聽到「免費」兩個字，也許多數人會想到不勞而獲、天下沒有白吃的午餐等等。然而在這個真實的世界裡，是否可能實現免費又公平的經濟模式？免費經濟是否就是共產主義？現有的經濟制度是否不好？需要大費周章地去思考怎樣子讓免費經濟合情合理地實現在這個世界上？

我個人之所以會思考這個問題，起始點是自由軟體以及分享數位內容的問題開始，當我一邊思考，一邊發現這些問題牽涉到了錢和商業，所以是個經濟問題。繼續思考下去，發現不但是經濟問題，其實是和人有關的社會制度問題。最後，更發現這其實是食物鏈問題的延伸，以及能源開發的物理問題。

也許到這邊各位讀者還無法了解，軟體開放，最後怎麼會牽涉到能源開發的問題？就讓本篇文章從這些角度，依序探討免費經濟和開放軟體，在這些層面可能會牽涉到的問題，以及個人對這些問題提出的建議解法，並論證是否因此可以合情合理的，讓免費經濟模式，出現在真實的世界裡面。

文章最後也附上三杯雞尾酒：太陽能發電原理淺介、Wnt Signaling Pathway淺介、以及Catalan Number淺介，並預祝聖誕快樂和新年快樂！

錢、資本主義、共產主義

談到經濟學，第一句話大概就是「資源有限，慾望無窮」。人類從茹毛飲血轉變成文明的生活之後，在形成社會的過程中，發現了滿足慾望的過程，可以從DIY自己完成，變成分工合作解決問題。然而為了符合公平性，因此一開始要以物易物，到後來用銀兩、紙鈔、甚至現代才有的信用卡，來維持公平性。

換個角度來看，如果是小型的社群，譬如說深山裡面的寺廟或是修道院，只要彼此相約同意，你填飯我洗碗，雖然忽略了「錢」的機制，但是社群的成員都能滿足慾望，同時覺得公平。當社群擴大到國家，「錢」的機制，就像是個分散式維持公平的方法，雖然無法和整個國家裏面每個人都相約同意，但是每個人只要在自己個人的交易過程中，使用金錢，整個社群就達到了分工 (供給) 和 滿足慾望 (需求) 的公平性。

資本主義

承接上一段的結論，「金錢」是人類演化過程中，讓龐大社群符合公平的原則來分配供給、滿足需求。資本主義則是在「金錢」這一層上面繼續建築：每個人可以私人擁有金錢和財產，過程中可以彼此競爭，追求效率。效率越高，價格越有競爭力，而因為具有競爭力的價格所賺到的金錢，是一種對追求效率的正向回饋。

然而資本主義有幾點特性，是令人稍微疑惑的：

(1) 追求效率的終點是免費？

照著資本主義的理論，如果我們生產的過程不斷競爭，不斷追求效率，才能有具有競爭力的價格，那麼最後的終點，應該是萬物免費，因為每一個商品或是服務，效率都接近無窮，價格也接近免費了。有興趣的讀者不妨在下面意見回覆的地方繼續討論囉:)

資本主義另外幾個令人疑惑的地方是: 追求效率的過程中，還沒到免費0元的時候，價格就HOLD住了？或是為了追求效率，因而發生三聚氰胺等怪事？也許這是人性的問題，而不能怪罪為資本主義的問題，不過這也是資本主義經濟模式中，需要關注的一個現象，也就是為了追求效率而產生的壓力，怎樣子讓勞動者產生效率而非產生怪事？

(2) 擋不住的泡沫

有了金錢，才有所謂的「利息」。在理論上一切都合情合理，經過一段時間，我的金錢做了有效的運用，得到了一些回饋，我帳戶的錢變多了，非常合理！然而同樣是一碗飯，隨著時間的經過，價格卻比以前多，是因為這一碗飯做了一些有效的運用嗎？這時候似乎就無法如此解釋了！

因此，泡沫開始產生，無論是產業的泡沫，薪資的泡沫，鈔票的泡沫，到最後經濟體的泡沫，也許似乎要在資本主義的世界才能產生泡沫。雖然資本主義為了真平等，讓財產私有化，透過供給和需求自由決定價格，追求效率，然而遇到了人性，卻變成不斷冒出的泡沫，也許無論資本主義或是共產主義，關鍵點其實是人性，再怎麼完美的主義，遇到人性都可能產生漏洞，本文後面會繼續討論這一點。

(3) 競爭過程，讓分享變成不可能

由於財產私有，你的不是我的，我的不是你的。至於在將來 (future)，甚麼東西是我的甚麼東西是你的，要透過競爭的過程來決定，而非大鍋飯均分法。雖然這似乎也符合大自然物競天擇的過程，如同植物和動物形成的食物鏈，人類似乎和大自然一致也沒甚麼不對？將有限的資源均分，反而不大符合公平原則。

然而為了有限的食物，使用私有化的公平維持法，知識必須跟著上鎖，因為知識是整個食物鏈的其中一環。知識共享就如同共享有限的資源一般，反而是齊頭式平等，沒有讓多努力的人得到比較多的報酬，產生正向循環，讓社會生產效率提高。

也因此，開放軟體無論是否收費，都是某種程度的共享，在資本主義的框架下，就如同均分物質，形成假平等。除非我們將知識和軟體，當成非物質來討論，那麼知識和軟體的共享，就不是均分的行為，即使在資本主義的框架下，也符合追求生產效率的真平等原則。

亞當‧史密斯 (Adam Smith)

共產主義

因為資本主義真平等的理想，在真實世界變成M型化的經濟體，這股生存的壓力，讓贊成均分的共產主義，從學說的世界裡面，進入了真實的世界。共產主義同樣基於一種柏拉圖式的理想：人人有飯吃，經濟上人人平等，沒有不均。也因為均分，因此沒有私人的財產，財產是全體人類共有的，一切資源由國家配給，因此也無須價格平衡供給需求，一切都是免費的。然而共產主義在真實世界，實驗了半個世紀左右，卻也發現因為均分，沒有競爭的動力，反正努力有飯吃，不努力也有飯吃，結果均分變成了均貧，免費的理想世界，變成免費的貧窮。

所以，人類又回到財產私有化的路線上，至少短期上來說，財產私有化的生活，比財產公有化的生活，來得好。

卡爾‧馬克思 (Karl Marx)

免費經濟模式

在簡單扼要地介紹完資本主義和共產主義的發展過程之後，終於要進入今天的主題：免費經濟模式初探！

讓我們先從一個人所需要的經濟活動開始談起。一個人要活下去，「食物」、「空氣」、和「水」，是維持肉身活下去的必要條件。肉身可以活下去之後，可能需要住宿、交通、娛樂等等。一切經濟活動，都從「吃」開始，慢慢往上堆疊。金融風暴期間，失業的人沒有薪水，經濟活動裡面必須慢慢放棄原本的消費行為，然而最後放棄的，應該就是基本的「食物」和「住宿」了。

回到免費軟體的起點，如果今天說軟體要免費，生產軟體的人可能會表示，他的房子不是免費，他的車子不是免費，他的食物不是免費。如果只有他生產的軟體免費，變成他無法生存下去，除非其他人同樣提供免費的商品和服務，大家一起免費。但是顯然財產私有化的資本主義社會，不是一個大家一起免費的社會。如果大家一起免費，目前只有在共產主義的社會出現過。因此免費軟體或是免費數位內容，無法在資本主義社會裡面存在。

可是讓我們再追蹤 (trace) 一次這個經濟循環：軟體要收費，因為提供食衣住行的人也要收費，而食衣住行要收費，因為提供他們的上游原物料的人也收費。上游原物料收費，是因為上游又有上游的成本。就這樣子一層一層地追蹤下去，一直到上游的源頭，我們是否發現，沿著食物鏈追蹤下去，植物和動物並沒有和我們收費？如果是沿著物質資源或是稀有金屬的源頭追蹤下去，地球並沒有向我們收費？如果是沿著太陽能或是古代太陽透過植物累積的石油能源追蹤下去，太陽並沒有向我們收費？

因此，收費的範圍，是人類的一種社會化行為，在人類社會以外的動物社會和宇宙星系，並沒有進行金流 (Money) 的循環過程。如果把我們從人類的角度上抽離出來，成為一個客觀的第三者來觀察的時候，我們可能會發現，在地球上實際發生的事情，其實是太陽的能量，傳送到了地球以後，讓物質從各種狀態交互變化。舉個簡單的例子，因為有了太陽的熱能，水可以蒸發成水蒸汽，再下雨變回水滴，循環不已。

而各種物質依照物理定律產生的循環，接上植物和動物之後，變成了生物圈的循環–食物鏈，動物有了熱量，身上的酵素和肌肉才能作用，動物的肉體才能處在「活著」的狀態，而為了維持吸收進肉體的熱量大於消耗出去的熱量，必須弱肉強食，讓生物的熱量透過「吃」與「被吃」的方式轉移下去。最後，人類除了因為是動物的一種，因此理所當然地是食物鏈其中的一環以外，人類社會本身還自己產生經濟循環，讓物流、金流、資訊流有秩序地循環下去。人腦想得到的慾望，以及能夠滿足慾望的物質資源、金錢資源、資訊資源，都依照「買」和「賣」這個秩序產生經濟循環，同時也要維持自己賺進的收入大於消耗的支出。

圖: 循環圖1

所以再回到軟體免費的起點，今天軟體如果不開放不免費，是因為在這個經濟高度分工的社會裡面，收費已經是成熟的經濟行為，往上游一層一層的追蹤過去，每一層都向下一層收費。然而跳脫了人類的框架才發現，其實收取費用，是人類社會自我產生經濟循環的方式，經濟循環的基礎是生物圈的食物鏈，而生物圈食物鏈的基礎則是物質和能量的物理循環。

因此，如果我們依照剛才追蹤 (trace) 經濟循環的方式，我們會發現，如果我們可以在底層改變物理的循環，譬如說新的物理定律被發現和應用，上層的食物鏈循環才能跟著被改變。又或著我們不必發現新的物理定律，只要生物圈傳遞熱量的方式，由食物鏈和消化系統，改成你情我願的熱量傳遞方式，甚至每個生物直接吸收太陽能，脫離了被吃的生物只能痛苦、沒東西吃的生物只能恐懼的食物鏈定律，讓「吃」的限制消失。如此一來回到上一層，人類的資源限制，在「食物」的這一道鎖打開了，這時候如果其他物質資源的限制性，也如同食物鏈一樣重新改造，讓限制的枷鎖一道道被解開，那麼底層「資源有限」的限制，就不再存在！上層的經濟循環，也就可以合情合理地進入「免費」的時代，而「開放」和「免費分享」的思想，像是軟體開放、軟體免費、數位內容免費化等等，也都變成合情合理了！在這個時候，我們反而要問，有甚麼「欲望是無窮」的？能夠無窮到人腦想不出來呢？

圖: 循環圖2

也許讀完上述論述，各位讀者會想，如果說因為「資源有限，慾望無窮」所以不能走免費經濟，那就讓「資源有限，慾望無窮」這件事消失就好，那這樣子我也會：沒有時間的時候，就生出時間 (make time)，沒有空間，就生出空間，沒有電，就發電，沒有甚麼，就生出甚麼，這樣子和期待小叮噹解決每一個問題，又有甚麼不同呢？即使我們知道最底層有物理的限制，但是今天還沒有第二位愛因斯坦發掘出革命性的物理定律，讓物理世界產生改變；即使我們知道食物鏈是一切物質資源限制的源頭之一，但是明天醒來我們的消化系統仍舊會忠實地告訴我們肚子餓了；即使我的大腦願意放棄從母奶改喝第一口雞湯以及之後習以為常的三餐味覺饗宴，但是我的肉體無法脫離不吃則死的定律；即使人類真的消化系統改造成可以直接經由日光產生養分，整個生物圈的食物鏈已經是千萬年的演化，人類不吃飯，周遭的動物仍舊遵守著千萬年來不變的食物鏈規則，要把所有動物的消化系統都進行改造，實在是個不可能的任務。

簡而言之，如果要從我們現有的物理定律、現有的食物鏈循環、以及現有的收費經濟模式的世界裡面，要怎樣子有個「開始」，才能有秩序地改變成免費經濟的世界呢？物質世界依照物理定律而上了「資源有限」這道鎖之後，我們人類必須跟著「鎖上加鎖」，否則世界會變得更糟，在這種情況下要如何「開始」合情合理的免費經濟、免費數位內容、和免費軟體呢？

實作免費經濟三大方向

當我們上窮碧落下黃泉，因為免費經濟的問題，從經濟的世界，追蹤到生物圈食物鏈的世界，最後追蹤到物理世界。現在讓我們來談談，如果從現有的真實世界出發，有甚麼事情是我們目前可以開始進行的？下面列出了三大方向，分別是：資源趨近無窮、欲望趨近有限、以及機器自動化的願景。

(1) 資源趨近無窮

如同之前的討論，每個物質資源都有其成本，每個物質資源都是有限的，而分配了有限資源以後才能產生勞動力的人類，就只能提供具有成本的「服務」(Service) 或是 商品 (Product)。資源的有限性，轉變成生產成本，買方滿足慾望之前，要先和賣方談妥價格。然而若是資源可以「趨近」無窮？是否價格有機會「趨近」免費呢？

記得中學物理裡面，有個「質能守恆」的定理，大意是說：宇宙裡面的物質加上能量，是固定的。然而今天的世界裡面，很多物質似乎是「單向」地被使用，譬如說很多電腦元件從地球裡面開採出來，上中下游加工之後，最下游的公司組裝成筆電或是手機，最後消費者用金錢來交換這些消費性電子產品。然而在這些產品報銷了以後，卻是讓軟體和硬體Bundle著一起進到了垃圾場，而不是回到源頭再利用。

要怎麼說「回收再利用」是對的呢？讓我們暫時回到食物鏈的例子。雖然文章前面提到食物鏈是免費經濟成真之前需要改變的部分，然而「食物鏈」有個「循環」的性質，其實是目前人類使用資源的時候，可以參考的。讓我們從稻米開始，稻米吸收水分和陽光，光合作用產生糖分，米粒收成之後也許餵雞餵鴨，中間有好多層生物的食物鏈，最後進了人類的嘴巴。隔了一兩天，變成糞便進入馬桶，進入下水道，回歸大自然的土地，成為天然肥料。裡面的化學元素，在下一回合的稻米生長過程中，又再次參與了稻米的光合作用。

食物鏈在這部分「循環不已」的性質，其實是值得我們資源回收再利用的時候，作為參考的模型！在這個循環裡面，只有太陽能是單向無法回收的，其他各樣物質和化學元素，其實都在食物鏈的過程中，不斷地「分解」、「重組」，來來回回，形成一個循環的過程。

另一方面，如果以碳排放量為例，今天如果我們排放二氧化碳的速度，找的到相對應的「化學逆反應」，用對應的吸收速度讓二氧化碳 (CO2) 代謝回世界其他的角落，讓碳元素進入大氣層的「速度」，接近讓碳元素離開大氣層的「速度」，如此一來也就能夠證明，碳元素總量不變，只是碳元素在不同的時候跑到不同的地方，在不同的時候扮演不同的角色，有時候是食物、有時候是糞便、有時候是大氣層，而不是一個單向增加、只增不減、造成溫室效應的化學元素。

所以就「物質趨近無窮」這一個要素來說，並不是說夢話，因為有些良性的物質回收再利用的化學循環，是可以被建立的！當然我們也許要務實地計算，回收過程花費的能量不會產生更多不可回收的物質，並且也要承認「熱力學第二定律」。把「熱力學第二定律」應用在資源回收的這個問題裡，結論就變成：我們回收物質的過程，和我們消耗物質的過程是一樣的，能量的亂度 (Entropy)永遠會增加，無論是石油還是核能發電，最後都會變成消失在空氣中很難回收的微量熱能。而太陽能這一個單向不可回收的能量耗盡後，必須找尋其他亂度還在可控制範圍的能量來源，像是其他太陽系等等。如果繼續往宇宙的終點思考下去，宇宙也許有一天會走到一絲絲亂度在可控制範圍的能量來源都沒有的世界，在那個世界裡面，人類如果還存在，也只能像石頭一般無法自我控制地滾動，因為肉體本身即使活著，也沒有可控制的能量來源來移動自己的肌肉。也許那個時候，我們必須要把「活著」定義成亂度 (Entropy) 的大小，而非定義成肉體可以活動了！

因此「物質趨近無窮」是目前的世界，有機會做到的！只要找出每一件商品裡面的物質可能出現的「良性循環」，有限的資源沿著時間軸展開，不停循環，其實就趨近無窮了。

(2) 慾望趨近有限

前一段文章提到開源之後，如何「資源回收」產生物質循環，讓「資源趨近無窮」；這一段則是講開源之後的「節流」，讓「欲望趨近有限」。讓我們從放煙火的例子開始談起。跨年夜或是國慶日的時候，常常會放煙火慶祝新的一年，然而就如同前頭所述，煙火有物質成本，以及人類的勞動成本，一頓煙火並不便宜。然而就看煙火的這個慾望來說，空氣中炸開的火花和亮光，最後的終點，其實是每個人的眼睛、耳朵、和腦袋。因此如果我們有辦法開發出高解析度的眼鏡顯示器，以及高品質的耳機，讓整個欣賞煙火的過程，透過眼鏡和耳機真實呈現，享受的煙火經驗效果不變，產生煙火經驗的成本卻可以大大降低！

