[MMDays專欄] 集合: 從邏輯到1+1=2

Posted By Mr. Thursday

集合(Set)的概念可以在日常生活中常常見到。小時後我們可能都玩過「大風吹」的遊戲,大風吹,吹甚麼?吹有戴眼鏡的人,吹穿皮鞋的人,吹長頭髮的人。每講到一種特徵,符合這個特徵的人就要趕快起來換位置,但是因為原來講特徵的人也會搶位置,所以速度最慢的人,就變成下一個要講特徵的人了。因此每一個特徵,就形成一個集合。譬如說一個班級,考試成績大於70分的人,形成一群集合,考試成績小於90分的人,又形成另一群集合,我們如果要找成績大於70分又小於90分的人呢?只要把剛才兩個集合取交集(intersection)就可以了。除此之外,集合還有其他基本的運算,像是聯集(union),補集(complement),和差集(difference)。經由這些基本運算,可以幫我們處理不少事情,也讓數學家、統計學家、或是資訊科學家,可以在集合上面建立各種理論應用。接下來就讓我們來看看,集合成為哪些理論的基礎或是延伸?下圖把一些集合的運算做視覺化(visualization):

set

 首先來介紹一下羅素 (Bertrand Russell)。羅素是一位現代的哲學家,但是他的著作除了在哲學上面,像是《西方的智慧》把西洋哲學史用比較白話卻又豐富的方式講解出來,另外還有政治上的著作,像是《權力論》、《中國的問題》,不過因為這是20世紀初期的著作,因此現在中國的問題已經和書本裡面的問題不大一樣了。更驚訝的是,他還有數學上面的著作,也就是《數學原理》(Principia Mathematica),厚厚的一本,分成3卷,所以是厚厚三本,我沒有讀過,不過他主要完成的一件事情,就是證明1 + 1 = 2。1 + 1 = 2?這不是第一次學數學的時候就會學到的東西嗎?然而1 + 1 = 2要如何證明是真的呢?我們生活中用的好好的,不一定就表示整個算數系統是正確的!

因此羅素使用了集合邏輯這兩大工具,用一大本書,證明了1 + 1 = 2這件事情。在這之前,我們對正整數系統是否正確,可能要用皮亞諾(peano不是piano)的正整數五大公設(axiom),如果要問正整數系統對不對,我們就問題皮亞諾五大公設對不對。然而經過羅素的證明之後,我們如果要知道1+1=2對不對,只需要問「集合」和「邏輯」系統對不對,而不需要再證明其他東西對不對了。

在這邊羅素也建構出一個羅素謬論(Russell’s Paradox),簡單地說,就是要找一個集合(大風吹),集合裡面的元素,必須是不包含自己的一個集合。然而假設我們找出這個集合,就會矛盾,因為我們會問這個集合有沒有包括他自己?如果沒有包括,依照定義,必須把他自己列入,才算是我們要找的集合,但是把他自己列入,又違反定義,因為我們要找一個不包括自己的集合。如果要看數學符號來描述這件事情,可以參考維基百科的說明

羅素悖論:設性質P(x)表示「x\not\in x」,現假設由性質P確定了一個類A——也就是說「A=\{x|x \not\in x\}」。那麼現在的問題是:A\in A是否成立?首先,若A\in A,則AA的元素,那麼A具有性質P,由性質PA\not\in A;其次,若A\not\in A,也就是說A具有性質P,而A是由所有具有性質P的類組成的,所以A\in A

羅素悖論還有一些更為通俗的描述,如理髮師悖論書目悖論

除了羅素對於集合在數學上面的貢獻,還有哪些理論是透過集合來建立呢?接下來讓我們看看群論(Group Theory)。群論就是使用集合作為基本的元素,在上面用一些公設(axiom)來限制,就變成一個有意義的運算單位,除了(group),還因為運算元從加法(additive),推廣到乘法(multiplicative),變成(ring)和(field),最後成為向量空間(vector space)的基礎。因此不管是有理數、正整數,都可以用群論這個更基礎的理論來定義出來。

在統計方面,則是有Dempster-Shafer Theory。他們結合「機率」和「集合」兩個基礎的理論,發展出信任的理論(belief theory),也就是在一個集合的冪集合(powerset,包含所有集合元素的列舉子集合的集合)上面,進行機率的運算,讓一個機率事件除了「真」、「假」以外,還可以有「未知」的機率值,現在在網路服務的應用上,需要的信任學習(Trust Learning),也可以運用Dempster-Shafer Theory來做延伸。下面列出Dempster-Shafer Theory最重要的公式:

最後最重要的是,流形(manifolds)。流形可以分成拓樸流形(topological manifolds)和代數流形(algebraic manifolds)。因為流形有全域的性質(global property),但是區域上會和歐式空間相同(Locally Hemeophrism to Euclidean Space),因此我個人覺得和語意(semantic)的處理滿有關係的。流形(manifolds)又是建立在拓樸(topology)上,拓樸又是建立在集合上,因此集合在這邊又顯現一次重要性了!下面是拓樸裡面常會看到的Mobius Strip

希望日後可以繼續和各位慢慢介紹,從集合,到拓樸(topology),到流形(manifolds)。即使各位不一定都是數學專家,我也會嚐試用白話文來解釋,讓各位即使沒辦法用數學符號來使用拓樸和流形,至少都能夠有基本的概念,或許結合各位讀者自己本身的專業,又可以有新的啟發!

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