不知道各位是否有接聽電話插撥 (call waiting) 的經驗？ 我們會先把第一個接聽的人先暫時停著，然後接聽新打來的電話。不知道目前插撥最多能接聽多少通電話？假設依照這個方法一直接聽新的插撥電話，就會一直把上一通電話暫時儲存，等新接通的電話結束後，再回復上一通、上上一通、一直到第一通接聽的電話。

堆疊 (Stack) 就是類似的資料結構。「堆疊」有兩個方法 (method) 可以呼叫：推進 (push) 和 彈出 (pop)。透過這兩個方法的使用，我們可以達到讓資料「先進後出」的效果 (LIFO: Last In First Out)。甚麼是先進後出呢？讓我們再舉一個例子：搭電梯。當我們搭電梯的時候，通常最先進電梯的會擠在後面，後進電梯的比較靠近門口。如果都是同一層離開電梯，剛才比較慢近來電梯的人，反而是比較早離開電梯的人，這就是「先進後出」(LIFO) 的效果了。

再回到剛才接聽插撥電話的例子，正好就是先進後出的例子！最後插撥的先結束對話，最早打來的最慢結束對話。接下來讓我們看看，堆疊實際運作的情形，會向下面這一張動畫所顯示的：

上面這張圖就是顯示堆疊 (stack) 把三個數字 1、2、3分別push到堆疊裡面的過程。堆疊本身看起來就像是我們把書本放在桌上的樣子一般，最早放的書本會在最底下，最後放的書本會在最上面。當我們把書本從最上面開始拿 (pop) 的時候，會拿到最後放的書本，最後才拿到一開始放下去的書本。因此把數字從堆疊 (stack) 裡面 pop出來的過程，會像下面這張動畫顯示的樣子：

從上面這張圖，我們可以看出來，我們依照1、2、3的順序把數字 push 到堆疊裡面，pop的時候出來的順序就會變成 3、2、1，也就是先進後出了！

堆疊在遞迴式走訪樹的應用

介紹完了堆疊，最常應用到堆疊這個資料結構的演算法，應該就是「遞迴」 (recursive) 方法了。所謂遞迴，就像是站在兩面鏡子之間，相同的影像不停地反射，只是每反射一次都小一些。之前接聽插撥的例子也是遞迴的例子，就是先暫停目前的工作，但是不是忘記，而是先依照順序存起來，然後先處理新的工作。等到新的工作處理完，再按照先進後出的順序，把剛才暫停的工作回覆過來處理好。

因此，之前在〈由樹的前序、中序、後序走法來談資料結構〉裡面提到的前序、中序、後序的走法，也可以透過遞迴加上堆疊的資料結構來完成！譬如說上面這棵樹，我們從樹根7開始，發現有分支就往下走，但是我們先不把樹根忘掉，因此把樹根7 push到堆疊裡面。接者按照同樣的方法，往樹葉的方向走，一直走到樹葉的部分 ，再按照先進後出的順序，把堆疊pop出來的東西印出來，就是後序走訪這棵樹的方式了！

遞迴走訪樹的演算法如下 (移到文章後面以方便整理版面)

讓我們跑跑上面這一段演算法，演算法可以運作的東西，就是堆疊(stack)這個資料結構，以及輸入的這棵樹的資料結構。最後會輸出後序走訪這棵樹的過程。(請參考文章後面的過程，這邊先略過整理一下版面)

演算法和資料結構的用途 

因此到目前為止，我們終於知道了演算法和資料結構的初步的概念，也終於看到了一些基本的應用，像是「樹」、「堆疊」、「遞迴」等應用。然而或許還是會有些疑惑，就是演算法和資料結構，要怎樣子在電腦上面跑呢？如果說電腦聽不懂人類的自然語言，電腦又要怎樣子聽懂演算法的敘述呢？這邊我想先用一個比方來說明，也就是作文的比方。

當我們寫一篇作文的時候，我們可能會有一些寫作方法，譬如說第一段寫主旨，第二段寫例子，第三段寫反立推翻第一個例子，第四段寫結論，如此起承轉合，完成一篇文章。我們可能進一步把題目分成敘述文、論說文、和抒情文。不同種類的文章，我們會有不同的段落起承轉合。然而各類題目的段落安排方式，和我們用字淺詞的方式，可以分開來。甚至同樣的段落安排，我們可以用英文來寫。