VIDEO: Head Mounted Display

再舉一個例子，「吃飯」。假設人類有一天可以發明寫入腦波的設備，那麼我們或許可以把吃牛排大餐的腦波，回放到大腦裡面，讓吃牛排的經驗，想回送多久就吃多久，不會有吃不起的問題。因此把「心靈經驗的滿足」和「肉體需要的滿足」切開來以後，可以發現有些欲望其實只有心靈經驗的成分，其實有辦法經由科技輔助，或是更接近五官經驗的滿足方法，以更節省實體資源的方式，讓自己心靈的慾望達到同樣的滿足！

另一個例子是「冷氣」。無論冷氣是否能夠和地球環境產生正向的循環，冷暖氣的想法，也是一種欲望趨近有限的做法，因為即使大環境的天氣是冷的，只要我活動範圍內的空間空氣回暖，就達到效果了！未來如果有更先進的科技，也許「行動冷暖器」，在皮膚上面形成一層薄薄的氣溫調節網，那就更接近五官感覺接收器來滿足人類欲望的想法了。

不過除了人類是否有機會發明出高品質耳機和腦波回放器的這個問題以外，上面的提議也許會有一些疑慮：「身心不同調」，是否有危險？就像吸毒的人，心靈快樂飄飄然，但是身體卻因此有毒癮，甚至連正常的食物循環都無法進行，因此身心不一致，有潛在危險。也許這就和如何維持虛擬和真實世界的界線一樣，只要我們心靈虛擬化的同時，能夠同時自我意識到支撐虛擬世界的源頭仍舊是真實世界，那麼我們使用虛擬化來滿足慾望的時候，就不至於誤用虛擬化產生危險，而是善用虛擬化的優點了！

另外一個疑慮可能是：如果就煙火的例子來講，我們也知道眼睛的視覺體驗，這種心靈的經歷，是真實世界的眼鏡和耳機所支撐的，但是也因為有這個自我察覺，我們會覺得這種經驗不是「真」的，因為和原來的煙火，心靈經驗來說是相同的，實體來源卻是不同的！這時候也許我們要問，在發明煙火之前，「煙火」本身其實也不算是真的，可能戰爭的大炮火光才是「真」的！因此使用高級眼鏡和耳機來產生新的煙火經驗，並不是一種「造假」，而是一種「新」的東西了！否則一路推下去，其實我們有可能推理到這個世界不是「真」的 (每一件事物都是另一件事物先存在才存在，以此類推，若第一個存在的事物不存在/不是真的，那麼這個世界也不是真的)，這時候也才能真正地了解「本來無一物，何處惹塵埃」的境界呢？

因此，借助科技的發明，我們有機會慢慢發展「節流」的這一步，讓欲望的滿足，盡可能貼近我們的五官接收器，甚至直接接上我們的大腦都可以！只要支撐這個大腦經驗的肉體實體，可以經由適當的養分供給支撐住，那麼個人慾望的滿足，在科技的輔助下，是可以接近有限的，因為這個時候反而要問，有甚麼慾望，是你的想像力想不出來的慾望呢？！

(3) 機器自動化的願景

在「開源」、「節流」、和「回收再利用」三大步驟裡面，「資源趨近無窮」段落裡面算是討論了「回收再利用」的部分，「欲望趨近有限」段落討論了「節流」。這一段則是要討論「開源」的前一步–機器人自動化的願景。

說到機器自動化，其實今天已經有很多日常生活用品，是機器製造的，而使用人工智慧 (AI: Artificial Intelligence) 產生有智慧的機器人，來代替人類智力密集的工作，在人工智慧剛發展的時候也有人提議過。那麼這一段是要討論甚麼不一樣的事情呢？

在這一段想要討論的機器自動化的願景，主要的是從免費經濟出發點來開始探討。如果明天開始，宣布了免費的時代從今天開始！大家明天開始不用上班，一切免費，會發生甚麼事呢？我們可能會發現，嗯？到了公車站，沒有公車，到了地鐵捷運站，沒有司機開車，上廁所有千年累積的汙垢，沒有人刷，垃圾間的垃圾已經滿出來發著臭味，餐廳廚師不在位置上，就算點了菜單等在久也不會有人端菜上來。

不過經過了這個大腦模擬實驗，我們也發現，有些東西目前還需要經過「人」和「人的勞動」，才能順利進行。如果真的有免費經濟那一天的到來，其中一項條件，就是目前必須經過「人的勞動」的經濟循環，有「機器勞動」的經濟循環可以完成這最後一哩，因為我們是生活在符合牛頓三大運動定律的世界裡面，大腦想的事情，不一定會說出來，說出來的事情，不一定會實體成真。大腦想著一棟大樓，必須要有實體的勞動力，抵抗地心引力，讓鋼筋水泥從地面跑到空中，才能讓腦中的比薩斜塔，出現在實體世界裡面。我們可以用腦想、用嘴巴說、用金錢支持和投資，但是抵抗地心引力的最後一哩，是永遠不可少的步驟！

因此如果要讓今日收費世界裡面，可以做到的事情，在免費世界裡面也辦得到，必須踏實地滿足抵抗地心引力的最後一哩，「機器自動化」就是在這個步驟不可或缺的角色！自動洗碗、自動洗衣、自動倒垃圾、自動刷廁所，如果要把這些人類比較不願意從事、或是比較具有危險的行業裡面解放出來，唯一的方法就是「機器自動化」來取代人類的勞動力，而機器自動化之後剩下的問題，就只剩下推動機器需要的「能源問題」了！

因此，如果真得要讓人類從每天的工作解放出來，但是原有的服務又能夠繼續產生，「機器自動化」是我個人認為非常有希望 (promising) 的方向，所有勞動相關問題，如果都化約成機器自動化的問題，而機器自動化的問題，又可以化約成「能源問題」。這個時候，免費經濟，就只剩下「能源問題」需要解決了！

這個時候也許又有類似食物鏈改造的疑問，也是人工智慧剛提議機器取代人類工作時的疑問：如果機器可以取代我工作，那麼我不就失業了？在其他人都有工作，而只有我這個行業被廉價機器取代的情況下，我不就只能吃自己？

的確，或許人工智慧除了本身技術發展的難度以外，當人工智慧發展到可以取代人類之前，也許就會先遇到一些阻力，因為人類在目前有工作才有錢、有錢才能活下去的制度下，只有少部分領域先被機器取代的時候，該領域的基層勞工甚至專家都得面臨失業，而有誰會願意自己被取代活不下去呢？

因此，如果人工智慧的技術真的有一天發展到可以取代醫生、法官、甚至發展人工智慧技術的人類專家自己，也許我們人類需要先想好取代的方法或步驟，以免造成預料之外的後果，原本可能解放全人類不用上班工作的AI科技，變成少數人先餓死或是先抵抗這項AI科技的動力。

當然，有些工作其實是令人享受的，即使有一天可以由機器取代，我們也不用硬是要用機器來取代，譬如說一場音樂會，演奏音樂本身的人可能覺得演奏音樂本身是一種樂趣，這個時候，其實也不用發明漂浮小提琴自動化演奏歌曲囉？這部分稍後「寓工作於遊戲」(Working as Playing) 的部分，會繼續討論了！

VIDEO: 拉麵機器人

Nagoya Robot Ramen

行文至此，我們也發現，人類為了滿足「消化系統」以及其他「有限資源」的限制，必需務實，卻也必須向食物鏈看齊，不是吃就是被吃；然而人類的神經系統，卻又同時可以運算悲天憫人的思想，當我們的大腦開始替對方著想，模擬著對方的大腦，彷彿我們的「神經系統」開始相連的時候，才發現我們在思想上，其實有意願把自己擁有的美好，「分享」給別人。不過，人類因為同時有「消化系統」又有「神經系統」，因此我們必須過著某段時間現實、某段時間悲天憫人的生活。如果要讓悲天憫人的開放式思想，從腦中的思想世界，進入具有地心引力的真實世界，我們必須要扎扎實實地補足最後一哩，踏實地抵抗地心引力、食物鏈引力、最後是錢心引力，當我們在真實世界踏實的補足最後一哩之後，悲天憫人的開放思想和免費經濟的思想，才能以喜劇的方式進入真實的世界，而非以悲劇的方式進入真實的世界！

電影人形蜈蚣: 把人類的消化系統接起來！

VIDEO: 勤勞的螞蟻

在我們跳出框架，彷彿觀察螞蟻般觀察人類自己的經濟行為之後，又跳回框架，思考著下一步該怎麼走的時候，今日網際網路的發達，有甚麼系統，是除了「開源」、「節流」、「資源回收再利用」以外，在資訊科技的領域和網際網路的領域裡面，可以開始進行的下一步呢？本人是想到了「微型勞動」、「兩面勞動」、以及「視覺相連網」的構想。

微型勞動與兩面勞動

網際網路讓人們得以快速地傳遞資訊，然而傳統分工和收費的經濟模式，在網際網路上卻激發出火花，許多事情在網路上變成免費，變成和實體世界的專業分工加收費的模式無法契合！因此我個人認為，如果一件事情要免費，就只有自己生產自己消費的DIY經濟模式，才是合情合理的。如果生產方式已經分工專業化，卻沒有照彼此的約定付費，或是硬要把原本已經專業分工的產業變回DIY的生產模式，似乎不正確也不必要。

接下來，免費合理的DIY勞動模式，適合在哪些領域實現呢？哪些事情是合DIY然後免費呢？我想可以考慮兩個部分，第一個部份是把每個產業依照專業程度劃分，在最一般大眾程度的程度領域，是這個產業可以開放出來，讓一般民眾盡情DIY然後盡情免費的領域，我想這也是真實世界裡面，免費經濟和DIY生產模式，可以和高度專業分工的收費經濟模式並存的可行之道。

第二部分則是考慮是否在整個經濟體裡面，有某個產業因為專業分工化的程度並不高，所以可以整個產業開放出來每一般民眾，實行DIY生產和免費經濟模式？也許目前真實世界裡面還沒有這種產業，不過未來也許可以創造一個？

除此之外，免費DIY經濟模式，因為一切自己生產，所以免費合理以外，另外一項性質就是「兩面性」。我們聽過「一石二鳥」，作一件事情的同時，產生了兩種效果。如果我們把每一項工作，都包裝成「遊戲」，那麼我們玩遊戲的同時，也就完成了一些重大的工作了！

也許各位會覺得玩遊戲怎麼可能是完成一項工作呢？目前其實有一些已經在運轉的系統，像是reCAPTCHA、以及即將推出的DuoLingo，其基本的想法就是把電腦文字辨識 (OCR: Optical Character Recognition) 的工作，轉換成無數個使用人工的工作，但是勞動著可以使用對他自己來說只有幾秒鐘的時間，彷彿在玩遊戲一般的打出幾個字母，後端的網路伺服器則是統整全部的勞動產出，完成了以前人工智慧尚無法完全自動化的圖片文字辨識數位化的任務！

DuoLingo則是一個即將推出的網站，使用者在上面教人語言的「同時」，可以學習一種新的語言，背後同樣是寓工作於遊戲、寓教育於遊戲的想法。

VIDEO: DuoLingo

讓我們用巴哈的螃蟹卡儂來回應這個系統吧！

VIDEO: Bach Crab Canon

如果把這個想法繼續延伸到虛實結合的上面 (O2O: Online to Offline) ，開心農場這個虛擬種田遊戲，是否有辦法和真實的農場結合，發揮眾人 的心智力量，整合起來，變成實體農場的大腦，讓群眾智慧變成實體的稻米？對玩家來說是一種玩虛擬化遊戲的體驗，對農夫來說是一種免費的農業大腦雲可以運算，而產出的稻米如果更優質或是更便宜，循環回到消費者身上，不也是一種自己幫助自己的類DIY免費經濟？也許1000年後，所謂的「上班」，就是指這種虛擬遊戲化的工作模式了？

視覺相連系統

前頭提到神經系統相連，可以讓人類發揮悲天憫人的那一面！那麼神經系統相連的前一步，我們是否可以先連接我們的視覺系統？也許把視覺系統的連結放進交通系統中，各位讀者會覺得比較有其必要性！

平常開車我們有後視鏡，因為我們身體後面沒有長眼睛！因此後視鏡的出現，對我們來講，是幫助我們行車更加安全的工具。今日如果有一個系統，是可以讓我們從各種角度，遠觀近觀，都看得清楚，讓我們除了後視鏡以外，還能脫離車子本身的區域性，我們的視野逐漸提升，可以預先了解下一個路口，以及下一個路口不同方向的車子的動態，然後像後視鏡一般，把這些輔助資訊顯示在原始的視線周圍作為參考資訊，那該有多好？

如果推廣到我們人類的視覺系統，假設今天我們人類的視覺系統、甚至是神經系統，真的100%實體相連，那麼將會有一些奇妙的效果。當兩個人持刀互砍的時候，其中一方砍了第一刀可能就砍不下去了？當10個人同一個桌子吃飯的時候，雖然食物進了各自的肚子裡面，但是精神上彷彿經歷了10倍份量的食物。其實這就如同我們要如何使用第一人稱、第二人稱、第三人稱的角度，來分析一件事情了！

我們每個人生下來之後的預設值，通常就是「第一人稱」，我們彷彿像電玩遊戲裡面的主角，拿著一把槍探索周圍的世界。然而當我們脫離頭蓋骨的限制，開始用我們的腦細胞，切實地模擬「第二人稱」正在和我們講話的人，切實到我們彷彿一邊講話一邊看著自己的臉，但是身體又在第一人稱的身體裡面，這個時候我們或許才能夠真正地替對方著想，而不是用自己的自我投射，來替對方著想了！

VIDEO1:  貢寮大橋交錯互望1

VIDEO2:  貢寮大橋交錯互望2

像上面的影片裡面，如果是天生就有的第一人稱，只能看到橋上面看到的影像。如果確實地模擬第二人稱的角度，則是指在「視線範圍」只有第一段影片可以看到的東西的情況下，在大腦裡面儘可能逼真地「模擬」或「想像」出，第二段影片「視線範圍」裡面，太魯閣號看回橋上的畫面！

如果在推廣下去，是否我們的腦細胞也可以在面對一件事情的時候，用第三人稱 (客觀公正的第三方) 或是第零人稱 (假如我沒有在這個世界/事件存在) 的角度來分析？或許這樣子，即使只是單單用腦細胞來模擬各種人稱，我們分析一件事情的角度，可能會更加全面，所做的決定，可能也會更加周全了！

回到交通應用系統上，如果我們在車上的視線，除了後照鏡輔助，還多了各種人稱角度的輔助，兩個原本要相撞的車子，也許會因為這樣子的視覺擴展，在事前就避免了一場車禍發生，可能比車禍事後各種形式的補償和責任追究，來得比較喜劇收場一些囉？

VIDEO: 車禍1/車禍2/

最後，PhotoSynth這個系統，是集眾人照片，讓全景服務得以完成的系統。也許這也是DIY免費經濟的一種方式？一家公司IPO以後，開放一般民眾使用金錢認購股份，股份多少代表日後可以分享公司多少的收益。那麼我們何不妨直接在網際網路上面的系統上面，直接IPO「勞動力股份」，跳過了金錢這一步，讓每個人成比例的貢獻，直接換取系統上成比例的服務？這似乎也是另外一種不錯的經濟循環？

TED: PhotoSynth

太陽能發電

前面提到免費經濟的終極目標，是希望機器取代一切勞動力，補足經濟循環的最後一哩；機器自動化之後，勞動生產問題，就化約成推動機器所需要的「能源問題」。如果要乾淨永續的能源，目前最好的選擇莫過於「太陽能發電」了！接下來的三杯雞尾酒，就以太陽能發電為第一個淺介的主題。

(1) 太陽能發電原理淺介

太陽能發電有許多種方式，如果是把太陽的熱能集中起來，產生水蒸氣來推動發電機，那麼是先轉換成熱能、在轉換成電能的這一條路！如果是太陽能直接轉換成電能的這條路呢？太陽能電池使用半導體，可以做到這件事情！

半導體是由「矽」元素所組成的。如同其他原子，「矽」元素具有原子核，以及繞著原子核運轉的電子。根據量子力學，如果是念理工的讀者也許還會記得原子軌域1s2p3d4f，如果說成白話文，就是原子裡面的電子，是一層一層包上來的。最外層的電子個數，就變成了一個原子的「原子價」。

「矽」的原子價為4，也就是最外層的電子個數為4個。接著，把半導體分成兩層，分別是P層和N層，P可以想成是「正」(Positive)，N可以想成是「負」(Negative)。P層的半導體裡面，參入原子價為3的化學元素，譬如說「硼」元素 (B: Boron)，這時候P層半導體裡面，會根據參入多少硼元素的濃度，產生一定量的「電洞」，可以吸引電子來補滿的「電洞」。N形半導體裡面，則是參入原子價為5的化學元素，譬如說「磷」元素 (P: Phosphate)，這時候N形半導體會多出一個電子，隨時準備補足其他電洞。

當P形半導體和N形半導體接觸在一起的時候，中間的電子和電洞彼此互相吸引，互相抵消，因此在接觸面上，形成一個沒有電洞也沒有電子的消耗區 (Depletion region)。然而原本原子價為5的磷原子，因為被抵消了一個電子，變成帶正電的原子，原本原子價為3的硼原子，變成帶負電的原子。這時候在消耗區裡面，會形成一股電動勢，如果把一個自由的電子放在這裡，他會沿著負電硼原子到正電磷原子的方向跑！

最後，太陽光照在半導體上，讓半導體上面最外層的自由電子激發出來的時候，這個自由的電子，就沿著P-N Junction消耗區裡面的電場運動，此時如果把電池外部接上電線和電器，電流就會從太陽能電池流出了！不過流出的是直流電喔！

太陽能光伏電池介紹

太陽能發電原理概述

太陽光電池光電轉換原理

淺論太陽能的發電及其應用

目前太陽能電池可以概分成非晶矽、多晶矽、和單晶矽三種。單晶矽是目前發電效率最高的太陽能電池。然而目前發電轉換的效率和其他發電方法比較起來還是沒有很高，主要是P-N Junction本身也會有電阻導致。聰明的讀者們，若是對永續能源發展有興趣，不妨繼續往相關領域研究喔！

VIDEO: P-N Juntion

Wnt Signaling Pathway

(2) Wnt Signaling Pathway淺介

Wnt這個名字算是 Wg (Wingless)和Int (Int1老鼠癌症相關的基因) 的縮寫。是由Roeland Nusse和Harold Varmus在1982年所發現。整個生化反應的路徑非常多，但是最主要的路徑則是如下圖所示：

在這條路徑上面的故事，可以用「雙重否定」來描寫。在細胞核裡面，有些基因像是TCF，有結合beta-catenin的時候，和沒有結合beta-catenin的時候，會產生不同的蛋白質出來。

接著，beta-catenin平常會一直被Axin/GSK/APC這個蛋白質複合體所分解，是為第一層否定。直到有一天Wnt蛋白質啟動了細胞膜上面的受體，啟動了Wnt訊息路徑…

Wnt蛋白質，和細胞膜上面的受體結合之後，啟動了DSH這個酵素，而這個酵素會抑制Axin/GSK/APC這個蛋白質複合體，是為第二層否定，因而間接地，增加細胞裡面的beta-catenin，最後讓細胞核裡面的TCF基因，產生出不同的蛋白質。後續研究還發現，有些產生出來的蛋白質，會進一步反饋細胞膜外面啟動Wnt反應路徑的Wnt蛋白質呢！

Wnt蛋白質和Wnt相關基因，主要是在胚胎發育，以及癌症機制的研究中，有其重要性！甚至在神經科學的神經連結的生長 (synapse) 研究裡面也有相關研究。如果是蝌蚪生長初期，加上Wnt蛋白質，可能會長出兩個頭，減少Wnt蛋白質，則是會變成無頭蝌蚪呢！Wikipedia: Wnt Signaling Pathway

Wnt-induced cell responses

Several important effects of the canonical Wnt pathway include:

• Cancers. Alterations of Wnts, APC, axin, and TCFs are all associated with carcinogenesis.

