對於一般大眾來說，提到機率，或許最先想到的三件東西，不外乎就是銅板、骰子、以及撲克牌。對於數理背景的讀者來說，機率可能有各種應用，也是統計學的基礎，機率本身也有自己的理論基礎等等。然而今天想要探討的，是機率所代表的一般意義。

機率究竟代表什麼樣子的意義呢？譬如說0.5，譬如說50%、80%，這些數字，代表什麼事情呢？譬如說擲銅板，每次的結果，不是正面、就是反面，你說公正的銅板，正反兩面的機率是0.5，但是我每次出來的結果不是正面就是反面，不會是一半正面一半反面的銅板，那麼這個0.5有什麼樣子的意義呢？

再繼續討論之前，也許先談談「資訊」的定義。資訊我們常常用文字來表達，譬如說新聞報導，也可以用數字表達，譬如說機率的數字。之所以用資訊來表達外界的事物或內在的想法，是因為這種溝通方式比較有效率。讓我們想像一下，如果今天我們晚上吃了一頓飯，並且唱歌跳舞很開心，回家後想要和家人分享。如果沒有文字，我們可能沒辦法一句話就講完這件事情，可能要比手畫腳，家人才會了解 (understand)。如果連比手畫腳這種濃縮訊息的溝通方式都不能用的話，唯一的方式大概就是，在家人面前吃一頓同樣的大餐，然後表演唱歌跳舞的樣子，家人看到才恍然大悟，原來你想表達的是「剛才吃了一頓大餐，同時有唱歌跳舞」。

如果每一件事情，都要重覆「做」一次才能讓對方了解，那溝通就會是一件非常累的事情了。好在無論是動物或人類，語言或非語言的溝通，我們都有辦法在不失去精準度和真實性的情況下，濃縮想要表達的訊息，傳遞給別人知道 (understand)。「資訊」用這種想法來說，就是任何一種表達事情的方法了。

機率表示永恆和大量情況的資訊

因此，如果「機率」也是一種「資訊」的表示方式，那麼機率想要表示什麼呢？為

coin

什麼說銅板正反面機率各是0.5，出來的結果不是正面就是反面，而不是正反面各一半跑出來呢？原因就是，機率是表示「永恆」和「大量」情況下，事物出現的次數比例。譬如說銅板丟1000次，約略會有500次會出現正面，另外500次出現反面。都銅板10000000000次，出現正面次數會更接近5000000000次，反面次數更接近5000000000次。

除了「永恆」，「大量」的情況，也是機率可以表示的資訊，譬如說如果還是丟銅板，這一次一下子丟1000個銅板，約略會有500個銅板出現正面，500個銅板出現反面。每個銅板不是正面就是反面，但是把時間軸拉長，出現次數累積出來，就是機率所表示的0.5。每個銅板不是正面就是反面，但是把空間放大，一下子丟一大堆銅板，出現次數累積起來，也是機率可以表示的0.5。

因此，機率數字所代表的，不是當下的結果，而是在「長期」、「大量」的情況下，各種事件出現的比例。以銅板來說，就只有正反兩面，這兩種事件 (如果要考慮所有情況，可以多加一個事件代表任何例外情況，包括銅板立起來、丟不見、碎掉等各種例外情形，然後用極小的機率值來代表這些例外事件會出現的次數比例)。以公正的骰子來說，就是六面骰子出現，這六種事件需要給予機率值。以撲克牌來說，就是4種花色，每種花色13張牌，偶而加上鬼牌和小丑牌。

期望值：機率對行動的影響方式

所以或許會問，既然銅板每次不是正面就反面，那麼知道「長期」下來或是「大量」情況下，出現正反面機率各是0.5這項資訊，對我來說又有什麼影響呢？一件事情除了了解 (understand)，似乎也要對我們的行動 (action) 產生影響，才會有意義 (meaning)，而對行動的影響，又牽涉到我們的價值觀 (value) ，也就是對每一件事情所賦予的價值。當我們對每一件事情賦予價值 (value) ，無論是自己給的價值、社會要求的價值、後天學習的價值、與生俱來的價值觀、或是別人長期灌輸的價值觀，總之，經過價值觀，我們對每一件事情賦予了價值 (value)。

既然每一件事情有了價值，然後我們會追求最高的價值，那麼我們的行動就是要讓價值高的事件出現越多次越好。然後今天機率的資訊又告訴了我們每件事情出現的次數 (長期或是大量的情況下)，因此我們在每一次做選擇，也就是付出行動的時候，即使出來的結果不是正面、就是反面，但是長期下來，如果我們參考了機率表示的資訊，我們可以知道長期下來，某個行動，會得到多少價值。這也就是「期望值」(expect value) 想要表達的事情了！