因此演算法和電腦的關係，有些類似上面寫作比方的關係。電腦只看得懂機器0101碼，但是我們有高階程式語言，像是C, C++, 或是JAVA，透過編譯器 (compiler) 或是直譯器 (Interpreter)，可以把我們寫的程式翻譯成機器看的懂的機器0101碼。程式語言，就如同寫作的時候，可能用中文寫，也可能用英文寫。但是演算法和資料結構，則是像寫作的時後段落安排的方法，論說文一種方法，敘述文一種方法，抒情文一種方法，是一種介於作文題目和文章句子之間的轉換過程！

整理起來，寫作可以分成下面四個層次：

1. 作文題目和題型 (敘述文、論說文、抒情文、其他題型)
2. 段落安排 (針對題型的解決方法)
3. 文章實際的句子 (可以是中文、也可以是英文)
4. 每個單字的字母筆劃，或是中文字的筆劃 (包括標點符號的使用)

演算法資料結構對應這個層次的比方：

1. 要電腦處理的問題和問題類型 (排序、搜尋、比對)
2. 演算法和資料結構 (針對問題提出的解決方法)
3. 實際寫出程式 (演算法可以和程式一一對應，但不限任一種程式語言)
4. 程式透過編譯器(compiler)翻譯成機器0101碼

不知道看完這個例子，各位是否更了解資料結構的角色呢？電腦看不懂演算法或資料結構，但是演算法和資料結構，卻是問題解法和程式語言之間的橋樑！

下面列出剛才提到的地迴走訪樹的演算法和執行過程。樹 (tree) 除了可以排序、搜尋、搭配遞迴和堆疊以外，還有本體論 (Ontology) 的應用。其他各種樹狀結構，像是壘堆 (heap)、追求效率而發明的紅黑樹 (Red-Black Tree) 和費布那西樹 (Fibonacci Tree)等等。日後有機會再一一向各位介紹吧！

遞迴走訪樹的演算法如下

1. 設定目前節點在樹根

2. 如果目前節點有子節點 (child node)，就把目前節點先 push到堆疊，然後往下走。有兩個子節點的話先走左邊再走右邊的子節點。

3. 如果目前節點沒有子節點 (child node)，或是子節點已經拜訪過，就印出目前節點的號碼，並且 pop 出堆疊上一次儲存的節點，設定成現在要拜訪的節點，然後回到步驟2，直到堆疊變成空堆疊為止。

執行遞迴和堆疊來後序拜訪一棵樹的執行過程

step1:

current node: 7

stack: (empty)

printed order: (empty)

step2:

current node: 7

stack: 7   (###push 7###)

printed order: (empty)

step3:

current node: 3  (###go to left child node###)

stack: 7

printed order: (empty)

step4:

current node: 3

stack: 7, 3  (###push 3###)

printed order: (empty)

step5:

current node: 1  (###go to left child node###)

stack: 7, 3 

printed order: (empty)

step6:

current node: 1

stack: 7, 3

printed order: 1 (###print 1 because no other child nodes###)

 step7:

current node: 3  (###go back to node 3###)

stack: 7  (###pop 3###)

printed order: 1

step8:

current node: 2  (###go to right child node)

stack: 7, 3  (###push 3 again###)

printed order: 1

step9:

current node: 2

stack: 7, 3

printed order: 1, 2 (###print 2 because no other child nodes###)

step10:

current node: 3  (###go back to node 3###)

stack: 7  (###pop 3###)

printed order: 1, 2

step11:

current node: 3 

stack: 7 

printed order: 1, 2, 3 (###print 3 because child nodes are visited###)

step12:

current node: 7 (###go back to node 7###)

stack: (empty) (###pop 7###)

printed order: 1, 2, 3

step13:

current node: 6 (###go to right child node###)

stack: 7 (###push back 7###)

printed order: 1, 2, 3

step14:

current node: 6

stack: 7, 6  (###push 6###)

printed order: 1, 2, 3

step15:

current node: 4  (###go to left child node###)

stack: 7, 6 

printed order: 1, 2, 3

step16:

current node: 4

stack: 7, 6

printed order: 1, 2, 3, 4 (###print 4 because no other child nodes###)

 step17:

current node: 6  (###go back to node 6###)

stack: 7  (###pop 6###)

printed order: 1, 2, 3, 4

step18:

current node: 5  (###go to right child node)

stack: 7, 6  (###push 6 again###)

printed order: 1, 2, 3, 4

step19:

current node: 5

stack: 7, 6

printed order: 1, 2, 3, 4, 5 (###print 5 because no other child nodes###)

step20:

current node: 6  (###go back to node 6###)

stack: 7  (###pop 6###)

printed order: 1, 2, 3, 4, 5

step21:

current node: 6 

stack: 7 

printed order: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (###print 6 because child nodes are visited###)

step22:

current node: 7 (###go back to node 7###)

stack: (empty) (###pop 7###)

printed order: 1, 2, 3, 4, 5, 6

step23:

current node: 7

stack: (empty)

printed order: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (###print 7 because child nodes are visited###)

done!