• Body axis specification. Ectopic placement of Wnt in Xenopus eggs during early gastrulation gives rise to a secondary body axis and head, while inhibition of Wnt signaling results in a lack of dorsal structures in the frog embryo. Wnt is extensively involved in the formation of dorsal structures and the nervous system in early frog development and is found in high concentrations in the region known as Spemann’s Organizer.

• Morphogenic signaling. Wnts produced from specific sites, such as the edge of the developing fly wing or the dorsal region of the neural tube of the developing vertebrate, are distributed throughout adjacent tissues in a gradient fashion. The Wnt pathway becomes activated to different degrees in cells of these tissues depending on how close they are to the production site, leading to subtle but crucial differences in the level of genes regulated by the Wnt pathway.

對於生化反應有興趣的讀者，不妨繼續拜訪發現Wnt Singaling Pathway的教授的實驗室網頁喔！NusseLab @Stanford

VIDEO: Wnt Signaling Pathway

Catalan Number

(3) Catalan Number淺介

Catalan Number是以比利時數學家Eugène Charles Catalan所命名的。公式為

Catalan Number的定義是：給定n個+1和n個-1，有幾種排列方式，讓整個數列在任何一個時間點，都沒有小於0的情況發生？

要怎麼從定義，推導出Catalan Number的公式呢？首先，n個+1和n個-1，總共有2n個數字，因此有(2n)!種排列方法。因為所有的+1都是一樣的，所有的-1也是為一樣的，因此要消去重複的組合數。所以C(2n, n)，就是n個+1和n個-1的總組合數。

(2n)! / n! n!

接著，如果我們可以從這些組合數裡面，扣除不符合定義的數列的個數 (至少出現一次小於0的情況的數列)，就可以得到符合Catalan Number定義的數列的個數了！

所以接下來，就是要怎麼計算出，n個+1和n個-1，至少出現一次 (最多出現n次) 小於0的數列的組合個數？

首先，因為有2n個數字，所以分子還是(2n)!。分母呢？我們把剛才總組合個數的分母拿來檢視，如果把其中一個-1拿出來，分開討論，那麼原本消去n個-1的重複排列的n!會變成(n-1)!。

而被拿出來分開討論的-1，則是代表某個數列在第幾次往下延伸的時候破戒 (小於0)。緊接著，如果把第K次破戒的數列拿來檢視，那一個-1的左手邊和右手邊的+1的個數，會是固定的，這時候無論+1有幾種排列法，那個-1在時間點K的破戒只能算一次，此時-1就像是+1一般，要和+1一起計入重複排列的個數，因此分母就變成(n+1)!了。

最後，把總排列個數減去至少破戒一次的排列個數，就可以得到符合Catalan Number定義的數列排列個數了:

(2n)!/(n!n!) – (2n)!/((n+1)!(n-1)!))

最後，有興趣的讀者不妨在On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (http://oeis.org/)裡面尋找日常生活中遇到的數列喔！

Catalan Number可以應用在一些問題，譬如說售票口如果不自備零錢，有幾種人潮排列的方式可以不找零。正多邊形對角線個數的計算，以及n個數字相成的先後順序個數，也都可以用Catalan Number來解喔！是否也能夠來分析股市，計算一段時間裡面可能漲跌的組合數，就留給有興趣的讀者繼續研究囉！

VIDEO: Equivalence of Three Catalan Number Interpretations

雞尾酒夢境

(1) 磁浮重力VIDEO: Quantum Levitation

(2) HTC新店大樓施工畫面分享

VIDEO: HTC大樓施工過程

結語

最後，祝Richard Stallman (GNU Free Software創始人) 能夠因為第二位愛因斯坦的出現，在真實世界裡面，普及實現開放原始碼 (Open Source) 的夢想！也願有志於開放原始碼 (Open Source) 的你我不斷地努力下去吧！

VIDEO: Revolution OS

Linux作業系統和開放原始碼的故事，裡面有年輕的Linus Torvalds (27分30秒) 和Richard Stallman以及Password笑話一則 (5分10秒開始)。

因為免費經濟模式不是我一人說了算，就像是買了一隻手機也要有其他電話號碼能夠撥通才有意義，因此在此為文，給各位作為參考，方便我們一起思考，人類未來共同的部分，應該怎麼走，謝謝各位！

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不知道各位閱讀一篇blog的時候都是什麼樣子的時間？剛吃飽飯？剛做完劇烈運動？還是深夜還沒睡覺的時候？也許各位只有10分鐘左右的注意力可以閱讀這篇文章，但是數學相關的內容常常需要很多血液在大腦才能了解，在各位讀者大腦缺血的狀態下，硬是要大家腦充血，實在是有點殘酷。
不過這篇文章有另外一個嘗試，就是使用圖解的方式，讓大家可以用比較輕鬆的方式了解還滿有難度的Pólya計數法。各位讀者不必學過很難的定理，只要會「加法」、「乘法」、以及對三度空間有一些些想像力，就可以了解！願意試試看嗎？讓我們往下繼續閱讀吧！
開始之前先把Pólya本尊以及他發明的公式列在下面，今天的目標就是讓各位經鬆了解這個公式，甚至一輩子都不會忘記喔！

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加法原理和乘法原理

不知道各位是否還記得中學時候學到的排列組合。在這部分我們稍微有些直覺上的複習。首先讓我們注意到如果今天有一個瓷磚，然後我們有兩種顏色，但是瓷磚一次只能上一種顏色，那麼有幾種著色法呢? 我想大家應該都會回答是兩種。譬如說下面這張圖：

—

問號代表一個還沒上色的瓷磚。右手邊代表這兩種可能的著色方法：紅色、「或是」藍色。

接下來讓我們推廣到兩個瓷磚的時候。如果有兩種顏色 (紅色、藍色)，分別塗在兩個瓷磚上面，總共有幾種著色呢？讓我們視覺化這個問題的答案：

—

所以我們可以看到，有四種著色方法。在繼續討論之前，我們想做一件事，就是跨越「符號化」的鴻溝。首先，上面四種著色方法，我們如果用中文來唸，分別就是：「紅紅」、「紅藍」、「藍紅」、「藍藍」。如果我們用英文來代表呢？紅色是Red，所以用字母R來代表，藍色是Blue，所以用B來代表，那麼剛才四種著色方法，用英文字母來表示，就變成RR、RB、BR、BB了！

跨越符號化的鴻溝之後，我們要開始進入這一段的重點：加法原理和乘法原理。

我想各位應該都知道加法，譬如說 1+1 = 2。各位也應該都知道乘法，譬如說3*9 = 27。

那麼加法和乘法，和排列組合有什麼關係呢？我想可以用下面這種對應：

「或者」(OR) 的關係：用加法表示

「並且」(AND) 的關係：用乘法表示

拿上面兩個瓷磚著色個數為例，第一個瓷磚可以著上紅色「或者」藍色，第二個瓷磚可以著上紅色「或者」藍色。然後對每一個著色方法來說，是第一塊瓷磚是顏色X「並且」第二塊瓷磚是顏色Y，算是一種著色方法。所以要用R和B來表示這四種著色方法，我們可以套用數學的加法和乘法寫成：

(第一塊瓷磚是紅色或是藍色) 而且 (第二塊瓷磚是紅色或是藍色)

= (R+B) * (R+B)

= RR + RB + BR + BB

第一個括號裡面的R+B就是代表著第一塊瓷磚可以著上紅色(R)「或者」藍色(B)，第二個括號表示第一塊瓷磚可以著上紅色(R)「或者」藍色(B)。中間相乘代表第一塊瓷磚是某某顏色「並且」第二塊瓷磚是某某顏色的時候，算成一種「著色方法」。

接下來要從「符號化」的鴻溝，跨越「數量化」的鴻溝。數學把世界上的東西符號化之後，大部分專注在「量」的資訊上面。像上面的例子，我們用符號RR, RB, BR, BB列出用紅色和藍色，來塗兩塊瓷磚，有哪幾種著色方法。如果只專注在「量」的資訊，也就是說，我們只想知道有「幾種」著色法，而不用全部的著色法全部唸出來，那麼答案是 4 種。

那麼上面的乘法原理和加法原理產生的式子，要怎麼套用呢？只要把R和B，分別換成數字1就可以了：

(1 + 1) * (1 + 1)

= 2 * 2 = 4

就是答案「4種」了！

所以我們跨越了「符號化」和「數量化」的鴻溝，並且了解了加法可以代表「或者」，乘法可以代表「並且」的關係。在繼續下去之前，我們先從兩塊瓷磚推廣成三塊瓷磚的著色個數：

如果先用中文唸，我們會知道三塊瓷磚用紅色和藍色來塗，會有「紅紅紅」(小叮噹？)、「紅紅藍」、…、「藍藍藍」，用英文念就是RRR, RRB, …, BBB。用加法原理和乘法原理來計算就是：

(第一塊瓷磚是紅色或是藍色) 而且 (第二塊瓷磚是紅色或是藍色) 而且 (第三塊瓷磚是紅色或是藍色)

= (R+B) * (R+B) * (R+B)

= RRR + RRB + RBR + RBB + BRR + BRB + BBR + BBB

把R和B代換成數字1，就可以得到著色的「個數」這個「量化」的資訊：

(1+1) * (1+1) * (1+1)

= 2 * 2 * 2 = 8

所以總共有8種著色方法，數一下上面那張圖，的確是8種著色方法！

最後附帶一提，如果一個數字乘很多次，數學裡面為了表達方便，會用「次方」來表示，譬如說10個數字2相乘，全部寫出來是2*2*2*2*2*2*2*2*2*2，寫的手好酸，所以有一個記號，在網頁上通常寫成2^10，來代表數字2相乘了10次這件事情。所以

2^10 = 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2

OK。到目前為止，大家應該頭腦都還算清楚。有些可能中學就學過，大家都知道。不過接下來的東西，其實就是用這一段最基本的東西慢慢延伸，慢慢了解，所以到後面，還是會用到這一段提到的幾把刷子喔！

1. 加法原理和乘法原理

2. …

Pólya計數法想要解決的問題

Pólya計數法最主要想要解決的，就是一個物體用k種顏色有幾種不等價的著色法。看到「不等價」似乎有些不了解，讓我們先舉個例子：

上圖是一個正立方體，總共有六個面：上、下、左、右、前、後。如果我們用剛才提到的加法原理和乘法原理，表示量化的資訊，也就是用紅色和藍色來塗，有幾種著色方法，那麼就是有：

2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^6 = 64種著色方法。

如果用英文符號來表示出每一種組合，就是

(R+B)*(R+B)*(R+B)*(R+B)*(R+B)*(R+B)

= RRRRRR+RRRRRB+…+BBBBBB

接下來，讓我們做個表示方法的變換，我們把一個正立方體的六個面的著色問題，轉換成六個瓷磚的著色問題，這兩個問題的答案會是一樣的。而剛才上面64種著色方法，如果不用RRRRRR這種符號來代表某一種著色，而是直接畫在六塊瓷磚上面，會變成像是下面這張圖：

—

最左上角就是RRRRRR(紅紅紅紅紅紅)，六個面都塗紅色的這一組著色法，右下角就是BBBBBB(藍藍藍藍藍藍)，六個面都塗藍色的這一組著色法。中間就是其他62種著色法。

說到這邊，Pólya計數法到底想解決什麼問題呢？剛才提到了「等價」，指的是說如果我們回到剛才正立方體那一張圖，一個正立方體，可以沿著不同的旋轉軸，在三度空間裡面旋轉。在旋轉的過程中，我們會發現，有時候旋轉一下，某一種著色會變成另一種著色，也就是說，透過某個旋轉的過程，某一種著色方法其實和另一種著色方法「等價」。

舉個具體的例子，下面這個正立方體，上、下兩面的顏色先不管，中間的前後左右四個面，分別是紅藍紅藍(RBRB)的排列。如果我把正立方體沿著圖中的軸線逆時針旋轉，那麼中間的前後左右四個面，會變成藍紅藍紅(BRBR)。

也就是說，透過逆時針旋轉90度，在原先64種著色方法裡面，居然至少有兩種方法，是「等價」的，在原來64種方法裡面，這兩種著色被視為不一樣的著色，但是在三度空間裡面如果讓正立方體自由旋轉，我們會發現某些旋轉，像是圖裡面逆時針90度的旋轉，會讓原本算成兩次的著色方法，變成只能算一次的著色方法。

讓我們用剛才跨越鴻溝的時候一樣，用中文唸一次，先把正立方體的六個面做個編號：

如果上下兩面都塗紅色，那麼剛才那張圖就是「紅紅藍紅藍紅」(RRBRBR)，逆時針旋轉之後，顏色變成「紅藍紅藍紅紅」(RBRBRR)。在原來的64種組合裡面(RRRRRR+RRRRRB+…+BBBBBB)，RRBRBR和RBRBRR這兩種著色是不一樣的，視為兩種著色法。如果現在我們想要計算，各種旋轉(旋轉90度、180度、270度等等)之後，等價的著色只算是一種著色，那麼會有幾種著色法？

稍微思考之後，我們可以確定，在上面那個例子裡面，答案一定會少於64種對吧？可是確切的數字是多少呢？答案是10種。

怎麼算出10種呢？就是用Pólya計數法，如果只要算量化的答案，那麼就是用Burnside定理就好。感覺困難嗎？其實也不困難，只要繼續往下看圖，並且準備好剛才的兩把刷子–加法原理和乘法原理–就可以囉！

1. 加法原理和乘法原理

2.  Pólya計數法想要解決的問題

3. …

在三度空間想像立方體旋轉

在正式接觸Pólya計數法之前，因為我們使用了正六面體的例子，而Pólya計數法需要把三度空間裡面每一種可能的對稱旋轉(可以造成兩種著色變成一種的旋轉方式)全部都列出來，才能代入他的公式，因此我們要先列出，在三度空間裡面，各種對稱的正六面體旋轉，總共有24種，約略可分成四大類，一一列舉如下：

第一類：不轉

這一類的旋轉個數只有1個

第二類：穿過兩個面面中點的旋轉軸旋轉

這一類可以分成三個子類，如果三度空間的三個方向分別是X, Y, Z，那麼下圖就是沿著z軸，穿過兩個面的中點的旋轉軸。每次旋轉可以轉90度、180度、和270度，所以有三種旋轉

Y軸方向也是同樣有90度、180度、和270度三種旋轉，X軸也是。

所以這一類總共有 3 + 3 + 3 = 9種旋轉。

第三類：邊邊的中點連線為旋轉軸的旋轉

第三類有6種旋轉，分別是六對對邊的中點連線作為旋轉軸，但是因為每個旋轉軸來說，只有180度這一次旋轉，所以就剛剛好6種旋轉，把旋轉軸畫在下面：

第四類：點點相連為選轉軸的旋轉

第四類是八個頂點，兩兩為一對，總共有四個旋轉軸，但是這四個選轉軸因為每次可以旋轉120度或者是240度，所以這一類總共有8種旋轉。旋轉軸示意圖如下：

為什麼這一類的旋轉軸，會有120度和240度兩種旋轉呢？各位可以這麼想，正立方體上面有八個頂點，兩個頂點是旋轉軸的連線，剩下六個頂點，分成兩組，一組各三個頂點，這三個頂點在旋轉的時候，剛好會依次循環到彼此的位置上面，因此360度給3個頂點區分，就是依次可以旋轉360/3 = 120度了。下面這張示意圖就把剩下六個點，三個標成咖啡色，三個標成淺藍色，代表旋轉過程中會交替循環位置的三個點。至於怎麼確定在途中這個座標軸的旋轉下，那三個點會交替循環位置？可以用這三個點相鄰的的邊和面，做輔助的比對，就會相信真的是這樣子了！