譬如說某一個遊戲，遊戲規則是，丟銅板出現正面，要給對方100，出現反面對方會給100，正反面出現機率是0.5，那麼我們根據機率資訊，計算期望值，會得到0.5*(-100) + 0.5*(100) = 0，也就是說，期望值是0，也就是說，我們如果玩這個遊戲，長期下來，不會賠、但是也不會賺。因此機率的功用也就在這邊顯現出來，根據機率的資訊，我們可以對不確定的事物，有個估算，進而影響我們的行動，但是這個估算的結果，都是在長期或是大量的情況下，才會顯出作用。

機率在各種不確定情況的應用

因此，有了機率，以及進一步的統計 (今天還未提到統計)，在醫學上，我們可能根據病人各種檢驗結果，以及過去各種病人的資料，對癌症病人估計存活率，存活天數。或是經過各種檢驗報告，估計各種得到各種疾病的機率。但是當我們看到這些報告的時候，或許會有些困惑，我不是活著就是死去，不是有病就是沒病，我不會說70%的身體是活著，30%的身體是死的。如果我們也是用「長期」和「大量」來看待這些資訊的話，或許就比較能夠知道這些機率數字代表的意義，以及對行動和價值的影響 (如何治療？治療後的生活品質等等。)

之前在〈測不準原理淺介〉裡面，也提到「不確定性」這個詞，那麼不確定性要如何表示呢？或許在我們了解了「機率」這種數字表示法之後，也比較能夠知道「不確定性」要如何表達了。

另外一篇文章，則是 Mr. Saturday 曾經撰寫的〈別把隨機當必然〉，也是和機率有關的文章。如果可以的話，希望這一篇文章可以當成餐前的小菜，讓各位了解「機率」代表的意義之後，該篇文章讀起來也就比較能夠了解，也讀得更有味道了！

延伸閱讀

• (Wikipedia) Probability, 機率
• (MMDays) 測不准原理淺介
• (MMDays) 別把隨機當必然2

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這個「99%」令你眼前一亮，心想︰「這個軟件看來相當可靠，準確度99%呢﹗﹗」於是你便把它買下，並成功把它安裝了。

安裝了這個軟件一段日子，有一天，這個軟件突然響起警報，這個時候最正常的問題便是「我下載的檔案真的帶有病毒嗎？」又或者說，這個軟件誤鳴的機率有多高？

你認為誤鳴率就是 1- 99% = 1% 嗎？

在探討這個防毒軟件問題前，先回到貝氏定理(上) – Monty Hall 的三扇門中的女生看書例子。還記得那個例子嗎？我們可以用這個表描述該例子的情況:

這個表的意思是 (事件A是喜歡看書，not A 是不喜歡看書，B是指女生，not B 是指男生):
有20% 的人既是男生，又不喜歡看書。 (P(not B|not A)*P(not A))
有10% 的人既是女生，又不喜歡看書。(P(B|not A)*P(not A))
有30% 的人既是男生，又喜歡看書。(P(not B|A)*P(A))
有40% 的人既是女生，又喜歡看書。(P(B|A)*P(A))
女生佔50% (0.4+0.1)
男生佔50% (0.3+0.2)
不喜歡看書的人佔 30% (0.2+0.1)
喜歡看書的人佔 70% (0.3+0.4)

所如果現在我隨機選一個人，剛巧選到一個女生，要估計這個女生喜歡看書的機率，用貝氏定理
P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
配合 P(B)=(P(B|A)*P(A)+P(B|not A)*P(not A))

只要把數字代進公式便得到 0.4/0.1+0.4 = 0.8，和上篇得到的答案一樣是80% 。(當然是一樣了，因為是同一個定理，只是從不同角度去看而己)

留意即使你不懂那些煩人的機率公式，這兒也有一個很直觀的理解方法，便是
「女生有兩種，一種是不喜歡看書，佔0.1 ，第二種是喜歡看書，佔0.4，喜歡看書的便是全部女生中的4/5 了，所以當我們剛巧選到一個女生，我們便知道有80% 的機會她是喜歡看書的。」