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在〈由樹的前序、中序、後序走法來談資料結構〉文章裡面提到了演算法就像是做事情的方法，資料結構則是對應演算法可以運作的東西，譬如說刮鬍子有步驟一、步驟二、步驟三，但是要有刮鬍刀、插頭、以及鬍鬚，那些步驟才有運作的東西，甚至不同的刮鬍刀，也會讓同樣的步驟有不同的執行效率，或是連原來的步驟都要改變，譬如說不是電動刮鬍刀，原來步驟裡面插插頭的那一步，也就可以不用作了。演算法和資料結構之間的關係也是如此，譬如說排序的演算法，可以用不同的資料結構來實現，好的資料結構，可能某一種排序演算法最適合，對其他種排序演算法，可能反而讓速度變慢。

因此，演算法和資料結構，通常會一起考慮，而演算法每一步，也就是電腦可以實現的基本步驟所組成。譬如說兩個數字相加，或是把「樹」這個資料結構裡面的節點根據某種規則移動，都是電腦運算基本步驟所可以達成的。但是如果步驟是「改善排序的品質」的敘述，電腦可能就看不懂了，這時候就是程式設計師，把這些人看的懂的需求，轉換成電腦可以實現的步驟，也就是演算法和對應的資料結構，最後再用程式 (編程) (program)，變成電腦真的可以執行的語言，達到最初想要執行的功能。那麼今天想要完成的功能是甚麼呢？「排序」，排序就是把原本雜亂無章的一堆東西，按照某種順序排好，譬如說圖書館裡面的書籍，按照書籍的編號有小到大排好，譬如說醫院的病歷，按照病歷號碼有小到大排好，譬如說一堆檔案，按照字母順序或是檔案時間順序有早到晚排好，這些都是排序的應用。那麼電腦要如何完成「排序」(sort) 這件工作呢？「二元樹」 (binary tree) 怎樣子應用在排序這項工作呢？

在〈由樹的前序、中序、後序走法來談資料結構〉裡面提到了「樹」的資料結構，也提到了樹的三種走法，並且用「二元樹」 (binary tree) 為例子來講解。二元樹就是一種樹，只是每個節點 (node) 都只有兩個子節點 (child node)，看起來就像下面這張圖：

就這樣子，一層一層的樹枝分岔下去，只是每次只有兩個分岔，就變成二元樹 (binary tree) 了。假如子節點還有子節點，變成孫節點 (grand children node)，那麼子節點和孫節點一起，可以稱做一顆子樹 (sub-tree) ，也就是看成有一顆比較小的樹，接在子節點的位置上面，這就是上圖裡面虛線三角形代表的部分了。

介紹了二元樹以後，我們已經有了資料結構。接下來就是演算法的步驟，要怎樣子透過二元樹，完成「排序」的功能。我們先假定要把一組正整數數字按照大小排好就好，假定我們看到了 1,5,3,2,6,7,4 這七個數字。我們每看到一個數字，就進行以下步驟：

(1) 從樹的樹根 (root) 開始，和每個節點比較

(2) 如果現在這個數字，比現在這個節點的數字小，往左邊的子樹 (sub-tree) 走，否則就往右走

(3) 重覆步驟(2) ，比較新遇到的節點，和現在輸入的數字。如果已經走到樹的結尾，就停止。

根據這三個步驟，假設已經排好了2,4,5,6,7，然後現在輸入一個新的數字 “3″。那麼上面這幾步執行的過程，可以用下面這個動畫表示：

假設3排好以後，我們又遇到了”1″，那麼接下來執行剛才演算法步驟的過程，會像下面這張動畫一樣：

不知道各位讀者看完了這兩張動畫，是否有比較了解，二元樹怎樣子搭配剛才的排序演算法，把數字排好呢？不過怎樣子看的出來，這棵樹把數字排好了呢？我們只要用「中序」(mid-order) 的方式，把這棵樹拜訪一遍，就是由小到大的方式把數字排序好的唸法了。