把不相關的線條去掉之後大家可能會比較明白：

所以總共有幾種旋轉呢？總共是24種旋轉！24 = 1(不轉) + (3+3+3)(3個座標軸方向，面面中點為旋轉軸，分別轉90, 180, 270度) + 6 (邊邊中點為選轉軸，正立方體12個邊總共有6對邊，每個對邊形成的旋轉軸只有180度這一種對稱旋轉) + (4+4) (正立方體8個頂點，點點相連為旋轉軸，總共有4個旋轉軸，每個旋轉軸只有120度和240度兩種旋轉)

開始頭昏了嗎？希望上面的示意圖有所幫助！正立方體這個例子，也剛好是比較不容易想的例子，因為三度空間的對稱旋轉在這邊有些複雜，後面也會提到這部分可能是Pólya計數法的困難點和延伸修改的地方。

1. 加法原理和乘法原理

2.  Pólya計數法想要解決的問題

3. 在三度空間想像立方體旋轉

4. …

應用Pólya計數法算出不等價的著色法

接下來，我們終於要開始使用Pólya計數法的公式了！

第一行就是公式，第二行是展開。這些G和f和C的符號是什麼意思呢？讓我們用中文唸一遍，不等價的顏色個數，等於(C(f1)+C(f2)+…+C(fn))除以|G|。

那|G|是什麼呢？G代表我們剛才列了24種旋轉，把他集中起來，變成一個集合，我們看到G，就好像看到剛才列出來的24種旋轉方法一樣。

那|G|是什麼呢？|G|就是代表G這個集合裡面，有多少個循環。有點昏頭了，重講一次。假設第一個旋轉用f1代表，第二個旋轉方式用f2代表，第24個旋轉用f24來代表，那麼我們看到G，就好像看到了f1, f2, …, f24這些旋轉一樣。

|G|就是說，f1, f2, …, f24這些旋轉，數一數，總共有幾個呢？當然就是「24個」啦！

那麼C(f1)，或者C(f2)，又是代表什麼意思呢？是說原本我們如果用乘法原哩，正立方體6個面，每個面可以用紅色或者藍色來塗，總共會有2^6 = 64種著色方法，列出來就是RRRRRR, RRRRRB, …, BBBBBB這些著色方法。

C(f1)就是說，這些著色方法裡面，有哪些著色方法，經過f1這個旋轉以後，會保持不變，譬如說64種著色方法，我們用c1, c2, …, c64這些符號來代表好了。那麼如果第15種著色方法，經過f1這個旋轉方式旋轉，還是原來第15種著色方法的外貌，那麼C(f1)就包含了c15這種著色方法。

因此，Pólya計數法和我們說，如果你要知道不等價的著色方法有幾種，有哪些，你只要告訴我有哪些旋轉方式 (f1, f2, …, f24在這個例子裡面)，以及每一種旋轉方式之下，有哪些著色方法可以保持不變，把這些著色方法的個數加起來以後，再除以旋轉方式的總個數|G|，就可以知道答案！

那麼有沒有比較有系統的方式，可以算出每一個旋轉方式 (f1, f2, …, f24) 裡面，有幾種著色方法，可以經過某個旋轉方式旋轉以後，仍舊等於他自己？這邊用了一個數學表示方法，在數學裡面稱為「循環群」，不過使用起來十分直覺。讓我們先觀察下面這個例子：假設我們把正立方體六個面先做一個編號

那麼，如果有一個旋轉軸是穿過第一面和第六面的中點，像是下面這張圖：

然後繞著旋轉軸逆時針旋轉90度，那麼第二面會跑到第三面的位置，第三面會跑到第四面的位置，第四面會跑到第五面的位置，第五面會跑到第二面的位置，第一面和第六面則是各自停在原來的位置。

現在如果用一個括號，裡面分成上下兩排，上面那排數字是旋轉前，第一面到第二面的編號，下面那一排數字是正立方體依照剛才的旋轉軸逆時針旋轉90度之後，會跑道的位置，寫出來就會變成：

如果依照旋轉軸，旋轉180度呢？那麼第二面會轉到第四面的位置，第四面則是轉到第二面的位置；第三面轉到第五面的位置，第五面則是轉到第三面的位置，寫成剛才的表達方式，就是上面的第二個大括號的內容。

接下來要做什麼呢？我們可以把上面表達方式，再做一次轉換，把每個循環的數字抽離出來，所以上圖中的第一個大括號，轉換成循環群的表達方式，就變成：

[1][2 3 4 5][6]

意思就是說，旋轉軸逆時針轉90度以後，第一面和第六面待在原地，所以自己循環到自己，但是第2面、第3面、第4面、第5面，會彼此循環。

同理可推，下面第二列如果用循環群的表示法，就變成：

[1][2 4][3 5][6]

寫成這種表示法，有什麼好處呢？剛才提到對每個旋轉方法，像是f1等等，我們想要有一個有系統的方法，來算出對f1或是f15等旋轉來說，有哪些著色法經過這個旋轉後仍舊等於他自己？

回到剛才具體的例子，假設沿著剛才那個旋轉軸逆時針旋轉90度的旋轉來說，是第15個旋轉，用f15來代表，然後每一面可以用紅色和藍色來塗，那麼有哪幾種著色法，經過f15這個旋轉，仍舊等於他自己呢？如果我們用上面的編號順序來唸的話，RBBBBR這種著色法，是一種。再多列幾種，我們發現，只要第二面到第五面都是紅色，或者都是藍色，的著色法，經過f15這種旋轉，都會等於他自己。

回到循環群表示法，他的好處就是，只要把每一面可以塗上的顏色帶入每一個循環，哪幾種著色法旋轉後可以等於他自己，答案就馬上浮現，譬如說f15這種旋轉的循環群表示法是：

[1][2 3 4 5][6]

代入可能的顏色 紅與藍 R and B

[R+B]*[RRRR+BBBB]*[R+B]

[R+B]*[RRRR+BBBB]*[R+B]

= RRRRRR+RRRRRB+RBBBBR+RBBBBB+BRRRRR+BRRRRB+BBBBBR+BBBBBB

= 1*1*1*1*1*1+1*1*1*1*1*1+1*1*1*1*1*1

+1*1*1*1*1*1+1*1*1*1*1*1+1*1*1*1*1*1+1*1*1*1*1*1+1*1*1*1*1*1

= 1+1+1+1+1+1+1+1

= 8

把R和B用數字1代入，我們就可以知道，透過旋轉f15之後，有8種著色法，仍舊等於他自己。

另外，我們也可以整理一下字母表示法：

RRRRRR+RRRRRB+RBBBBR+RBBBBB+BRRRRR+BRRRRB+BBBBBR+BBBBBB

= (R^6) + (R^5)*( B^1) + (R^2)(B^4)

+ (R^1)*(B^5) + (B^1)*(R^5) + (B^2)*(R^4)

+ (B^5)*(R^1) + (B^5)

=1*(R^6) + 2*(R^5)*(B^1) + 1*(R^4)*(B^2)

+ 1*(R^2)*(B^4) + 2*(R^1)*(B^5) + 1*(B^5)

也就是說，經過f15這個旋轉之後，仍舊等於自己的著色方法有8種，在這8種著色法裡面，六面都是紅色的有一種，五個面是紅色一個面是藍色的著色方法有兩種，依此類推。

所以，整個使用Pólya計數法的流程，就變成：

(1) 列出所有的旋轉方法，在這個例子裡面就是f1, f2, …, f24總共24種旋轉法

(2) 把每一個旋轉法，列出六個面旋轉之後會到哪一個面，像這一張圖：

(3) 把上面的表示法轉換成循環群表示法，像旋轉90度的例子就是：

[1][2 3 4 5][6]

(4) 把可能的顏色，代入循環群表示法，就可以算出在某個旋轉作用下，哪些顏色轉完之後仍舊等於他自己。在這個例子用紅色(R)和藍色(B)的話，就變成：

(R+B)*(RRRR+BBBB)*(R+B)

中間填了四個RRRR以及四個BBBB是因為要表示說四個面因為旋轉之後會有關聯，因此他們的著色一定要一樣，經過這個旋轉，才會等於自己。所以四個面同時為紅色就是RRRR，四個面同時為藍色就是BBBB。我們可以用之前提過的次方表示法，讓表達稍微簡潔一些：

(R+B)*(R^4 + B^4)*(R+B)

同樣地，把R和B分別帶入數字1，我們就會得到量化的資訊，也就是有幾種，而不是把每一種可能的著色法一一列出來。

而因為這種表示法的特性，剛好就是數學裡面「生成函數」的概念，因此正式計算的時候，通常就會寫成生成函數的樣式，來做計算，但是意義上，其實就是我們這一段從頭到尾，想要表達的計算方式。

舉例來說，在上面循環群的表示法裡面，如果我們把長度為1的循環，抽象化，用變數z1來代表，長度為4的循環，抽象化用變數z4來代表，那麼f15這個旋轉的循環群表示法

[1][2 3 4 5][6]

我們忽略面的編號，只注重每個循環的長度，那麼這個循環群抽象後，就變成

z1*z4*z1

接著如果代入R和B兩種顏色的時候，我們就規定，z1代入R^1(R的一次方)+B^1(B的1次方)，z2要代入(R^2 + B^2)，z4則要代入(R^4 + B^4)，那麼跟剛才的計算過程就會一模一樣！只是這個步驟更加系統化了！

[1][2 3 4 5][6]

=> z1*z4*z1

=> (R^1+B^1)*(R^4+B^4)*(R^1+B^1)

=> (R+B)*(RRRR+BBBB)*(R+B)

=> (第一面是R或B)而且(第二面到第五面是R或B)而且(第六面是R或B)

=> (第一面是紅色或藍色)而且(第二面到第五面是紅色或藍色)而且(第六面是紅色或藍色)

您看！從中文，到英文，到乘法，到次方表示法，到循環群和生成函數的互換過程，其實並沒有想像中的困難！您說是吧？

至於用生成函數系統化表示，是因為我們有24個旋轉，每個旋轉用循環群表示之後，我們化簡，然後用z1, z2, z3, z4, z5, z6分別代表長度為1的循環，長度為2的循環，一直到長度為6的循環為止。

那麼24種旋轉，有24個循環群表示法，每個循環群是z1*z4*z1或者z1*z1*z2*z2等等這種形式的化簡，譬如說z1*z4*z1可以變成z1^2 * z4等等。把這24項加起來以後，我們得到的生成函數

P(z1, z2, z3, z4, z5, z6)

= (z1^6 + 6*z1^2 * z4 + 3*z1^2 * z2^2 + 6*z2^3 + 8*z3^2)/24

這個時候再依照剛才的規則，z1代入R^1(R的一次方)+B^1(B的1次方)，z2要代入(R^2 + B^2)，z4則要代入(R^4 + B^4)，以此類推。那麼我們就可以得到

r^6 + r^5*b +2*r^4*b^2 + 2*r^3*b^3 + 2*r^2*b^4 + r*b^5 + b^6

意思是說，不等價的著色方法裡面，六個面都是紅色的有一種，五個面紅色一個面藍色的著色法有一種，四個面是紅色兩個面是藍色的著色方法有兩種，一直到六個面都是藍色的著色法有一種。

同樣地，如果把r和b分別用數字1代入，我們就可以得到，使用紅色或者藍色來塗正方體的六個面，經過這24種旋轉之後，正立方體不等價的著色有幾種，為10種。剛好就是答案多項式的係數相加 1+1+2+2+2+1+1 = 10。

有了這個公式，我們是不是就有了系統化的方法，只要知道一個立體結構，在三度空間會怎麼轉，寫成循環群的表示法，再轉換成生成函數表示法，最後代入每一個面可以塗上的顏色，那麼不等價的著色法個數，馬上就算出來了！甚至還可以知道只有某些顏色塗了K個面的著色法有幾個呢！非常神奇吧！

可是接下來我們要問：你怎麼知道這個定理的公式是100%對的呢？這就是下一段要討論的了！

1. 加法原理和乘法原理

2.  Pólya計數法想要解決的問題

3. 在三度空間想像立方體旋轉

4. 應用Pólya計數法算出不等價的著色法

5. …

Pólya計數法的圖解證明

看到這邊還有力氣的人，讓我們繼續衝刺！

在圖解證明之前，我們先看看和Pólya計數法很接近的Burnside定理的數學證明。Burnside定理和Pólya計數法唯一的差別，在於Burnside定理只能算出總共有「幾個」不等價的著色法。Pólya計數法則是除了這個「量」的資訊，還可以進一步把每一個顏色用字母r, b等列舉出來，和你說只有3面塗紅色3面塗藍色的不等價著色法有2種。

不過就證明的過程，其實是共通的。下面是筆者複習Pólya計數法的時候，參考的書籍內容，不習慣數學符號的讀者，可以稍微瀏覽後直接跳到後面的圖解部分。

———————————————————–

讓我們先從最早的地方回想起，搭配正立方體的例子。

我們有一個正六面體，每一個面可以塗兩種顏色：紅色或者藍色。根據乘法原理，總共有2^6 = 64種著色法。把這64種著色法列出來，就像是下面這張圖：

接著我們又知道，正立方體在三度空間裡面，有各種對稱的旋轉軸，旋轉之後，會讓64種著色法裡面某些著色法等價。現在我們的目標，是要計算經過各種旋轉之後 (在這個例子裡面總共有24種旋轉，參考前面講解旋轉的那一段)，仍舊不等價的著色個數有多少個，根據Pólya計數法，答案是10種，還可以詳細列出每一種的顏色資訊。

讓我們再看一下Pólya計數法的公式，N(G,C)代表我們想要知道的答案，在這邊是10種不等價的著色方法。

把公式稍微移項得到

現在證明的過程，就是想要證明等號的左邊，等於右邊。

等號的左邊是什麼呢？就是10種不等價的著色法，數字10，乘上旋轉方法的個數，這邊是24。

等號右邊是每一個旋轉法之下，維持不變的著色法個數，每一個旋轉法都算一次，然後相加起來。

所以等號左邊畫成一張圖會是什麼樣子呢？

我們先把64種著色法，用64個灰階小圓球代替。

接下來等號左邊，就像是把這64顆灰階小圓球，分成10組。每一組有幾個，我們並不確定，就先畫個大概就好。

接下來，每一組裡面的每一個小灰階圓球，代表著64種著色法裡面的其中一種，可以經由24種旋轉法，轉來轉去。我們用箭頭，來代表旋轉所做的轉換。

那麼，有些旋轉，對於某種著色法來說，沒有作用，就像是RRRRRR這種著色，不管怎麼亂轉，還是等於他自己，所以24個箭頭，代表正六面體在三度空間裡面的24種旋轉法，在RRRRRR這個著色法小圓球上面，會一直指回他自己。

不過有些著色法，經過某些旋轉會等於他自己，但是經過另一些旋轉，會變成64種著色法裡面的某一種著色法，舉例來說，逆時針旋轉90度，會讓64種著色法裡面的RRBRBR著色法變成RBRBRR著色法，如下圖：

旋轉180度的時候，這RRBRBR和RBRBRR兩種著色法會各自旋轉成自己，如下圖：

所以剛才灰階小球那一張圖裡面，各種箭頭，就是代表各種旋轉，每個小球代表64種著色法裡面的一種著色法，每個小球可以有24個箭頭，代表這種著色經過24種旋轉，會變回自己，還是變成另一種等價的著色法，這就是剛才那張圖想要表達的意思了！讓我們再看一次：

現在我們把注意力，集中在每顆小灰球上面，指回自己的箭頭。這些箭頭代表24種旋轉裡面，那些會讓某一個著色法(某一個小灰球)，旋轉後仍舊等於自己的那些旋轉。如果一個小灰球有8個箭頭指回自己，代表24種旋轉裡面，有8種旋轉，轉完以後那顆小灰球仍舊等於自己。

所以，每一組裡面的小球代表經過24種旋轉可以互換的著色，因此同一組的小球，代表著「等價」的著色。

不同組的小球，代表著24種旋轉不管怎麼轉，彼此都轉不到對方的著色，因此互相為不等價。譬如說RRRRRR這種著色不管怎麼轉，永遠不會轉成RRBRBR這種著色法。因為在這個正立方體的例子裡面，不等價的著色有10種，所以上面畫了10組灰色小球，64顆灰球各自落入10組等價著色區裡面。注意！每一個等價著色區的灰色小球個數，並不一定會相同，有的可能只有一顆灰球，有的可能會有8顆灰球，計數法也不在乎每一類有幾顆。

接著讓我們把上面那10組小灰球裡面某一組放大，假設我們放大的那一組等價著色裡面，有三顆灰球，代表這一組等價著色，包括了原來64種著色方法裡面的3種著色法。

同樣地，每顆灰球有24個箭頭，代表每種著色法可以經由24種旋轉來改變。有的箭頭指回自己代表某些旋轉，轉完以後，自己仍舊是自己。

接下來我們要注意，數算哪些東西呢？我們要數，每顆灰球上面，有幾個箭頭指回自己？在上面這張圖，有三顆灰球，不過每顆灰球，都有剛剛好8個箭頭會指回自己，另外16個箭頭，也會剛好8個8個，分別指向另外兩顆灰球。