很多時候，用一個表把機率列出來，是理解機率問題的最佳辦法。

回到一開始的問題。首先，故事裏防毒軟件廣告中的99% 是指，當有病毒入侵時，有99% 會響起警報，而不是響起警報時，有99%機會是真的有病毒，這兩個概念是完全不同的。
如果下載的檔案有0.005 的機會是帶有病毒(這是為了簡化問題，就把它看們是平均每200個下載的檔案中便有一個帶有病毒吧)。上述的情況便可以用以下的表來描述:

有病毒的機率是 (0.005)，當中99%警報會響起，所以
「有病毒同時警報響起」的機率便是 0.99*(0.005)=0.00495
同理
「有病毒同時警報沒響起」的機率便是 0.01*(0.005)=0.00005
「沒有病毒同時警報響起」的機率便是 0.01*(0.995)=0.00995
「沒有病毒同時警報沒響起」的機率便是 0.99*(0.995)=0.98505

結果就是

運用貝氏定理公式，我便知道
P(有病毒|警報響起)= 0.00495/(0.00495+0.00995)=33%
(又或者用文字說，警報響起有兩種情況，一是有病毒，佔0.00495，二是沒有病毒，佔0.00995，有病毒的情況佔總和的33%)

這便是說，即使病毒測試的準確度是99%，當警報響起時，仍然有67%機會是誤鳴。

這個例子告訴我們什麼呢？以下三個結論，是同等重要的。

1. 軟件在病毒出現時有很大機會響起警報，並不代表軟件響起警報時很大機會是有病毒出現。
2. 當有病毒時，軟件有大一點的機會響起警報的話，軟件響起警報時，真的是有病毒的機會也會提升。也就是說99%的確不代表「很準確」，但它仍是比80% 的準確度好一些。
3. 不要單看99%這個數字，便說某個測試是不是「很準確」，我們要看這個測試是要測什麼才下定論。

為什麼我要特別提出這三個結論是同樣重要呢？因為通常人們在分析這種例子時，常常把重點放在第一點來解說。可能因為這是一個較令人驚奇的結論吧，很容易會使人想到「99% 不代表什麼!!原來這個這個機率是騙人的!!我們不要理會它!!」。但不要忘記這是因為故事中病毒出現率是0.005，所以才會造成這樣的效果。如果病毒出現率是5% 或10%，你會發現用這個99%準確的軟件是確實是很準確的。就像以下的例子:

如果病毒出現率是0.1 而不是0.005

這樣P(有病毒|警報響起)= 0.099/(0.099+0.009)=92%

在這個情況下，警報響起時，只有8% 機會是誤鳴，和剛才的67%差很遠。所以這個99%的準確度雖然不代表誤嗚率一定很低，但我們不可以說這個99%是完全沒有意義的。

所以較好的說法是，當我們要測試的事情出現率很低 (好像0.005)，這樣一個99% 準確度的測試仍然會造成很高的誤鳴率，但如果要測試的事情出現率較高(好像0.1)，這個一個99% 準確度的測試已經很好了。測試的準確度是相對要測試的事情而言的，沒有一個絕對的「準確」和「不準確」的分界。在不知道要測試的事情出現機率下，我們是不能說某個測試的「準確度」是不是很高的。

而在我們選購這些防護軟件時，通常人們都會留意防護軟件的準確度，但其實病毒出現的機率也很重要。例如A 軟件比B 軟件可以測出多20% 種病毒，但其實那20%種病毒都是那些極罕見的病毒，出現率只有0.0000001%，這樣A軟件也不見得比B 軟件好很多。這個情況很常見，因為一般防毒軟件都是先做到可以處理常見的病毒，才處理那些很少出現的病毒的。

換個角度看，我們在判斷防毒軟件是否誤鳴時，不能單靠軟件的準確度，也要配合「病毒出現的機率」這項資訊。簡單來說，如果防毒軟件警報是在平常作業時響起，你可能還會以為它是誤鳴。但如果它在你正在瀏覽某些危險網站時響起，即使我們是在仍用同一個防毒軟件，我們對這個軟件是誤鳴的機率估計也會降低很多。

另外，在選擇防毒軟件時，很多時候我們會傾向選擇多疑一點的。也就是說寧可它誤嗚多一點，但不要在真的病毒時測不出來。這是因為誤嗚對我們造成的不便，遠比電腦中毒來得小。在上面的計算中，我是沒有理會這個分別的(正如在上篇中我也沒有把「主動責任」計算在Monty Hall problem中一樣)。但這涉及到所謂Type 1 error 和Type2 error，另文再說好了。

