[MMDays專欄] 探討拓樸和語意之間的關係

Posted By Mr. Thursday

拓樸 (topology) 在研究一種抽象轉換的關係,不管是函數、實數集合、或是普通離散物品的集合,拓樸的轉換都可以應用在上面。對於不是以數學為專業的讀者來說,要如何了解拓樸呢?就可以試著從上圖一目了然。上面這張圖有三列,每一列有三件物品,雖然這三件物品看起來外觀形狀都不相同,但是在拓樸學家的眼裡,這三件物品是等價的。等價英文用equivalent來表示,就是說三件物品,在壓縮扭曲拉開等各種變化之後,就可以變成另外一件東西的形狀,但是轉換的過程中,沒有「打斷」物品上面任何一個地方,所以是等價的轉換。所以第二列來看,在拓樸學家眼中,一個甜甜圈、有把手的茶杯、和捲筒,是等價的!但是拓樸的轉換,和語意又有甚麼樣子的關係呢?

我們在討論拓樸語意的關係之前,已經了解拓樸,所以現在來解釋一下語意(semantics)。首先我們可以看看下面這張圖:

meaning

所謂語意,可以說是用語言來表達意義,因此在語意網路裡面,文字和意思,會有一些對應的關係。然而意思除了人頭腦自己想出來的意義,有些意義是有所指謂的,也就是說,有些意義是會對應的真實世界裡面的物體事情、或是事情之間的關係。所以在上面這張圖裡面,我用實心的藍色圓,代表真實世界裡面的物體、事情、或是事情之間的關係。我用空心的藍色圓,代表人腦裡面,對這是事物產生的對應的「意義」。用實心的正方形,代表我們人類使用的語言,對這些「意義」所做的對應。這張圖就表達了我們人類要描述世間萬物的時候,先在大腦裡面產生「意義」來對應世間萬物,在用「語言」輔助我們讓意義更清晰、更細膩地被表示,或是幫助人與人之間可以用「語言」來溝通彼此大腦裡面所想到的「意義」。

世間萬物意義、和語言之間的對應關係

上面那一張圖,除了從「世間萬物」、到「意義」、到「語言」有三層結構外,中間有三種不同顏色的線條,分別代表著不同層之間,三種不同的對應關係綠色我用來代表「多對一」的關係,紅色我用來代表「一對多」的關係,咖啡色我用來代表「一對一」的關係。這些關係是甚麼意思呢?舉例來說,先看綠色「多對一」的關係:

meaning

這就是說「多個意思」,在語言裡面只用「一個字」來表達,也就是比較模糊,或是可能產生一語雙關的地方。一些「一字多義」的單字,像是 content,當名詞的時候表示「內容」的意思,當形容詞的時候,有「知足、滿足」的意思。紅色線條,則是代表「一對多」的關係,也就是說一個意思,可能用兩個以上的單字來描寫,讓一個概念更細膩的被描述,或是說在不同的場合,對同一個概念有不同的字,或是不同的人身上,同樣的概念用不同的單字。譬如說愛斯基摩人,因為長年接觸和雪,因此冰和雪不再是一個簡單的概念,而是可以詳細劃分的概念,譬如說薄冰、厚冰、和刨冰。咖啡色關係則是「一對一」的關係,也就是單字和意思,是一樣多一樣細膩,每個概念,都有對應的單字來表示來形容。

這是單字層意義層之間的關係。意義層世間萬物層的對應關係,也和剛才提到的一樣,綠色的多對一,紅色的一對多,以及咖啡色的一對一關係。意義和單字的多對一代表頭腦裡面有把意思做區分,但是言語上面比較粗略。意義和單字的一對多,代表頭腦裡面某一個特定的意思,在言語上會隨著交談對象或是應用場合,有更細膩的文字區別,或者因為鑽研多年,有更詳細的區分。一對一則可以說整個系統很完備(complete)了。

一對一多對一一對多對應關係

愛斯基摩人的例子,則是同樣適用於意義世間萬物對應的關係,因為同樣都是,在大腦裡面會詳細區分是哪一種冰,一種物體對應多種意思 (物體到意義的一對多),此時如果概念在隨著交談場合,用更細膩的文字做區分,就會變成是一種意義對應多個單字了(意義到單字的一對多),譬如說「我」的概念,可能有「我」、「吾」、「在下」、以及「朕」。相反地,多對一 (多個物體用一種意思代表),就是模模糊糊,多個意思用一個單字,也是模模糊湖,或是同意字的關係了,譬如說「行」、「走」、「跑」,都用「移動」來表示,就是多種意思,只用一個單字來表示了。

語意和拓樸的關係

所以拓樸在不打斷物品的情況下扭曲後會等價,和語意的各種對應關係,有甚麼樣子的關聯呢?首先我們看一篇文章,一篇文章有一篇文章要表達的意思,然而同樣一篇文章,我們可以用中文寫,也可以用英文寫,但是對應的意思是一樣的。又或者同樣都是中文,我們可以改寫一篇文章,讓文章長度更長,或是言簡意賅,讓文章長度變短,然而意義上是等價的。這就是我覺得拓樸和語意之間有關聯的部分了。意義可以說是「概念」和「概念」之間的關聯性 (relation),譬如說生物包括動物和植物的這種分類關係,或是行、走、跑,都是移動;移動和轉動,都是動作等抽象關係。然而一旦關係確定後,語言上面可以有不同的變化,可以有同義詞多對一,可以有細膩描述的一對多,也可以用類似數學符號一對一嚴謹的對應,用完備的系統來描述意義。這就和拓樸裡面的物品,只要物品表面上面點和點之間的關係 (relation)不變,也就是沒有「打斷」,物品扭曲擴張壓縮,形狀怎樣子不一樣外觀怎樣子不同,拓樸結構看起來,都是一樣的。

最後,拓樸裡面有一種結構叫做流形,英文叫做 manifolds。這是一種拓樸結構,所以全域 (globally)來看,他和拓樸結構一樣,扭曲擴張壓縮,都可以維持等價。然而流形 (manifolds) 特別的地方在於,區域 (locally) 來看,他可以轉換成歐氏空間(Euclidean Space)。不管歐氏空間是甚麼東西,只要能夠轉換成歐氏空間,就代表現在各種機器演算法都可被處理,因為距離的衡量,就是直接相減就可以得到,不過在這個時候扭曲壓縮擴張,距離就會跟著變,關係就會亂掉了。但是流形 (manifolds) 可以全域上扭曲壓縮擴張,保持原來的關係等價區域上又可以轉換成歐氏空間用相減來計算距離,因此我才會猜測 (postulate),流形 (manifolds) 這個結構,是適合處理語意相關的問題的。

不過光是猜測,可能不大足夠。如果是數學家,要寫出證明才算數;如果是電腦科學家,要寫出程式可以跑出結果才算數;如果是企業家,要變成成品,有使用者開始使用才算數。無論如何,總是有個起點,接下來就是繼續努力往前跑了!共勉之。

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