為什麼呢？怎麼證明？

剛才參考書那一頁有用一個小定理 (lemma) 來證明。這邊我們想用直覺一點的講法試試。

首先，假設對某一顆著色，也就是圖裡面某一顆灰球來說，有8個箭頭指回自己，代表有8種旋轉，對這顆灰球的著色來說，轉完仍舊等於他自己。

接下來假設這顆灰球名字是A好了，另外一個球叫B。球A到球B之間的箭頭，代表某些旋轉，轉完之後，正方體的著色，會從著色A變成著色B。

現在我們好奇的是：會不會剛好也8種呢？答案為「是」。為什麼？

假設球A到球B之間的箭頭，有f1, f2, …, f8

這代表著f1這個旋轉和f2這個旋轉，都有把著色A變成著色B的效果。

如果是這樣，如果我們用f1把著色A轉成著色B，再用和f2的相反的旋轉，也就是f2的逆旋轉，就可以把著色B轉回著色A了。舉個具體的例子，假設著色A是RBRBRR，f1是逆時針轉90度，f2是逆時針轉270度，兩種旋轉都可以把著色A(RBRBRR)轉成另一個著色RRBRBR，那麼我們先用f1對著色A旋轉變成著色B，再把著色B用f2的逆旋轉，回著色A，效果就如同那些指回著色A自己的箭頭一樣。

也就是說，著色A到著色B之間的箭頭，如果兩兩一組，其中一個改成逆旋轉，那麼就等於是一個指回自己的箭頭的旋轉了！像下面這張圖一樣：

現在這個例子裡面，我們知道指回著色A自己的箭頭有8個，所以著色A和著色B之間箭頭兩兩配對，也最多有8種指回自己的方法(不然會和已知只有8個箭頭指回著色A的這個條件矛盾)，也最少要有8種自己指回自己的方法(不然會和已知剛好有8個箭頭指回著色A的這個條件矛盾)。

所以根據上面的推論，一個等價區域裡面，如果有3個著色 (3個灰色球)，那麼必定會有24/3 = 8個箭頭指回自己，另外16個箭頭分別8個8個指向其他灰色球。

重點是：

因此，每個等價區域裡面，不管有幾顆灰色球，每顆灰色球指向自己的箭頭，個數一定相同，而且全部加起來一定等於旋轉方法個數的總數|G|，在這個例子總共有24種旋轉，

因此我們證明了公式等號的左手邊：N(G, C) * |G|

在這個例子，我們有10個等價區域，每個區域在剛才的討論中證明了一件事，就是等價區域裡面灰色球的個數不一定相同，但是每個等價區域裡面，每個灰球指向自己的箭頭個數加總起來，必定剛好是|G|個，然後等價區域會有N(G, C)個，也就是記數法剛才求解的答案，這個例子裡面是10種不等價著色法。乘上這個例子裡面，旋轉個數總數|G| = 24，所以以這個例子來說，等號左邊是 10 * 24 = 240

現在要開始證明，等號的右手邊，在這個例子裡面是否也是240呢？

讓我們看看下圖：

剛才在等號的左手邊，我們是一類一類去數，在每個等價類裡面，每個著色，指回自己的箭頭個數，全部加起來總共240個箭頭。

等號右手邊，我們回顧一下，是計算每一種旋轉的情況下，有幾種著色會轉回自己，譬如說先討論旋轉f1，會有著色c1, c2, …, c8，在f1的旋轉下，仍舊轉回自己。上面這張圖，紅色的箭頭，就代表著f1這個旋轉，經過f1旋轉後仍舊等於自己的著色c1, c2, …, c8，散佈在不同的等價虛線區域裡面。

用同樣的方式，我們計算有幾個著色經過f2會轉回自己，有幾個著色經過f3會轉回自己，…，一直到在這個例子裡面，有幾個著色經過f24會轉回自己。我們相信數出來的個數，會和等號左邊數出來的個數相同。為什麼？

因為在上面這張圖裡面，每顆灰球指向自己的箭頭個數，加總起來，是240。只是等號左邊加總的順序，和等號右邊加總的順序，不一樣。就如同我們要加總4疊硬幣總共有幾個硬幣，我們可以一疊一疊數在加起來，也可以先算第一層有幾個硬幣，第二層有幾個硬幣，一直到最高層有幾個硬幣。兩種計算方式是一樣的。如下圖：

所以現在唯一要確定的，就是等號左邊的計算個數，真的是上面圖裡面，每顆灰球指向自己的箭頭的個數的總和。我們剛才用了幾段文字argue證明了。

等號右邊要怎麼確定也是正確的呢？

因為上面那張圖裡面，每一顆灰球都有24個箭頭，假設現在要算有幾種著色經過f1旋轉會不變，我們在圖裡面64顆球走一趟，數到有指回自己的箭頭就累加起來，那麼一定不會少算，也不會多算！

等號左邊則是10個等價區域裡面，一個區域一個區域來數。又發現對稱旋轉的作用下，位在同一個等價區域的小球如果有3個，那麼一定會有24/3 = 8個箭頭指回自己，所以每個等價區域指回自己的箭頭總數必定是24，沒有多算也沒有少算。最後每個區域的累計再全部加總起來，成為計數法公式的左手邊。

所以—等號左手邊和右手邊的數量相同！得證！

這種證明法大家看的懂嗎？…希望沒有越講越糊塗才好:)

1. 加法原理和乘法原理

2.  Pólya計數法想要解決的問題

3. 在三度空間想像立方體旋轉

4. 應用Pólya計數法算出不等價的著色法

5. Pólya計數法的圖解證明

6. …

Pólya計數法可能的擴充

終於把計數法的使用方法，以及證明兩大部分說明完畢！正立方體再三度空間的旋轉第一次想像也會比較不容易。然而如果讀者有讀到這邊，也要深深恭喜你！

接下來就探討一些稍微輕鬆的部分了。

首先上面的例子裡面，怎麼沒有考慮順時針？其實也可以考慮，只不過分子分母同時會變成兩倍。分母變成48種旋轉方法。分子變成要累計48種旋轉的不變著色的個數，因為逆時針和順時針對稱，所以個數來講也是乘以2。不過「不轉」那一項為什麼要乘以2，我還不知道怎麼解釋。

第二個難題是：如果今天是要計算正立面體上面，頂點的不等價著色個數，那麼依樣畫葫蘆，從循環群表示法，轉換到生成函數，算一算，就有答案了！

第三個難題是：如果不是正立面體，是正二十面體，那麼萬一漏算了一種旋轉，代入公式以後出來的答案不就錯了，甚至不能整除呢！這點我在複習過程中也有想到，計數法對於旋轉的個數和方式，並沒有提供系統化的方法，可以一步一步往下走，一樣畫葫蘆。不過在列舉旋轉個數的時候，也有一些經驗法則，旋轉軸通常是對稱的中心連成一直線，對稱中心可以是面面相連、邊邊相連、頂點相連為對稱旋轉軸。

不過如果不是正多邊體，恐怕就不是那麼直覺了！也許這部分，是將來可以研究的方向。或許已經有人研究過相關主題，還請專家們多多指教了！

Wikipedia: 正二十面體

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4. 應用Pólya計數法算出不等價的著色法

5. Pólya計數法的圖解證明

6. Pólya計數法可能的擴充

7. …

對於Pólya計數法應用的想像

有了Pólya計數法，我們可以想像多種不同的應用，只要這個問題可以化約成排列組合的問題，有對稱性，以及對稱性運轉下需要消去重複的組合數，希望能夠計算出有多少種。這一類型的問題，Pólya計數法應該都派得上用場。

在這邊希望無論讀者是哪一個領域，都可以嘗試使用Pólya計數法，因為無論是哪一個領域，只要用得上，公式就在這邊，公式也證明100%正確，因此不用可惜！以下是一些跨領域的應用想像，還請各個領域的專家們多多指教。

(1) 在生物醫學的領域

有些藥物需要多種組合排列，但是化學分子也具有三度空間的性質，有時候或許某些雞尾酒是等價的，或者某些蛋白質結構是等價的，但是幾種胺基酸是已知的，這時候或許Pólya計數法可以應用得上。

(2) 注音輸入法或是語意分析

無論是注音輸入法，語意分析，語音分析，我們的已知通常是一些基本元素，但是答案是這些基本元素的各種可能組合的其中一種。我們也會有一些輸入資料是各種組合之間的等價關係，譬如說同義詞，或者是注音打到一半的片段。這時候如過要計算哪些輸出結果比較有可能，Pólya計數法也許是另外一種嘗試。

(3) 文學與藝術創作

現在內容數位化，然後數位內容的創作，仍然是以人類為主。如果用衣服的製作來類比，也許有一天，我們不一定只觀賞人類的創作，機器的創作一樣可以消費，就如同我們有機器製作的成衣，大量生產，特殊場合才需要手工訂做。

而機器要創作數位內容，除了藝術價值，以及基本的語文概念要如何建立在機器上的難題以外，我想排列組合，應該也是機器創作的一種方式。只要給予基本元素，以及等價關係的限制，利用Pólya計數法，也可以計算不等價的創作個數，以及詳細的組合方法的資訊。也許這一天的到來，可以解決數位內容走向免費的一部分問題吧？

1. 加法原理和乘法原理

2.  Pólya計數法想要解決的問題

3. 在三度空間想像立方體旋轉

4. 應用Pólya計數法算出不等價的著色法

5. Pólya計數法的圖解證明

6. Pólya計數法可能的擴充

7. 對於Pólya計數法應用的想像 8. …

心得和結語

複習Pólya計數法過程中，我的大腦似乎極度的活躍，不過我也滿enjoy這種思考的過程。除此之外，我也想到發明定理的George Pólya，在發明這個定理之前，他只有當時前輩的著作可以參考，以及眼前的一張白紙和一枝筆。切換回現代，我們可以參考的定理變多了，然而不變的是：我們如何從無變有，從一張白紙創造出一個定理？

今天我們只是理解了這個定理。然而理解之後，真正的難題，應該就是無中生有的「創造」了！願彼此勉勵從單單「理解」的人，變成有能力「創造」的人！

Wikipedia: 法國國旗

最後，無論今天是否一次了解Pólya計數法，都沒有關係。還記得小時候曾經有一題考試問說：「一面國旗三種顏色，三面國旗有幾種顏色？」回答3種是正確答案，回答9種可能是被題目騙了，但是如果我沒記錯的話，我好像回答27種，不知道那時候在想什麼。但是長大以後，只要多複習多思考，今天的我仍舊至少可以「理解」Pólya計數法。因此無論生命中有什麼挫折，也勉勵各位只要活著就有希望！願大家一起努力！明年若有機會再來理解另一條定理吧！:D

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4. 應用Pólya計數法算出不等價的著色法

5. Pólya計數法的圖解證明

6. Pólya計數法可能的擴充

7. 對於Pólya計數法應用的想像

8. 心得和結語

附上原始paper第一頁的貼圖。響應台北花博，貼上花朵照片3張。

延伸閱讀

Pólya計數法原文paper (德文)

G. Pólya (1937). “Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen”. Acta Mathematica 68 (1): 145–254. doi:10.1007/BF02546665

Burnside定理原文paper (英文)

Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press.

組合學漫談

組合數學中的生成函數

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Google在今年7月發起一項活動，叫做Life in a Day，在一個禮拜的時間內，邀請大家把自己一天生活的影像，上傳給Google，最後會把大家紀錄的影像編成一部電影，在2011年年初發表。目前影像上傳已經截止，不過我們還是可以先看一下活動發起的宣傳影片，以及製作導演當初想到這個計畫的源頭為何？

宣傳影片：

奧斯卡得獎導演Kevin Macdonald製作的動機-英國平民檔案室：

似乎有字幕翻譯的Beta功能，不過不知道是否已經可以使用？不過至少CC按鈕按下去，目前會出現英文字幕，真的英文聽不懂看不懂，也可以看看畫面，主要是英國一個大量觀察文件室 (Mass Observation Archive) 紀錄著從1930年代到今天，各種人、各種生活、各種主題的紀錄，有文字、圖片、樂譜，是一種平民生活的史料。

身在數位世紀的今天，我們可以在每一個現在，回憶著海量的歷史資料，也可以身在甲地，觀察著海量的乙地資訊。當海量的資料彼此互相來回之後，可以產生哪些浪花呢？我想這是我們可以繼續思考的問題了！

想法1: 計畫著海量的未來?

想法2: 影響著海量的乙地 ?

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Google去年提出了10的100次方計畫 (10^100) ，目的是藉由比賽獎金，以及群眾的創意和決策投票力，達成讓世界更好的任務。今年終於結果出爐，總共有5個計畫獲獎，讓我們先看看這5個得獎結果的影片介紹和文字介紹吧！

下面文字介紹則是引述Google的10^100計畫網頁：

創意：線上提供免費的教育資源

資助提案：Khan Academy 是一個非營利的教育機構，其線上影片庫收藏了超過 1,600 部教學影片，可讓世界各地的所有使用者免費觀看高品質的教育課程。我們將提供 2 百萬美元資助 Khan Academy 錄製更多課程教材，並將他們的核心影片庫內容翻譯成數種常用語言。

創意：加強科學與工程教育

資助提案：FIRST 是一個透過團體競賽在全球推廣科學與數學教育的非營利機構，其宗旨是藉由提供年輕朋友與專業工程師和科學家合作的實務經驗，鼓勵他們成為科學與科技領域的領導人物。我們將提供 3 百萬美元，協助推展由學生組成的機器人研究小組新籌辦的募款計劃，促使更多學生團體投入 FIRST 的活動。

創意：讓政府更公開透明

資助提案：Public.Resource.Org 是一個非營利機構，持續致力於將公開的美國政府文件放到線上，方便大眾瀏覽使用。我們將提供 2 百萬美元給 Public.Resource.Org，協助他們將合法的美國政府資料放上網路，提供大眾存取。

創意：促進公共運輸的革新

資助提案：Shweeb 是一個採用單軌人力車款，專為都市內中短程的交通運輸所構思的概念。我們將提供 1 百萬美元，資助 Shweeb 進行研究與開發，進而在都市環境中測試相關技術。

創意：提供非洲學生優質教育

資助提案：African Institute for Mathematical Sciences (AIMS) 是一所位於南非開普敦的數學及科學教育研究中心。AIMS 的主要使命是提供近期大學畢業生為期一年的銜接課程，協助他們在修習碩士和博士研究課程前深化相關技能與知識。我們將提供 2 百萬美元，資助 AIMS 在非洲設立更多教育中心，推廣研究所等級的數學與科學教育。

接下來我們先進行一些機器現在可能已經會的事情：廣度優先搜尋，也就是分別造訪這5間得獎機構的網站，並且列出最重要的關鍵字，以後需要的時候再回來逛逛。

(1) Khan Academy: http://www.khanacademy.org/

(2) USFIRST: http://www.usfirst.org/

(3) Public Resource Org: http://public.resource.org/

(4) Shweeb Motor Technology: http://shweeb.com/

(5) AIMS: http://www.project10tothe100.com/aims/index.html

個人覺得運輸的發明還滿酷的！機器人的發明對未來滿有幫助的！教育影片的網站未來滿值得慢慢觀賞的！不知道各位讀者的想法又是如何呢？

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Web2.0期待有一天網路的內容消費者可以同時是內容生產者，然而現階段可行的例子並不多，卡住的地方包括如何讓免費可行，像是Wikipedia維基百科依賴大家的捐款才能讓虛擬的內容實體地存在於電腦主機給大家使用。另一項卡住的地方則是Web2.0生產的內容沒有管理和過濾，雖然讓內容生產由單向變雙向，但是內容品質、可信度不夠好，總讓人覺得不如回到單向內容的時代？

然而就像幾千年前的樹木，不會想到他的軀殼可以在數千年後，在各種交通工具裡面用另外一種方式奉獻自己；Web2.0的內容生產方式，仍然有可行的機會，只是需要你我不斷地去思考新的方式。今天這篇文章一方面介紹 (回顧) 最近一陣子出現的三項新科技，另一方面則是用一個Web2.0生產內容的故事，試著把三項科技串連起來。最後也探討在這三項科技還沒有普及的今天，是否有其他地方，可以立即先嘗試用Web2.0的方式來生產內容？

接下來讓我們分別先看看三項科技的Demo影片，分別是 (1) Intel矽光子技術、(2) 微軟Project Kinect (之前為Project Natal) 、以及 (3) N-3D的全息影像技術。

首先讓我們看看這篇文章提到的全息圖 (Hologram) 技術，全息圖簡單地說，就是讓影像直接出現在空氣裡面，不管是2D還是3D，影像都栩栩如生地出現在空氣裡面，讓影像從各式各樣的螢幕走出來了。影片裡面的展示系統，用到了一些光學的原理，讓全息影像可以先透過各種鏡子的組合幫助下，有個基本的樣子出來：

N-3D DEMO from aircord on Vimeo.