這兩篇有關貝氏定理的文章我羅列了很多不同的角度去看這個定理，我也不厭其煩地多說一遍，在學習定理時，不要只固守一個方式。有些人愛用數式証明，因為它們嚴謹清晰；有些人愛用直觀解說，因為它能把定理和日常的思考方法連在一起。我則有點偏愛模擬的方法，把統計問題中的情況用電腦甚至是用紙筆模擬運作數百次，讓我可以把結果看清楚。每個人都可以選擇自己喜歡的方式。

但當用自己喜歡的方式學懂了一個概念之後，便要嘗試看看自己是否明白其他角度的想法。畢竟如果我們真的明白一個定理的話，總不會因為它轉換了皮膚不認得它的。最常見的說法便是因為不喜歡用數式便每事都只用文字說過便算，又或是覺得計出了答案之後，便不用管內裏的原理。對我來說，嚴謹的計算和直觀的解說也是同樣重要的。硬要用一個不合自己的方法和定理糾纏，和用懂了一個方法便認為不用理會其他，同樣是對學習有害的。

補充1︰

運用和這篇中的列表方式，我們可以把上篇中的monty hall problem用這個表描述一次，假設你選了一號門

解說:
「1 號門中有獎金」同時「主持人打開2號門」的機率是 (1/2)(1/3)=(1/6)
「1 號門中有獎金」同時「主持人打開3號門」的機率是 (1/2)(1/3)=(1/6)
「2 號門中有獎金」同時「主持人打開2號門」的機率是 0，因為當2號門有獎金時，主持人便不會選2 號門了。如此類推。

所以，你選了1號門，在主持人打開2 號門之後，1號門有獎金的機率是 (1/6)/((1/6)+1/3))=1/3，而3號門有獎金的機率是 (1/3)/((1/6)+1/3))=2/3，同樣得到轉換結果可以使得獎機率加倍的結果。

和女生看書的例子同一原理，我們也可以把貝氏定理的計算解釋為︰
「主持人打開2號門，有以下兩種可能，第一是「1 號門中有獎金」，機率1/6 ，第二是「3 號門中有獎金」，機率1/3，所以「1 號門中有獎金」便在這兩個可能性中佔了1/3 了」

補充2:

這篇文章中我沒有詳細解釋貝氏定理如何把先驗機率(prior) 轉換成後驗機率(posterior)，畢竟一篇文章不可能什麼都寫完，相信在將來的文章中總有機會回到這個主題上的。現在可以說的是，貝氏定理不是憑空把一個機率算出來的，而是一個討論如何把機率估計上調或下調的定理。意思是我們本來對門後有獎金的機率有一個想法，好像1/2 (這便是先驗機率)，之後我們用貝氏定理，利用「主持人開門」的資訊把估計上調到2/3，(這便是後驗機率)。又或者是本來我們知道70%的人愛看書(先驗機率)，知道那人是女生之後，利用這個資訊我們把估計上調到80%(後驗機率)。而因為貝氏定理只是在說如何把先驗機率變成後驗機率，所以我一直都把先驗機率當成一項已知的資訊，沒有討論它的由來。

另外，由於先驗機率是主觀機率(subjective probability)，那麼計出來的後驗機率也是一個主觀機率。統計學中客觀機率(objective probability)是指我們經過反覆試驗得出的機率。當我們在遊戲之中，面對兩個門的選擇，這個情景如果不會重複出現，不能重複試驗，不論你是用貝氏定理把機率計出來，還是憑空亂猜一個機率，那個機率都是主觀機率，使用定理不會使你的機率變「客觀」了啊。(笑)

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這個便是十分有名的Monty Hall problem，這個名字來自當年美國一個類似遊戲的節目主持Monty Hall。

你會怎麼選？ 第一感可能告訴你，選1號門 和選3號門 有分別嗎？中獎機會不是都是二分之一嗎？

答案是︰這樣的遊戲規則(你先選一扇門，主持人選一扇沒有獎金的門，把它打開，你可以重選一次)之下，如果你轉換你的選擇至3號門，你贏得獎金的機會會增加一倍。為什麼呢？(補充︰主持人是知道那一篇門有獎金的，所以他絕對不會開出有獎金的門)

在解決這個機率問題前，先和大家複習一下貝氏定理(Bayes Theorem)吧。

翻開統計學課本，貝氏定理是這樣說的

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

這個數式在說什麼呢？P(A)和 P(B) 分別是A 和B 兩個事件發生的機率，而P(A|B)就是在已知B 事件的情況下，A事件發生的機率。仍是很複雜嗎？還是看看例子吧。