譬如說第二張動畫，如果用中序拜訪這棵樹，就會得到1,2,3,4,5,6,7的結果，也就是說，雖然輸入資料的順序是4,2,6,7,5,3,1，但是透過二元樹，以及上面很簡單、電腦可以執行的三個步驟，我們就把數字由小到大排好了！

當然，這個演算法只有三步，每次比較數字大小之後，在二元樹上面不是往左就是往右，沒有其他複雜的步驟，但是執行效率就不是最好的了，怎樣子知道一種演算法的效率好不好呢？就等以後介紹其他排序演算法的時候，再一起比較說明吧！另外剛才演算法也省略了，如果兩個數字相等的情況。無論如何，如果只是簡單的排序應用，這個演算法搭配二元樹，應該就足夠了。

其他常見的排序演算法還有哪些呢？包括選擇排序 (selection sort)、插入排序 (insertion sort)、泡泡排序 (bubble sort)、快速排序 (quick sort)、合併排序 (merge sort)、以及正整數才能用的桶子排序 (bucket sort)，有興趣的讀者不妨先用這個JAVA Applet動畫模擬器來看看各種排序方法的動畫。最後也找了一段Youtube的排序動畫影片：

最近似乎也是研究所考試的季節，順便祝福各位資訊相關的考生，演算法和資料結構都能越記越熟！

相關連結

• (Wikipedia) 二元樹, binary tree
• 排序演算法Java Applet動畫
• 排序演算法Youtube影片

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Mr. Friday 的文章 “網路八卦風暴 – 嗜血的個人媒體” 讓我興起一個小小的念頭。在這篇文章中，所說的是網路所帶來的方便，因此讓網路的群眾變成了嗜血的媒體。我想，大部分的人看到名人出糗或是做出什麼見不得人的事情都會抱持著看熱鬧的心態，並且會很 “熱心” 的當成茶餘飯後的話題，而在 Web 上面，網民似乎不了解，這些 “茶餘飯後的話題” 所帶來的重大影響。這個重大影響是什麼呢?

我試著以最近火紅的陳冠希的名字輸入 Google:

是的，在這搜尋結果的前五名裡面就可以看到這次的裸照風波了。 接著我搜尋彭恰恰，為什麼搜尋他呢? 因為他在蘋果日報上面聲援這些無辜的小女生，結果讓我想到他之前也有過性愛光碟風波。(看吧，人看到事情還是要閃邊點好，免的被潑及)

結果彭恰恰的更慘，前四名都是性愛光碟有關的報導。今天報章雜誌也報導了常富寧，這位竄起的體育主播被人家踢爆拍過本土 A 片，不過這位男子漢也是敢作敢當，一口就承認了。

結果搜尋結果也正如大家所料，雖然是才剛爆發的事件，但是前五名中有三條就是 R 片的相關新聞。說到常富寧，春節中洪其德酒醉開車撞死了無辜的老婦人。

結果一 Google 發現，原來洪其德之前還有吸毒前科，而撞死老婦的新聞也進入到前五名。說到洪其德，我想到了林曉培，我很喜歡她唱的心動，也很喜歡這部電影。雖然林曉培酒後駕車撞死人之後認真悔改，但是 Google 仍是在歷史上面記上了一筆。

我寫這篇文章並不是在幸災樂禍，而是點出了一個事實。那就是之前所說的，網民因為 “茶餘飯後” 的全民運動，加上 Google “優良的搜尋排序” 演算法，因此讓這些不堪回首的往事將跟隨著這個人的名字一輩子。對於造成排名如此前面的演算法，我在 “部落格: 企業公關的新面向” 中有討論到。 其中比較關鍵的原因是，因為大家在網路上面都用這些 “關鍵字” 在討論這個明星；因此，在 “合理的” 的演算法的計算結果之下，這些關鍵字應該要跟這個明星緊緊結合才是。於是，嗜血的鄉民，加上 Google “無心” 的演算法，則是將這些人的過錯永永遠遠高掛在搜尋結果的頂端。

而這衍伸出來的問題是: 這樣子的搜尋結果真的是合乎 “情理” 嗎? 因為，許多名人其實做了許多有意義的事情，但是這些有意義的事情沒被廣泛討論；反而是在這些名人出事之後，大家拼命落井下石，而 Google 演算法所導致的結果將是記錄的這段落井下石的片段。我們是否可以變相解讀 Google 搜尋結果也是一種民眾盲從的現象?