接下來要看看兩個微軟Project Kinect的DEMO影片。目前產品還沒開賣，不過這個遊戲機最大的不同點，在於手上腳上都不用裝遙控器，只要透過遊戲機的相機就可以知道 (1) 客廳裡有人類 (2) 這個人在哪裡  (3) 這個人的動作。有了這種遊戲的互動介面，玩遊戲就更像在大自然裡面的活動，讓人類從鍵盤滑鼠的世界，進入了遙控器的世界，再進入我的手腳就是遙控器的世界了！

最後要提到的是Intel最近提出的光傳輸技術，讓資料可以使用各種顏色波長的光線，遊走在各大資料中心之間，並且大大提昇資料傳輸的頻寬，3D影像，高解析度的影像，在光速頻寬技術普及的時代，都會像自來水一樣的自然。

串起三項科技的Web2.0生產內容故事

看完了以上三項科技的DEMO影片，這邊要用什麼故事，把這三項科技串起來，並且符合Web2.0生產內容的主題呢？在這邊我想要用家庭電影院雙向化的故事。

首先，N-3D的技術，讓我們有機會可以把目前高解析度的2D電影，變成不用眼鏡，甚至不用螢幕，而是栩栩如生地出現在家中客廳的空氣裡面。這項技術讓單向影片內容的吸收過程，變得更加自然。

其次，微軟Project Kinect的技術，增加了另外一個相反方向的自然性，也就是把人類的肢體動作，以更自然的方式回饋給機器，影像內容除了原來單向的傳送，變成可以由消費者逆向產生，提供雙向互動式生產內容的機會。

最後，Intel光速傳輸資料的技術，除了讓高畫質變成3D的頻寬成為可能，也讓消費者和機器的雙向互動成為可能，甚至也讓全世界各地的人類，透過高速網路，實現任何地點任何時間，透過網路和電腦機器，雙向互動的同時雙向生產內容。

微電影與新電子賀卡的可能

這個故事再具體一些的話，未來活在網路的各個端點的使用者，在上述科技產生的極度自然的消費和生產環境裡面，原本在電影院才有的聲光效果，使用者變成在家裡就可以享受家庭電影院。

除此之外，消費者可以更進一步，把高解析度3D全息影像的10分鐘片段拿出來，加上一些自己的創意，讓自己變身劇中的主角，在既有影片的巨人肩膀上，生產出新的內容。譬如說諾曼地登陸的槍戰場景栩栩如生地出現在家中客廳，使用者可以一邊加入槍戰，一邊創造新的影片，每一場槍戰都是新的電影片段。又或者變形金剛的某兩個場景之間，你覺得要加上某一小段比較有趣，還是你想要〈全面啟動〉的劇情有不同的對白和結局，都可以透過栩栩如生的單向傳送，成為互動式雙向內容生產的起點！

最後，新產生的影片可以當成是純粹休閒活動來分享給朋友，或是在特殊節日變成3D全息圖影像賀卡，只不過賀卡呈現的方式是3D全息影像，並且把賀卡寄件人想表達的意義，嵌入某部電影的10分鐘片段裡面，賀卡收件人收到的除了是一份賀卡，也是世界上另一件獨一無二而且又是免費的創作。

商業模式以及現行內容生產的可行性

上面這個故事雖然把三項科技串連起來，不過最讓人擔心的，似乎是可行的商業模式在哪裡？即使巨人願意把內容重製權開放出來，消費者互相分享免費自製影片也分享的很開心，讓內容的循環有免費的開始，其他地方是否有賺錢的機會呢？這邊我想我也只能粗淺地提出建議，就是各自收費：網路頻寬收網路頻寬的錢，3D電視收3D電視的錢，互動裝置收互動裝置的錢，如果系統環節中有收不到錢的地方，就只有和整個系統裡面收得到錢的部分合作一途了？

另外一個想要探討的問題則是：現在這三項科技都還沒有普及的情況下，我們有哪些內容，可以先開始嘗試這種把個人嵌入既有巨人內容，從巨人肩膀上的微創作開始，形成獨一無二又免費的Web2.0內容生產呢？

如果從目前巨人內容的價格來看，也就是目前仍舊是單向傳送的內容價格來看，電影和音樂內容價格都還很高，版權問題也非常嚴重。慢慢往下列表，新聞內容也有版權爭議，但是價格已經可以和養樂多或手機月租費相比，只不過又有即時性和深入性等性質需要探討，因此也不大容易應用進來。再往下列表，我想最沒有爭議的，應該就是「廣告內容」了！

廣告不但觀賞免費，而且還迫不及待想要全世界的人都看到，而且不只是早上看到，晚上也要看到，不只家裡看到，在街上也要看到。甚至親朋好友，也要不斷地分享廣告，而且且絕對不會收半毛錢！

只不過想要把廣告內容重製，也是有版權問題，但是相對比較起來，我想已經是比較適合應用上面所述，站在巨人內容上面進行微創作的想法，的起頭了！

因為廣告就好比手槍的板機，板機扣下去，下一步就是真真實實的實體交易，可以換取金錢了。廣告一部分的目的，其實也是想藉著板機，一路傳送回手指、手臂、到大腦，讓大腦到手指一路都相信板機的話，不用擔心我的子彈欺騙我，反而是當子彈進入大腦的時候，原先的相信，變成實實在在的滿足感！

因此如果讓廣告成為微創作的起點，大家不只是轉寄推銷的廣告，而是成為廣告裡面的主角，只要創作出來的微型創作內容，動機是出自於抒發自己對廣告所指商品真實的感覺，只不過方法是將自己嵌入廣告片段裡面，成為廣告的主角之一，如此一來，不但符合廣告原來就免費的特性，消費者可以有源源不絕的微創作充實每天的生活，也讓廣告內容所要傳遞的板機訊息，更為大腦所深刻相信，因為親朋好友不再只是置身事外地轉寄廣告，而是化為主角嵌在廣告裡面，並且提供著最他們最真實的感受訊息了！

結論

經由上述三項科技，我們可以夢想未來更精彩的影音消費生活。我們也可以透過Web2.0的方式，讓巨人生產的影片內容，成為微影片創作的起點，產生免費且獨一無二的微創作。至於科技尚未普及之前，身在今日的我們有哪些巨人內容可以成為Web2.0微創作的起點呢？也許「廣告」就是一個可以想像的目標！我們不用害怕作夢，但是也不要不怕作夢不踏實，共勉之！

相關資料

(1) UIUI: N-3D: 如何創造互動的 Hologram

(2) YouTube: Xbox 360 Natal Live Demonstration at E3

(3) Engadget: Intel嘔心瀝血的矽光子技術終於達展示階段 提供高達50Gbs頻寬

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Eric Schmidt是Google的CEO，最近TechCrunch報導他在Charlie Rose談話節目上面接受訪問的影片，並且列出英文的文字對照稿。影片和全文連結在這邊。下面也嵌入談話內容影片 (約1小時)。

下面就針對談話裡面的內容作一些整理。首先我把內容區分為三大面：商機和倫理面、技術和願景面、以及人文環保面。三大面之中會依照談話內容列出不同的對話問答線段，並且列出重要的點，以及針對重要的點作一些延伸討論或是發表個人的心得感想。

商機和倫理面

商機或是商業模式方面，就是錢要怎麼來，要往哪邊去的問題。有一個良好的循環，才能經營的下去。倫理則是一種秩序(order)的問題。倫理問題可能因為新的科技改變了舊有的秩序，因此需要法規上或是技術上或是道德上，做出對應的改變來因應，恢復舊有的秩序、或是延伸舊有的秩序(backward compatible: 向下相容)、或是建立新的秩序。

譬如說Eric Schmidt在談話中提到Google的願景，是要讓資訊可以透明化，人人可以得到資訊。這對照於上古時代來說，是一大改變。然而這個改變也改變了舊有的秩序，譬如說資訊來源的控制權被改變了，每個人的隱私權有被侵犯危險，以及GMail必須確保不被任意檢視等等。

另外，數位內容免費提供給使用者，要如何讓內容生產者也獲得回饋，這也是需要新的模式 (商業模式或是技術突破)，讓內容生產和消費的新秩序得以建立。

影片一開頭則是提到當初Google一開始成立的時候，原本是要銷售搜尋的技術，不過到處都碰到閉門羹，直到後來提出廣告的商業模式，不賣技術，而是把搜尋引擎變成平台，銷售廣告位置給廣告主，這時候Google才找到了大放光明的商業模式。目前文字廣告是Google收入來源裡面的98%來源。

目前Google走的大方向也就是三大步驟：搜尋(Search)、廣告(Ads)、以及應用平台(Apps)。

技術與願景面

談話裡面提到的Google應用包括了：GMail、Youtube、Google Maps、Google Earth、Google Sky、Google Ocean、以及Google Latitute。

硬體和願景部分則是提到了：手機、手機隨選影像內容服務、手機相片管理、手機定位、手機地區化社交、手機地區化搜尋應用等等。內容搜尋平台在教育上的應用在談話中也有被提到，玆詳細說明如下。

首先Eric Schmidt提到在可見的5年到15年之內，現在我們用一般裝置做的事情，像是收發email，觀賞電視影集節目等等，在可見的未來，都可以用手機做到，讓我們移動的同時也可以收email，甚至是觀賞電視和影片，並且不再是傳統的被動收看，而是主動隨選內容，個人化內容。此外因為各種服務都跑到手機上面，因此地區化，以及社交化的應用，也是手機服務發展的另一項重點。

舉例來說，Eric Schmidt希望未來的手機，可以知道使用者的喜好，當使用者到達某個地方，使用者又喜歡研究歷史的時候，甚至使用者不用自己輸入關鍵字，手機服務自動產生歷史相關的地區化搜尋結果給使用者，讓使用者獲得流暢的使用經驗，也讓關鍵字廣告對商品的匹配有更好的獲利結果。

教育上來說，Google Sky和Google Ocean等服務，可以有教育的功能。另一項教育的應用，則是希望把傳統的課本式教學，換成搜尋式教學。譬如說針對某一個主題，老師提供一些基本的搜尋詞彙 (search terms)，交給學生練習，使用搜尋引擎盡量學習主題相關的內容。Eric Schmidt預估一個班級裡面，大概有三分之一的學生等別人做，三分之一搜尋功力不好，但是也有三分之一的學生搜尋學習的非常好。之後再有一個平台，讓這三種學生互相交流，可能會是一種全新的學習方式。

Google Latitude則是讓朋友知道你現在的位置的服務，同時有地區化和社交化的功能。即使有隱私權的疑慮，但是科技進步的同時，犧牲部分隱私權，卻可以得到更多資訊以及社交上更豐富的互動，同時因為資訊透明化，能間接促使社會風氣走向誠實 (honest) 的方向。

最後有提到Google Maps會不會被恐怖分子拿來使用，以及兩大目前尚未解決的問題：如何將Youtube和社交網路如Facebook的人氣和流量，轉換成實際的金錢回饋 (Monetization) ，Eric Schmidt提到這兩個部分仍舊非常重要，因為使用者在這些地方花費很多時間，目前沒有立即化為金錢不代表沒有救，有朝一日Google工程師會在20%的創意時間裡面，找到可能的解決方案。

因此在這邊我就稍微分享一下自己對這兩個問題的一些意見。

傳統的生產和交易，可能可以用下面這個簡化的步驟來解釋：

生產者—->商品—->消費者

因為商品或實體服務(洗頭理髮等等)無法複製，是和數位內容或資訊服務最大的不同。資訊科技對傳統商品服務已經有很多改善，譬如說減少中間商的成本，減少實體店舖的成本 (Amazon)，讓生產者更有效率(各種科技機械等等)，讓消費者更有效率 (推薦系統等等)。

如果類推到數位內容或是資訊服務，圖示法大概就是：

生產者—->資訊或數位內容—->消費者

除了可以複製讓生產端倍感壓力，以及如前面所說的打破了舊有商業秩序產生了倫理問題之外，如果要找尋解決方案，可以從上面兩個箭頭裡面加些東西來著手。

譬如說內容生產者，像是撰寫書籍的作者，Eric Schmidt提到可以談好價錢，提供平台，讓作家得到回饋金，消費端則是因為有廣告所以免費消費。此外，也可以把內容分級，普及內容免費，特定領域內容發展微型付費 (micro payment)，專業領域的內容則是用傳統訂閱費用方式，相信一樣會有使用者付費。

除了這種內容分級的收費模式，上面兩個箭頭，無論是生產端到數位內容的箭頭，或是數位內容到消費者的箭頭，都可以加一些東西，然後試試看能否解決問題。

加什麼東西呢？大概就是三大項：人、機器、以及內容。

彼此之間如何互動呢？

人和人互動，就是社交網路。

機器和機器互動，譬如說個人化的智慧代理人(Intelligent Agents)的互動網路。

內容之間的互動，從傳統的網頁超連結 (hyper link)，到影音內容的連結 (hyper video link)，都可以算。

除了這些呢？在來就是人和資訊的互動、人和機器的互動、以及機器和資訊的互動。互動的方式不外乎就是生產端的產出，消費端的過濾和推薦，以及平台端的匹配和交易 (matching)。

因此，透過人、資訊、和機器，1+1+1 (本身互動) +1+1+1(交互互動)，整個展開寫出來就是：人人、人機、人資、機機、機資、以及資資互動！再更具體一些，譬如說人機互動，在消費端就是機器可以幫助人過濾資訊或是推薦資訊，人可以教導機器更了解人類的喜好。Facebook上面除了人人互動，也有人資互動，也就是透過認識的人，來吸取資訊，是機器搜尋的另一種管道。

整個兜起來，就有更多組合，譬如說透過機器來找人人的互動 (Facebook)，透過資訊來找人人的互動 (Google Friend Connect+Blog)，透過人人互動來找資訊(Facebook逆向應用)，透過資訊來找人人互動 (社交教書籤網站等等)。

所以有這麼多種資訊的生產、消費、匹配的管道和互動網路，彼此之間互相兜起來，就差如何兜起來的方法，或許除了讓Facebook或Youtube可以Monetization化為收入的金錢，也可以一舉解決數位內容複製的問題，建立新的資訊生產和消費倫理的秩序。

(初步想法1: 找到一定可以收到錢的那一段互動管道，然後想出一個服務可以把其他管道片段接到這一段上面)

(初步想法2:在各種管道組合裡面找出一種管道組合，讓資訊從這個分散的管道組合裡面免費產出也免費吸收，達成免費產出免費吸收的Web2.0目標)

人文環保面

在人文環保面，Eric Schmidt提到未來世界不會只由英文主導，中文會使用者越來越多，像是大陸地區上網人口有5億左右，而未來各種多國語言的內容和服務也將會配合機器翻譯的技術一起發展。教育上則是希望美國教育的優點，像是鼓勵創新發明的教育思想，可以讓其他國家借鏡，最後融入當地的教育系統中，讓全世界都可以有美國教育的優點。至於科技的發展，也會讓下一個世代在社交和各方面有更大的不同，然而如何解決經濟能源資源等問題，是全人類要繼續努力的地方。最後提到了全球氣候也是一個需要注意的問題，以及人和機器不同。技術人和一般人不同之處，Eric Schmidt則是認為因為科技是非常新，最近幾年才有的發展，一切都在剛開始，也沒有累積幾十年的固定發展模式，沒有傳統包袱，比較鼓勵創新發展，因此技術人的思想也會比較傾向於 — 可以用創新和科技，來解決世界上的各種挑戰和問題。

在氣候變化以及全球暖化這一點，我則是有一些不同的想法想要分享一下。

至少到目前為止，全球暖化和溫室效應，我們的第一反應都是視之為洪水猛獸，應該要盡量避免。然而我想到了另外一個可能性，什麼樣子的可能性呢？

全球暖化，造成四季如夏的區域增加，如果這些暖化的區域是人口多的地方，那麼暖氣的能源消耗反而減少了，也就是說，我們因為冬天消耗能源產生的二氧化碳，讓氣候溫度上升，反而產生良性循環，讓氣候上升，反而不用開暖氣了。這似乎反而是一種深謀遠慮，而且氣溫升高後可以耕作的時間也拉長，糧食危機也有希望解決。

剩下的問題大概是海水升高以及酸化的問題。海水升高的第一反應，如果不能下降海平面，似乎只能築堤防。然而就如同河流疏浚一樣，根治海平面上升的方法，依照現在海底隧道和跨海大橋的工程技術，我們也有可能把海底炸沉，也就是讓海底下降，海平面自然就變低了，多出來的土壤可以拿來增加陸地面積，或是變成高山。換句話說，人類開始介入地殼的板塊運動。地殼應該也夠深，要容納暖化後多出來的海水應該綽綽有餘。

不過產生的另一個問題，大概是如此做是否會影響既有的板塊運動？造成既有板塊彼此之間壓力的失衡。此外，如果地殼變薄，地心的溫度是否會造成另外一種影響。

然而更多新的問題，不代表這個方向就終結掉。就如同新的秩序的建立之前，我們可以儘可能先用各種科學技術和數學模型，預先估計和算好可能的後果和各種可能的情形，看準後再跳 ，這樣子的方式來建立新的秩序 (全球暖化形成良性循環，挖地殼存海水，人工介入板塊運動，甚至是興建海底城等等)，就比較不會有毀滅性的後果，同時也為人類的未來提供了新的一條出路？僅供各位參考。

相關連結

• (TechCrunch) Eric Schmidt Tells Charlie Rose Google Is “Unlikely” To Buy Twitter And Wants To Turn Phones Into TVs

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細胞膜是由兩層脂肪組成的，親水性朝外，懼水性朝內。也因此，細胞膜內外的分子，必須要經過細胞膜上特定的通道，由蛋白質組成的通道，才能從細胞膜外進去，或是從細胞膜內出來。不過也曾經聽過一場演講，提到細胞膜有些情況下，雙層脂肪還會旋轉，這真是太神奇了，不過今天重點是另外兩則新聞。

第一則新聞是多重抗藥性的新聞。抗藥性是指病患服用某種藥物一段時間以後，細胞產生抗藥性，也就是這個藥品，沒有辦法進入細胞膜裡面了！多重抗藥性則是其中一種藥物有抗藥性，其他相關藥物也會一起產生抗藥性。

