提及的公式,這次的事件A 是「1號門有獎金」,而事件B就是「主持人把2號門打開」。

P(A)=1/3︰P(A)就是1號門有獎金的機率,當然是1/3。

P(B|A)=1/2︰如果1 號門有獎金,主持人就要在2號和3 號之間隨便打開一扇,所以P(B|A)=1/2。 P(B)=1/2︰這是因為這兒有兩個可能性,第一個可能性是1號門有獎金,這樣「主持人把2號門打開」的可能性就是P(B|A),也就是1/2,第二個可能性是3號門有獎金,這樣主持人只可以打開2號門,所以機率是1,所以P(B)=(1/2)(1/3)+(1)(1/3)=1/2 (這個可能有點複雜,在下篇用一個表來解說好了。)

用公式就以可以計出 P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開)=(1/2)(1/3)/(1/2)=1/3

所以堅持選擇1號門,贏得獎金的機率就只有1/3 ,但選擇轉到3 號門,勝出機率就會是2/3。 和女生看書的例子一樣,本來每一扇門有獎金的機率都是1/3,但利用了「主持人把2號門打開」這一項資料,我們便把對3號門有獎金的機率估計上調了。

除了把機率計出來,還有很多不同的解釋方法,以下是我比較喜歡的一個︰

「如果你不會轉換選擇,那麼你便要一開始選中獎金才會贏,勝出機率就是1/3。但如果你轉換選擇,那你你一開始選中無獎金的門才會贏,所以勝出機率就是2/3。」

和用貝氏定理把機率計出來的方法相比,你比較喜歡哪一個解釋呢?

很多時候在解說一些抽象的概念時,都會用些數學工具幫助解說。可是有時候用的工具也有點抽象,有些人便會說「數是這樣計出來,但我就是不相信那個結果」。這個時候,請大家玩一下這個遊戲可能比教大家計算機率更實在。如果讀者們不認同上述的計算方法的話,不妨到以下這一個網址︰

http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm

試玩百多局之後,有沒有發現「轉換到另一扇門會令你得勝」的局數,大概是「堅持原來選擇會令你得勝」的局數的一倍呢?

最後,希望各位讀者明白,很多時候貝氏定理(或是很多其他機率有關的定理)都會得出一些和大家的想法不一樣的結果。真實情況下很多人都會說他們覺得不論是否轉換,得獎機率都是1/2,甚至大家有堅持本來的選擇的傾向。但這些定理只告訴我們「轉換選擇可使你中獎的機率加倍」,而不是「人們都應該轉換選擇」。

人們傾向堅持本來的選擇,有很多種不同的解釋,其中一個解釋是「主動責任」問題。意思是說如果我選擇了放棄本來的選擇,但後來發現了我本來的選檡來是對的,心靈上的傷害會很大。不知大家有沒有試過,在考試中答錯了題目可能沒有什麼特別難受,但如果本來答對了,後來又不知為什麼改了答案,後來發現本來答的才是正確的答案,這個時候會覺得很不好受。所以參加者們即使是選擇了1/3 的中獎機會而不是2/3 ,也不見得他們就很不理性。這些計算是讓我們更清楚勝出的機率,而不是讓我們批評其他人的行為是否理性的。

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