反過來說，由於 Google 如此強大的力量，也對所有有示範效果的名人發出警告。今天，民眾捧紅了你，你就是大家的表徵，大家的表率，你的名氣不是屬於你自己的，如果你如此浮濫運用，民眾也會利用 “茶餘飯後” 的威力，讓你永遠聲敗名裂。而這個不堪回首的往事，將會被你的子孫所閱讀。

而我們，是否也賦予了 Google 如此偉大的權力而不自知 !?

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想像一下，我剛才說了一句話，那句話是：「想像一下，我剛才說了一句話，那句話是：「想像一下，我剛才說了一句話，那句話是：……….」」，如此下去，就好像站在兩面平行擺設的鏡子中間，鏡子中的影像不斷的重複。再舉個例子，寫完一封信想要匿名保密，就署名「知名不具」。回信的人寫：「知 知名不具 具」。之後再回信的時候就變成：知知知名不具具具，加上括號可能比較清楚：(知(知(知名不具)具)具)。

遞迴就是類似這樣子，不斷的重複同樣的東西，只不過每次重複的是比較小的東西了。大家應該對數學歸納法不陌生，在使用數學歸納法時，我們首先確定 n=1 的時候某件事情是成立，然後在證明 n 到 n+1 的過程是正確的，就可以從 n=1 的例子，一路推論出第 n 項是甚麼東西。就像是推骨牌一樣，把第一張牌推倒了之後，剩下的骨牌自然就被前面的骨牌給推倒。

遞迴的概念則是相反的方向：我們想要解決一個大小為 n 的問題，我首先做的事情是把問題化簡成大小為 n-1 的問題，但是解決的方法還是一樣，只不過大小是 n-1。如此繼續化簡，最後變成大小為 n=1 的基本問題，接著只要n=1的基本問題解決了，原來大小為n的問題也跟著解決了。

這又好像層層分工。假設每個人都會加法，然後今天我想求出 1+2+…+n 等於多少？其中一個辦法就是遞迴，我先假設 1+2+…+(n-1) 已經有人算好，那麼我只要再加上 n，就可以得到答案了。然而 1+2+…+(n-1) 要怎麼得到呢？我就請另外一位朋友幫我算。另外一位朋友接到這個問題以後，也用同樣的方法，他把 1+2+…+(n-2) 的結果交給另外一位朋友算，然後把這個結果加上 (n-1)，就變成我想要的 1+2+…+(n-1) 了。朋友的朋友也繼續用類似的方法，直到最後一位朋友只需要回答1，接著倒數第二位朋友就把1加上2，傳給倒數第三位朋友，倒數第三位朋友加上3，一直到我收到 1+2+…+(n-1) 的結果，再加上 n，就大功告成了。

不過可能會覺得，如此簡單的問題，為何還需要遞迴呢？其實遞迴也是比較適合一些問題來解，也就是那些「解決方式一樣，但是可以化成大小比較小」的問題，除此之外還可以輕鬆解決基本問題(n=1的時候)。舉例來說，有個古老的問題叫做河內塔 (Hanoi Tower)，問題的定義引述如下 (引述網站)

1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹了一個相當吸引人的難題──迷人的智力遊戲。這個遊戲名為河內塔 (Tower of Hanoi)，它源自古印度神廟中的一段故事 (也有一說是 Lucas 教授為增加此遊戲之神秘色彩而捏造的)。傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的金屬片移至三根木釘中的其中一根上。規定在每次的移動中，只能搬移一片金屬片，並且在過程中必須保持金屬片由上至下是直徑由小至大的次序，也就是說不論在那一根木釘上，圓環形的金屬片都是直徑較小的被放在上層。直到有一天，僧侶們能將64片的金屬片依規則從指定的木釘上全部移動至另一根木釘上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。

倘若這個故事的敘述為真，那麼，我們只需加速移動金屬片，是不是就能愈早到達極樂世界呢？果真要移動這64片金屬片，那麼，至少要花幾次的搬動才能完成呢？有沒有規律可循呢？

這個問題，就很符合剛才的特性：我們可以把大問題化成小問題，而且解決的方法相同，只不過問題的大小變小了。另外基本問題(n=1)，就是移動一根金屬片所需要的次數，這個我們也可以輕易解決，所以這個問題就可以用遞迴來解。