第二則新聞則是相反的方向。是一項研究發現，有少數的人對愛滋病免疫。愛滋病是由HIV病毒所造成的，因為HIV會攻擊免疫細胞，所以造成免疫力下降，普通疾病也會讓人死亡，稱為愛滋病。但是世界上有些人卻對愛滋病 (後天免疫不全症候群) 免疫？研究發現是因為他們的免疫細胞的細胞膜，可以讓HIV病毒進不來。

因此，這兩則新聞剛好是報導相反方向的研究，不過都是為了讓細胞膜能夠進一步掌控什麼該進來，什麼該保持在細胞外面，讓人類身體可以更加健康。

接下來再稍微詳細整理一下這兩則新聞的報導。

第一則抗藥性研究的新聞，是史丹佛大學2008年8月19日發表在PNAS的研究(paper@PNAS)。研究的問題大約是這樣子：有些癌細胞，吃了Taxol這種藥可以被殺死。但是現在Taxol進不了癌細胞，因為細胞膜上有一推幫補pump讓Taxol進不來。研究人員發現可以用一種常見的胺基酸Arginine來當作傳送者，可以順利和細胞膜產生氫鍵，讓Taxol進入細胞膜裡面。

不過進到細胞裡面還沒有完成任務。必須要讓Taxol和原來的載體分開，才有辦法產生作用。這個時候他們設計一種連結載體和Taxol的方式，就是用雙硫鍵連結載體和Taxol。雙硫鍵很容易被一種叫做Glutathione的東西打斷，而Glutathione這個物質在癌細胞裡面量最多，因此載體和Taxol順利進入癌細胞裡面以後，遇到Glutathione馬上就會把雙硫鍵打斷，讓Taxol順利開始對癌細胞產生作用。

除此之外，研究者還有其他設計，可以控制Taxol脫離載體的速率。未來希望這種技術可以治療卵巢癌等癌症疾病，解決多重抗藥性的問題。

上面有些名詞我也不懂，不過各位就先把那些名詞當成演員的名字，然後曉得這些演員之間發生了什麼故事，之後對演員可以再多了解，但是這段故事至少就先看懂了！

第二則新聞則是愛滋病免疫，請各位可以先看下面這段影片：

有些人的基因有突變，是一種稱為delta 32的基因突變，就是在CCR5這段基因上面，有32個核甘酸消失不見了。而這段消失的片段，剛好就是製造一種分子，是HIV用來進入細胞膜所需要的一種分子。

CCR5基因以及HIV免疫的介紹影片 (Quicktime) (RealPlayer) 

因此研究者就想辦法，把病患的CCR5基因上面的那32個片段也刪除掉，他們就會對HIV免疫了！要怎麼刪除呢？他們用了ZFP(Zinc-Finger Protein鋅手指蛋白)，經過多次測試之後，終於發現可以刪除剛好那32個片段的ZFP，並且成功讓感染HIV的老鼠免疫。而這個研究的Sangamo Biosciences(Nasdaq: SGMO)機構，也正是發明如何找出特定功能ZFP的地方！

此外，他們稱這項研究為”ex vivo”，因為和傳統基因工程的做法不一樣，基因工程一般都是設計一個片段，然後接到原來的DNA上面，但是他們設計的ZFP只是暫時的載體，把那32個字母刪掉之後就離開細胞，因此稱為hit-and-run，刪完就跑。這個研究發表在2008年7月29日的Nature Biotechnology期刊 (paper@NCBI)。

最後附上HIV病毒進入免疫細胞的動畫給各位參考。

相關連結

• (Stanford News) Method could help fight drug-resistant diseases
• (ScienceCentral) HIV-immune Cells
• (MMDays) 免疫系統一日遊

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現在網路上有許多相片服務網站，像是Flickr、Picasa、以及各類相簿空間網站。基本功能通常都是上傳相片，分享給朋友，增加註解或標示人名地點等等。今天想要提出來的，則是拼圖功能的構想。為什麼要拼圖呢？我想分為幾個部分來探討，簡單來說，對使用者可以有趣味和社交的功能，對電腦來說可以有類似 reCAPTCHA 的學習看懂圖片的功能，對於平台提供者來說，也許是另外一種服務搭配廣告的模式。

接下來讓我們先回想一下一般拼圖遊戲的規則。通常就是一張圖，然後在電腦上面，可以用電腦自動切割成很多片。每一片拼圖之間，都會有一些凹凸的部分，作為使用者拼圖的線索。因此無論是風景照片、人物照片、商品照片，都可以先用電腦切割，變成拼圖遊戲。不過接下來，也許還可以有一些變化。

在PhotoShoot這個網站裡面，使用者分為兩方，一位使用者負責標記有興趣的部分，另一位使用者射擊有興趣的部分，如果射擊的人和標記的人默契高，分數就越高。這個遊戲，也幫助電腦學習一張圖片的 ROI (region of interest)，也就是人類看一張圖片的時候，第一眼會想注意的地方。電腦不是人腦，因此需要透過這個遊戲，來學習人類會注意照片的那個部分。

這個遊戲，其實就是透過人類互動，讓電腦學習的一種機制。另外一種遊戲就包括了 CAPTCHA，其實也不算遊戲，而是一種認證機制，在各種網站登入的時候，有時候會要求使用者輸入圖片裡面輸入的數字或字母，確定是人類在登入，而不是電腦程式在造訪網站。

reCAPTCHA則是把CAPTCHA更進一步，出現的兩個字裡面，一個字有標準答案，另外一個字則是從光學掃描書本得到的影像，使用者輸入認正文字的同時，也幫忙了一件重要的工作，就是把掃描的書本影像，轉換為電腦看得懂的字母。如果要機器完成這個步驟，需要 OCR (Optical Character Recognition) 的技術，也就是電腦透過一些數學模型，從掃描影像去預測對應到哪些字母。但是因為掃描的影像可能會有雜訊，或者手寫字母不像印刷字母一般整齊，數學模型的預測常常不夠準確，要校正不如直接請一位工讀生來打字。因此 reCAPTCHA 這個機制，就能夠讓大家在認證的同時，滴水穿石，慢慢地把 OCR 用人力來解決，但是完全免費！使用者也玩得盡興。

拼圖讓電腦學習影像分類

所以，在看過上面兩個例子之後，我們要怎樣子用拼圖網站，讓使用者玩得盡興的同時，也讓電腦學習影像分類(categorization)呢？這就是今天想要提出的構想。

首先，拼圖可以依照難易度，有大塊拼圖，有小塊拼圖。其次，拼圖可以兩個人一起玩，加入社交 (social) 的元素。當然啦！現在在構思網站的時候，反射動作一定要想的四個項目分別是：Web2.0使用者貢獻內容、手機移動 (mobile)、地區化應用 (location-based)、以及社交化 (social)。Web2.0有了，手機版要開發也可以，地區化則是要在想想，社交化則是讓遊戲增加趣味的方式之一。

接下來就是要如何讓電腦從使用者的行為產生的資料，來學習影像分類了。要怎麼做呢？最近幾年常常有食物添加不好的替代品，為了降低成本卻成為黑心貨的事情發生。reCAPTCHA的兩個單字，其中一個加入了沒有答案的單字，然後用大數法則，使用者一多，自然正確答案會浮現。不過我們也不能說 reCAPTCHA是黑心，畢竟情況不一樣，reCAPTCHA不是拿來吃的對吧！

所以在拼圖裡面，要加入什麼，滲入什麼呢？我們可以讓使用者知道(informed consent)，在拼圖的片段裡面，我們會把某幾塊，換成不是這張圖片所切割下來的片段。使用者資料累積足夠多，自然會知道哪些圖片在人類看起來，是類似的圖案片段。也就是說，我們找到了圖片世界裡面的同義字 (synonym)，或稱為「同義圖」。這些片段可能光線眀暗度、線條解析度、位置方向度，有一些稍微的差距，但是在一整張圖片的上下文範圍之內，人類可以把他們當成是同樣的東西，就如同一個句子裡面，可以代換同義字(synonym)，讓句子換句話說，但是意思不變！

機器仍舊扮演重要角色

不過這個拼圖網站也不完全都是人類做白工，機器仍舊扮演一些重要的角色。譬如說尋找其他圖片相似的片段，來給現在這位使用者拼圖，仍舊需要一些演算法來幫助，只不過機器總有辨識錯誤的情況，這時候使用者就是臨門一腳，最後一道過濾片段的關卡。

另外重要的部分，則是機器本身學習的部分。每個相同的片段，彼此互為同義圖，機器裡面可以用一個node節點表示，並且連結這些片段。越小的片段，對於機器來說越容易比對相似度，因為一個 10*10的片段，裡面的變化種類，會比較少，相似度的比對也就比較容易讓機器猜對。

接著因為使用者可以嚐試同一張圖片不同大小的片段拼圖，因此可以讓機器學習到，哪些同義圖，可以彼此代換，並且組成更大張的同義圖，形成一個同義圖的階層分類 (hierarchical classification)。到最大張圖片的時候，經過長時間學習，機器就比較有機會，可以透過由下而上 (bottom-up) 的相似比對代換同義圖階層樹，學習到哪些圖片，即使看起來pixel差距很多，但是其實是同一類的圖片，屬於同一個類別 (category)，譬如說同一個人的人臉，或是同一個性別的人臉，或是車子，或是椅子的類別。

圖片的分類歸類 (categorization)，對於電腦來說也是如同OCR一樣，是個滿大的人工智慧(AI: artificial intelligence)挑戰。因此這個拼圖遊戲，除了讓使用者玩的盡興，另一方面也希望讓電腦能夠透過這個方式，如同reCAPTCHA、PhotoShoot等遊戲，學習圖片歸類 (categorization) 這個工作。

拼圖網站使用者機制及可能獲利方式

目前寫軟體想要賺錢，如果不是直接買賣軟體，那麼就必須和硬體一同銷售，否則就只剩廣告一條路。因此，拼圖網站可能沒辦法直接買賣，也不是硬體的必須功能，大概就剩廣告這條路了。其他社交網站則是可以嚐試，譬如說 Facebook API開發小遊戲，或是即時通MSN的小遊戲，或是iPhone API開發手機版的小遊戲等等。

那麼使用者而言，有哪些享受呢？除了一時的遊戲的盡興、以及社交需求的滿足以外，長期來說，使用者教會了電腦如何影像分類，這項功能可以回饋給使用者，讓使用者可以做比較精確的圖片搜尋。譬如說使用者可以像是拼圖一樣，用一些現有的圖片片段，來找一個完整的圖片。而電腦已經有同義圖連結，並且有同義圖的階層分類，因此可以更準確地作以(片段)圖找(完整)圖的搜尋工作。

甚至還可以依照比例原則，使用者玩拼圖的時候，如果每次玩遊戲可以滲入比較多張不是原來圖片的片段，並且給的答案接近大數法則得到的標準答案，就會得到比較高的點數，這個點數除了使用者可以得到心理上的滿足，也可以在電腦回饋圖片搜尋功能的時候，作一個區隔，譬如說點數多的使用者，可以讓圖片搜尋演算法跑比較久，找尋比較精確的結果等等。

結語

這個拼圖網站的構想，就是想一邊讓使用者在遊戲中達到社交功能或遊戲功能，一邊讓電腦學會影像分類，學習的結果可以回饋給使用者，而開發軟體的人也可以先選擇廣告的獲利方式。這個想法開放大家使用，可以自行開發，只要不要拿去申請專利變成是自己發明的就好。當然啦，如果已經有這個想法，甚至已經實做出來了，那麼就純屬雷同巧合，可以再想想有沒有其他可以區隔特點的地方。

為了至少Google一下，也貼上Google搜尋「拼圖」和「拼圖網站」、「pintu」、「jigsaw」的連結。這個網站「拼圖製造機」有線上拼圖功能，不過也許可以加上上述的這些功能嚐試一下囉！

延伸閱讀

• 桌面整理程式的構想
• 英文句子分享網站的構想
• 打字練習網站的構想
• 說夢話網站的構想
• Hitachi GazoPa: 以圖找圖 (UIUI)
• 以圖找圖 (Search by Image) 與印象派，下一代的搜尋應用何在? (by Mr. Saturday)

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恭喜新年好！今天要和各位介紹的，是有關我們天天都會使用的視覺。視覺是非常重要的，有視覺是非常幸福的一件事。在資訊科學裡面，如何讓電腦也可以看到圖片、看懂圖片，目前也仍舊是一個困難的問題，但也是可以有許多應用的問題。之前在MMDays上面的文章就曾經介紹過電腦視覺的相關應用，譬如說以圖找圖、超影像連結(hyper video link)、AdSense for video、CAPTCHA、以及無人車比賽等等。

有這麼多應用急待電腦視覺來解決，但是有些解答，或許可以從生物模型上面得到靈感。因此，這篇文章就把過去曾經介紹過的視覺路徑整理起來，從一開始的視網膜、到中繼站的LGN、到大腦皮質的第一站V1、以及之後兩條路徑裡面處理物體移動資訊的MT、和今天會新介紹的和辨識物體形狀有關的IT。最後，也會就目前未知的部分，提供一些假說作為參考。

光進入瞳孔之後，會先被視網膜上面的光感受體 (photo receptor)所吸收，之後驅動了一連串化學反應，變成了神經的電訊號，開始往後傳遞。上面這張示意圖裡面，我們也看到，視網膜其實可以詳細區分為更多層，可以作為第一階段視覺訊號的整合處理。

如果要詳細的介紹，可以參考：〈靈魂的紗窗：走訪人類的視網膜〉

視網膜的光刺激轉換成神經訊號之後，會延著視神經往後傳遞，左右眼睛的視神經分別會有部分先交叉，接著進入大腦下方的一個區域，就是丘腦 (thalamus) 的其中一小塊，英文縮寫為 LGN (lateral geniculate nucleus)。LGN相當於視覺訊號從視網膜到視覺皮質V1的一個中繼站。

在LGN主要是有一些注意力的功能，以及其他大腦區域的回饋訊號 (feedback) 一些調節功能。此外，視覺訊號到LGN為止，每個神經細胞有反應的影像，都是一個圓圈的形狀，中間和外圈有亮度對比 (內亮外暗、內暗外亮)，才會引起視網膜或是LGN細胞的反應。

在LGN也初步區分兩個路徑，課本通常會稱為 M Pathway和P Pathway，無論名稱如何，只要曉得這兩個路徑的訊號，分別是和「移動」的訊號以及「形狀色彩」的訊號有關。這兩種訊號在最後也會分別傳到不同的區域作處理。

LGN詳細的介紹可以參考〈視覺交響曲第二樂章: LGN〉。

接著，如前面那一張人腦的圖，視覺訊號從視網膜出發，經過LGN中繼站，接著到達大腦後腦杓的地方，也就是視覺皮質第一站，名字常常稱為V1。V1和LGN最大的不同在於，需要一條直線，而不是一個有對比亮度的內外圓圈，才能讓一個細胞有反應。

下面是一段實驗影片，裡面就有分別對圓圈形狀才會反應的LGN細胞，對直線才有反應的V1細胞等等。V1其實可以細分simple cell和complex cell，詳細介紹可以參考〈視覺交響曲第三樂章: V1〉。

此外，視覺皮質V1區域，在前面那一張圖有一個 ice cube model，是描述V1細胞有一個一個直列，每一個直列(column)就代表一群對某一個方向的直線會有反應的細胞。方向角度相似的細胞會在腦區上也接近。不過後來的研究結果發現，比較符合的模型應該是pinwheel model。

不同的顏色，代表不同的方向，譬如說紅色的區域，都是會對某一個方向的直線有反應，以此類推。

此外，因為V1會整合左右眼的資訊在一起，變成右大腦處理左視野，左大腦處理右視野，所以同一邊的大腦，左右兩眼的資訊會有不同的傳遞目標的分布，稱為 Ocular Dominance。

上面這張圖就代表，右腦的V1處理左視野的資訊，但是黑色腦區域是處理左眼來的左視野資訊，白色區域是處理右眼來的左視野資訊。

所以一路走來，從視網膜到LGN，從LGN到視覺皮質V1，訊號從圓圈對比，到直線對比。上圖的右手邊就是眼睛的方向，左手邊就是後腦杓的視覺皮質V1。經過這趟旅程之後，視覺從眼睛傳到了後腦杓。接下來又要往大腦前方傳遞。不過，這時候分為兩個路徑，和物體移動有關的訊息，會往上傳，到MT (Medial Temporal Lobe) 的區域。和物體形狀有關的訊息，會往下傳，到IT (Inferotemporal Lobe) 的區域。

視覺的訊號到這邊就算到一個段落。之後就提供給其他腦區做為輸入的訊號來源，譬如說提供給杏仁核 (amygdala) 作為情感反應的視覺訊息，提供給前額葉 (prefrontal lobe) 作為視覺分類 (categorization) 的訊息。

也因此，在MIT的一位教授 Tomaso Poggio 就提出了一個最開端的視覺模型，希望把這些在神經科學裡面，有關視覺的研究成果，轉化成資訊科學裡面可以使用的演算法 (Algorithm) ，讓電腦借鏡這個生物模型，幫助人類完成一些圖片影像分類的工作。

上面就是 Poggio 提出來的模型。然而有些問題，是這個模型可以在繼續修改的地方。首先在物體移動的資訊方面，視覺孔徑 (Aperture Problem) 問題，牽涉到了不同區域的資訊如何彼此連結成整體的資訊，也就是 Binding Problem。譬如說神經元A對往左移動的影像有反應，神經元B對往右移動的影像有反應，但是如果一張大影像整體往上移動，但是區域上來看分別是往左往右移動，這種問題要用什麼模型解釋呢？