現在有一堆人，當中有7/10 喜歡看書(這是定理中的P(A))，這堆人中有一半是女生 (這是定理中的P(B))，而且我們知道，在喜歡看書的人中有 4/7 是女生(這就是P(B|A))。這樣如果我們在這堆人中隨機選一個人，剛好選中了一個女生，這樣我們便可以利用貝氏定理把她喜歡看書的機率計出來。

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

P(喜歡看書|女)=P(女|喜歡看書)*P(喜歡看書)/P(女)

=(4/7)*(7/10)/(1/2)= 4/5=80%

好了好了，這和三扇門的問題有什麼關係呢？ 仔細看看上面的例子，在還未知道那個人是男生或女生之前，如果我們要猜那個人喜歡看書的機率，我們會猜70% (就是本來的P(A))。但我們在知道那人是女生之後，基於喜歡看書的人大部份都是女生這一項資料，我們會把70% 這個機率向上調整(到80%)，同理，如果知道那個是男生的話，我們便會把我們的估計向下調整。至於調整多少，則是用貝氏定理的公式計出來。換句話說，利用貝氏定理，我們便可以用「喜歡看書的人大部份都是女生」這一項資料幫助了我們可以更準確地估計某人喜歡看書的機率。 三扇門的問題的重點，在於我們如何可以利用主持人開門這個動作，更準確地估計「門後有獎金」的機率。

使用之前提及的公式，這次的事件A 是「1號門有獎金」，而事件B就是「主持人把2號門打開」。

P(A)=1/3︰P(A)就是1號門有獎金的機率，當然是1/3。

P(B|A)=1/2︰如果1 號門有獎金，主持人就要在2號和3 號之間隨便打開一扇，所以P(B|A)=1/2。 P(B)=1/2︰這是因為這兒有兩個可能性，第一個可能性是1號門有獎金，這樣「主持人把2號門打開」的可能性就是P(B|A)，也就是1/2，第二個可能性是3號門有獎金，這樣主持人只可以打開2號門，所以機率是1，所以P(B)=(1/2)(1/3)+(1)(1/3)=1/2 (這個可能有點複雜，在下篇用一個表來解說好了。)

用公式就以可以計出 P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開)=(1/2)(1/3)/(1/2)=1/3

所以堅持選擇1號門，贏得獎金的機率就只有1/3 ，但選擇轉到3 號門，勝出機率就會是2/3。 和女生看書的例子一樣，本來每一扇門有獎金的機率都是1/3，但利用了「主持人把2號門打開」這一項資料，我們便把對3號門有獎金的機率估計上調了。

除了把機率計出來，還有很多不同的解釋方法，以下是我比較喜歡的一個︰

「如果你不會轉換選擇，那麼你便要一開始選中獎金才會贏，勝出機率就是1/3。但如果你轉換選擇，那你你一開始選中無獎金的門才會贏，所以勝出機率就是2/3。」

和用貝氏定理把機率計出來的方法相比，你比較喜歡哪一個解釋呢？

很多時候在解說一些抽象的概念時，都會用些數學工具幫助解說。可是有時候用的工具也有點抽象，有些人便會說「數是這樣計出來，但我就是不相信那個結果」。這個時候，請大家玩一下這個遊戲可能比教大家計算機率更實在。如果讀者們不認同上述的計算方法的話，不妨到以下這一個網址︰

http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm

試玩百多局之後，有沒有發現「轉換到另一扇門會令你得勝」的局數，大概是「堅持原來選擇會令你得勝」的局數的一倍呢？

最後，希望各位讀者明白，很多時候貝氏定理(或是很多其他機率有關的定理)都會得出一些和大家的想法不一樣的結果。真實情況下很多人都會說他們覺得不論是否轉換，得獎機率都是1/2，甚至大家有堅持本來的選擇的傾向。但這些定理只告訴我們「轉換選擇可使你中獎的機率加倍」，而不是「人們都應該轉換選擇」。

人們傾向堅持本來的選擇，有很多種不同的解釋，其中一個解釋是「主動責任」問題。意思是說如果我選擇了放棄本來的選擇，但後來發現了我本來的選檡來是對的，心靈上的傷害會很大。不知大家有沒有試過，在考試中答錯了題目可能沒有什麼特別難受，但如果本來答對了，後來又不知為什麼改了答案，後來發現本來答的才是正確的答案，這個時候會覺得很不好受。所以參加者們即使是選擇了1/3 的中獎機會而不是2/3 ，也不見得他們就很不理性。這些計算是讓我們更清楚勝出的機率，而不是讓我們批評其他人的行為是否理性的。

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