首先，我們假設有A、B、C三根柱子，這64片金屬片一開始在柱子A上面，我們想要搬到柱子C。因為問題中規定某個金屬片上面是空的時候才能移動，我們就假設有個人可以幫我們把63片比較小的金屬片先從柱子A搬到柱子B上面，然後我們把最大的那一片從柱子A搬到柱子C，再請那位朋友把剛才的63片從柱子B搬到柱子C，整個問題就解決了。然後我們只要知道剛才那位朋友搬了幾次，然後加上我們自己般動的1次，就是整個問題要求的搬動次數了。

遞迴不僅僅在數學上有其重要性，在電腦科學之中扮演的角色更是至關重要。程式設計者對於遞迴絕對不會陌生，上面所舉的河內塔問題，實際上也是電腦科學的經典例子之一，是初學程式設計的人一定會學到的東西。遞迴的思維，常常可以讓程式設計者打造出簡潔的程式，讓繁冗的問題透過簡單的程式碼來解決 (例如 parser 的設計)。演算法上所講的 dynamic programming，就是遞迴思維在演算法的具體呈現。

遞迴同時也是碎形 (fractal) 這門大學問的基石，碎形是一種相當美妙的幾何圖案，就如同上面那一張蒙娜麗莎的圖一樣，圖中有圖，形中有形，且小的部分都是大的部分的縮影，我們就稱之為碎形。碎形本身的數學定義，實際上就包含了遞迴定義在裡面，我們甚至於可以說，碎形是遞迴在幾何學的一種具體呈現。但是碎形不僅僅是一種數學概念而已，在自然界中，有許許多多的地方都出現自然的碎形，讓人讚嘆遞迴原來就出現在我們的生活周圍。圖中的這棵花椰菜，就蘊含了遞迴的碎形圖案與於其中。碎形同時也在各個研究領域有著廣泛的應用，光是在電腦科學領域，就有人把碎形應用在影像和影片壓縮之上 (這不難想像，由於碎形這種以小見大的特性，我們可以用小的來表現大的，因此可以有壓縮的概念出現)，在電腦圖學上 (computer graphics)，也有人把碎形應用在設計電腦遊戲之中的一些景物，打造出有效率和簡潔的系統。現在電腦遊戲之中的景物，很多都是玩家邊玩、遊戲系統邊產生出即時的景物，這叫做 procedural generation，這種即時產生景物的技術，可以避免遊戲軟體預先儲存一堆要展現的景物，幫整個軟體瘦身。procedural generation 就使用了大量的碎形產生與合成技術於其中，而這些都根植於遞迴這一個深刻卻簡單的思維。

至於把碎形應用在遊戲之中，現在已經做到有多可怕的地步了呢？請大家看看以下的三張圖片，不妨猜猜擁有這種精緻畫面的遊戲軟體，其整個遊戲的size大小是多少呢？

正確答案是97KB！沒錯，我沒有打錯字，你的眼睛也沒有看錯，這款遊戲的大小只有 97KB！傳統的一片 3.5 吋磁片可以裝下十幾個這款遊戲！這一款第一人稱的射擊遊戲叫做 .kkrieger，是由德國的 demogroup .theprodukkt 所開發，截至目前為止還在beta測試版的階段，這款遊戲之所以可以壓縮到這麼小的境界，就是因為遊戲之中的場景和音樂幾乎全部都是由動態產生，遊戲之中預先存放的資料只有一些簡單的幾何形狀和 MIDI 音樂檔，所以自然檔案大小非常小。如果這款遊戲沒有用 procedural generation 的技巧進來的話，估計檔案大小會爆增成 200~300MB，這樣的技術，真是令人嘆為觀止。而背後最大的功臣，就是這篇文章談到的遞迴和碎形。各位也不妨下載來玩玩看吧 (下載點)。不過需要注意到一件事情，這款遊戲的載入時間非常長，因為他要靠著一點點的程式碼即時來運算製造出場景，所以要耗去很多計算時間，這可說是一種 time 和 space 的 tradeoff。

看完這篇文章，各位有沒有對看似枯燥的數學有了一點點不同的看法呢？沒想到遞迴可以這樣應用在遊戲開發之中吧。下次學習數學感覺到枯燥時，不妨從應用的角度切入試試看吧！

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