像上面這張圖，某個神經元可能只看得到中間圓圈的範圍，但是整張圖的移動方向，有可能是往右、往下、或是右下的方向，怎樣子結合其他神經元的資訊，才能判斷出整體移動的方向，就是Binding Problem想要找的答案。

另外在IT也有新的問題。Poggio的最初模型，是一種階層式 (Hierarchical) 的模型。大腦處理資訊也是有階層沒有錯，但是大腦階層的資訊分法，和人類有意識的階層分法似乎不大相同，怎麼說呢？

 IT是大腦處理物體形狀資訊的區域。如果用比較工程的角度，會像Poggio的模型一樣，最底層是判斷點的神經元，在來就是V1對不同方向的直線有反應的神經元，在來可能就是簡單的正方形，最後就是對某一張臉或是形狀的圖片有反應的神經元。

然而一些研究成果，像是Keiji Tanaka對IT的實驗結果發現，IT的神經元，要特定形狀才會有反應，而不是簡單的幾何形狀像是圓形或正方形等等。

譬如說上面這一張圖，是IT裡面某一個神經細胞的反應。左上角那張圖反應最大，是一個大圓圈然後有一個小突起的圖片。反應是1.0。然而如果轉180度，反應就剩下0.01。小突起改成方形，反應也剩下0.01。如果小突起沒有，只有中間的大圓圈，反應居然是0！但是小突起改成細長突起，反應還有0.82。

這邊就可以看到，IT接收來自V1的訊號沒錯，但是中間的連結似乎和人類意識自我想像有所不同。IT對於形狀分解的方式，並不是直接在視野裡面左右切割的方式，也不是直接用人類切割有意義單位的方式來組合會反應的影像 (譬如說我們會想要把大圓圈和小圓圈分開來，然後會假設神經元是接受大圓圈有反應的神經元，以及接受小圓圈有反應的神經元，加總起來才產生反應)，有些細微改變就會讓反應消失，但是有些不大直覺的形狀改變，卻還有0.8的反應。

因此IT對於物體形狀的處理方式，目前仍然未明朗，因為不像V1那麼明顯，某一群神經元，就是對某個方向的直線有反應。IT的每一個神經元，只對某一種特別的形狀有反應，有的特徵很重要，有的特徵卻是可以拿走卻不影響。也因此這部分還有待研究者繼續努力的部分。

Poggio提出的模型也可以在這部分繼續提出修正了！在網路上也有他的演講，有興趣的可以在演講中接觸更多相關的基本知識。演講前半連結、後半連結。

最後，我自己對這種神經反應的假說如下：

(1) 神經反應可能在另外一個數學空間會有比較接近加總(sum)的階層模型。傅立葉轉換可以把神經反應轉換到頻率週期的數學空間，不過似乎這個可能性也不高。

(2) 除了神經活動率，其他數值譬如不同神經元的活動率的差 (difference)，或是活動時間相位差 (phase)，或是同步化的程度 (synchrony)，有可能提供另外一種比較符合階層模型的神經編碼方式。

(3) 簡單幾何形狀，如正方形、三角形、圓形等分割影像的方法，應該和motor指令比較相關，有可能是意識資訊後期接近motor command的地方才會有神經元的反應是針對有意義的幾何圖案。IT則是還很前期的資訊處理階段。

以上都只是假說猜想，僅供作實驗的假設的參考，並非已經確定的生物模型！

今天就和各位介紹到這邊。希望各位讀完這篇以後，可以知道視覺訊號從視網膜、LGN、到腦後杓的V1，接著分兩部分到MT和IT的這整個故事的來龍去脈。也希望各位可以了解目前Poggio提出的模型，以及其他實驗結果帶來的挑戰等等。

期待有更正確的生物模型提出，讓電腦的視覺功能更接近人類，提供更多影像服務給人類。希望這一篇不會太難了解，真的看不懂的話，也許我會再想一下怎樣子用更白話易懂的方式，把這方面的知識傳遞給大家！祝大家新年快樂！

相關連結

• 靈魂的紗窗：走訪人類的視網膜
• 視覺交響曲第二樂章: LGN
• 視覺交響曲第三樂章: V1
• 視覺皮質與孔徑問題
  

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從簡單的生物到人類，無論是只有幾個神經細胞的海星，或是有數億個神經細胞的大腦的人類，神經系統都讓我們不是只有活著，而是能夠產生有智慧的行為，和這個真實的外在世界互動。也因此，神經科學的一些發現，有可能對資訊科學裡面的人工智慧的問題，作出一些貢獻。之前也寫了一些神經科學一些基本的介紹，不過本篇希望可以把這些基本的觀念，用更直觀的方式和例子，再敘述一次，讓各位讀者無論背景是研究哪一方面，當看到「神經網路」的時候，可以當下在腦中浮現一些印象，即使不是專家對於神經網路的印象，卻也能夠比一般常識範圍的印象，稍微增長一些。每年多增加一些印象和了解，日積月累下來或許還是可以有可觀的知識累積，讓自己在知識的領域裡面，也多長一歲喔！

接下來就讓我們分別了解一下神經網路是什麼 (what)，以及為什麼研究神經網路(why)，並且有一段比較數學角度來分析神經網路，給數理背景的讀者參考，也有一段比較人文哲學角度來分析神經網路，給人文背景的讀者參考，最後有一個總結。

神經網路，我們就可以用一堆「點」和「線」來理解，每個點就代表著一個個神經細胞，點和點之間的連線，就代表著神經細胞之間的連結。

神經細胞有什麼特點呢？一個神經細胞可以從對外的連結，得到電流的刺激，當電流的刺激大於某一個關鍵值的時候，這個神經細胞就會從原來沒有活動的狀態，改變成有活動的狀態。

如果要做個比喻，我們可以想像整個神經網路，就像是在玩大地遊戲一樣，每個人就像是一個神經細胞，人和人之間用繩子綁起來，像是神經細胞之間的連結，每個人可以稍微移動位置，但是移動的同時，會藉著連結的繩子，影響到附近的人。另一方面，對於每一個人/每一個神經細胞來說，如果對外連結的繩子，拉扯的力量超過某一個關鍵值，自己的位置也會移動。自己移動的時候，又可以影響別人了！

因此一個神經網路，就是類似這樣子的方式，把外在世界給的刺激，轉化成內在的活動訊號，透過神經細胞之間的連結，讓訊號傳遞下去，甚至是不斷循環等等。

為什麼神經細胞的活動與否，可以當成是一種訊號表示的方式呢？假設現在我們把神經細胞比做電燈泡，神經細胞沒有活動就像是燈泡沒有亮，神經細胞有活動/大地遊戲裡面的人移動了，就像是燈泡亮了。

接著我們想像一下，有一個大的看板，上面有無數的燈泡，每個燈泡在這一秒鐘，可能亮也可能不亮，而這多種組合的方式，就可以和外在世界的各項事物作對應，就如同我們的語言系統，用不同的單字和詞彙，對應外在世界的某件物體或某件事情。看板上面某一種燈泡亮暗的組合，就如同語言系統裡面的單字，可以對映外在世界的某一件物體或事情。

而神經網路更勝於燈泡組成的看板，在於神經網路可以自己產生這種對應，並且「學習」這種對應，因為除了神經細胞，還有神經細胞之間的「連結」，稱為神經鍵結 (synapse)，神經鍵結不僅剛出生的時候會迅速改變連結強度，到了發展完成之後仍然可以學習和改變，而這些連結強度的改變，可以影響神經細胞活動/燈泡亮暗的活動模式，行為上看起來，就如同在接受外在「刺激」(stimulus)之後，「學習」(learn)了一種「反應」(response)的方式。

也因此有一個名詞稱為連結主義 (connectionist)，因為神經網路不在神經細胞本身的活動，而是神經細胞之間連結的強弱改變，可以造成具有學習效果的神經活動模式，讓生物可以適應外在世界的生活。就如同大地遊戲裡面的繩子，連結強度的改變，就如同繩子可以變細或變粗，粗繩子一拉移動的效果很大，細繩子一拉移動效果很小，因此外在世界給予同樣的刺激，但是大地遊戲裡面的人/神經細胞，之間的連結強度如果不同，神經細胞活動的模式 (pattern)，也就會跟著不同，行為上的表現就是不同的「反應」了！

神經網路研究對人工智慧可能的貢獻

因此我們現在有比較直觀的印象，來想像一個神經網路，包括神經元的活動，以及影響活動模式的源頭，也就是可以改變強弱的神經連結 (synapse)。

然而研究生物上的神經網路，可以對人工智慧的問題作出哪些貢獻呢？最早有類神經網路 (artificial neural network)，就是把生物上對神經系統的發現，拿來解決人工智慧的問題。一個類神經網路，可以是有正確答案的監督式學習 (supervised learning)，或是沒有正確答案的非監督式學習 (unsupervised learning)，經過訓練之後的網路連結，就會拿來使用。網路的架構和訓練過程的不同，就是後來各種不同的模型 (model)，譬如說用梯度遞減的學習法 (gradient descent)，或是後來的自我組織圖 (SOM: Self-Organized Map)，以及 ART (Artificial Resonence Theory)等等。

近年來除了類神經網路已經有的各項研究，還有計算神經學 (Computational Neuroscience)以及神經計算學 (Neural Computing)。就我目前的理解，如果是在神經科學領域裡面為出發點，稱為計算神經學，如果是從資訊科學領域為出發點，稱為神經計算學。也因此，雖然兩者大致上來說，都是比類神經網路多出更多細節的模擬和描述，譬如說近年來有基因體的發現和研究，蛋白質的各種反應路徑，以及電生理訊號的資料分析等等，都比最初發現神經網路的研究，有更多的細節，因此會比傳統的類神經網路模型，有更多生物細節的發現被加入。

舉例來說，類神經網路通常注重在連結強弱的學習，然而近年來的發現，讓連結除了連結強弱 (synaptic weight) 之外，還有連結傳遞快慢的性質 (latency)。因此神經細胞的活動，不是瞬間傳給其他細胞，而是有傳遞快慢的次序。此外，神經細胞之間的連結，有刺激性(excitatory)和抑制性(inhibitory)的分別，當然啦，類神經網路裡面其實有模擬到這點，只要加一個「負號」就可以達到抑制連結的效果。

不過還有更細節的部分，在於神經連結(synapse)到其他神經細胞，不是直接訊號的傳遞，而是在另一個神經元的樹狀突出部分會有一個匯整，拿剛才大地遊戲的比方，繩子不是每個人每根繩子都綁在腰上，而是一根繩子連到另一個人身上的時候，可能是綁在腳踝上，可能是綁在脖子上，可能是綁在手腕上，神經元的樹狀突出，就是有許多不同的形狀多樣性，每個人體型也是如此具有差別，彙整繩子傳進來的力道，也會有不同的表現。巨觀來說可能沒有立即的差別，微觀的時候或許有重要的影響，甚至在課本裡面，初步的分析也把這部分對應成一種邏輯迴路的機制，彷彿是神經網路裡面的另一個網路，在樹突 (dendrite)上面的一個微網路。

除此之外，還有一個地方想要強調的，是人工參數的影響。譬如說類神經網路，可能需要一個參數，來代表電流超過某個關鍵值，這個神經細胞才會從沒有活動，變成活動的狀態。然而這個關鍵值是多少，類神經網路裡面大部分是用人工給定的參數，好一些的模型，可能會根據訓練的資料，在 cross-validation的時候改變。然而這些方法，可能都會因為人工給定，或是訓練資料的代表性來決定人工參數，造成新的問題無法從舊的模型舉一反三等問題。

譬如說有些模型，會根據外在刺激調整連結強弱，但是每次要改變多少，結果就多出一個人工參數叫做「學習率」。但是學習率要給多少才對？似乎就是任意給，或是人工看看學習效果調整，或是自動化讓機器自己cross-validation來調整。其中cross-validation似乎就可以自動化找出人工參數的值，而且訓練資料越多，模型會越準，如統統計裡面的中央極限定理一般。然而訓練好的模型，無法直接用在新的問題上面，遇到新的問題，又需要新的訓練資料，新的正確答案，才能重覆上面的「自動化」過程。至少人類對於大部分問題，有一定程度的「舉一反三」能力，因此這部分，是我希望神經網路研究可以貢獻人工智慧的地方。

為什麼可能有貢獻呢？因為就生物系統本身來說，經過多年的演變，生物系統具有一定程度的自我調節能力。譬如說運動的時候，體溫上升，此時心跳增加，血管擴張，分泌汗液來散熱。生物系統巧妙地連結這一切調節機制，無須另外一個人剖開身體來調節。神經系統也是如此，神經細胞產生活動的關鍵值，不需要給定一個變數來代表，而是從生物結構本身，適應刺激之後自動產生的反應，自動調節。

譬如說神經細胞上面，其實是佈滿各種離子通道。這些通道的開關，可以讓離子進入神經細胞、或是離開神經細胞，而離子帶有電荷，因此離子的進出，就會改變神經細胞的電位，進而影響神經細胞的活動。

接下來就要問，這些通道開關如何被控制呢？答案是通道上面的接受器(receptor)，人是肉做的，而每個細胞組織，其實就是蛋白質組成的，蛋白質又是許多胺基酸組成的，胺基酸的分子又分為帶正電、帶負電、或不帶電三種。因此這些通道，除了接受器，可以接受其他神經細胞傳來的化學物質 (稍微提一下有興奮性的Glutamate、抑制性的GABA、以及對肌肉是興奮但是對心臟是抑制的乙烯膽鹼Acetylcholine、和更多種，容我日後整理好之後另外撰寫介紹)，這些化學物質巨觀來看，如同鑰匙打開接受器這道鎖，讓離子通道這扇門被打開。

然而一個神經細胞上面，是具有許許多多的離子通道的，(可以粗分為快的AMPA通道，以及比較慢的NMDA通道，也容我日後整理好在撰寫介紹)。因此其他神經細胞活動之後，散發出化學神經傳導物質 (neurotransmitters)，可能只有打開這個神經細胞上面一小部分的離子通道。

接下來就是重點了！神經細胞產生活動要超過的電位關鍵值，是如何自我調節而不是人工給定的呢？這邊我用「投票」的過程來比喻。因為每個離子通道，也是胺基酸做的，某一段胺基酸帶有電荷，會受到細胞本身電位改變而改變外觀，也因此這個離子通道就稱為電位驅動開關的通道 (voltage-gated)，細胞電位如果開始變高，這個通道就有比較大的機會打開。

這和「選舉投票」有什麼相似之處呢？在選舉裡面，我們想要投誰一票，或許都會先參考其他人的意見。然而一開始大多數的人或許都沒什麼意見，又或可能都心有定見。無論如何，選舉前幾個月，選舉人本身會不斷拜票，推出競選廣告，有如一個神經細胞接受其他細胞傳過來的化學物質，可以打開自己細胞上面的某些離子通道。然而工作上的同事，家裡親戚的意見，同學之間的意見，也會開始影響自己的決定，並且傳遞下去，互相影響。當這個影響開始產生正向循環的時候，就會導致最後想要投票給誰。

也因此神經細胞上的離子通道，一開始只被神經傳導物質打開幾個。但是如果這幾個打開的通道足夠多，可以讓細胞電位改變，並且這個改變讓voltage-gated的通道跟著打開，形成正向循環，最後就會造成整個細胞所有的離子通道打開，大量離子進出，才能讓細胞電位一下子往上衝，形成動作電位 (action potential)，這個時候才是我們所看到的神經細胞活動，如同燈泡點亮的活動。

至於一開始關鍵值要設定多少，就是神經細胞本身的生物組成結構，決定了這個關鍵值，而不是細胞裡面設定了一個變數，代表這個關鍵值，先讀出來，然後作一個大於的運算，才決定是否要活動了，這是出現在模擬程式的寫法，然而生物體內，是用上述的方法自我調節決定這個關鍵值(threshold)，生物體的自我調節功能，也在這邊顯現了出來。

神經網路的一些複雜度推算

這一段是給數理背景的人參考，其他讀者可以先移駕到下一段繼續閱讀！:)

假設有 n 個神經元，那麼如果完全連結 (full-connected)，會有 n^2個神經連結。n個神經元如果只有活動/不活動兩種狀態，那麼神經網路所有可能的狀態個數就是2^n。假設神經連結強度也只有兩種，那麼神經鍵結可能的狀態組合個數，就是2^(n^2)種了。

接下來要探討什麼呢？是要探討鍵結改變神經活動，以及神經活動改變鍵結的一些複雜度估算。首先看看神經活動，總共有2^n種神經活動模式 (pattern)，那麼從這一秒鐘到下一秒鐘 (或是以毫秒為單位)，活動模式的轉移 (transition)個數，就是(2^n)^2。而每一秒鐘神經連結所在的狀態，有2^(n^2)種，大於(2^n)^2種神經活動模式轉移的個數，因此是個多對一的函數，沒問題！

然而接下來要討論神經活動，對於神經連結的影響。假設神經連結強度，也是透過神經活動來自我調節。剛又假設神經強度只有2種狀態，如果神經強度有k種狀態也可以，那麼神經連結模式總個數就是k^(n^2)個，神經聯結模式的轉移(transition)個數就是(k^(n^2))^2。然而在每一秒鐘下，神經活動模式只有2^n，即使k=2，2^n是小於(2^(n^2))^2的，變成一對多，不是一個函數了，因為每一種神經活動模式，有可能對映多種神經連結強度的轉移(transition)。

不過，如果是過去t個時間裡面，神經活動的組合，一起影響在現在這一秒，神經連結的改變轉移(transition)，那麼就可能變成一「多對一」，或是至少「一對一」的函數了。數學寫起來就是需要一個t，讓(2^n)^t大於等於(2^(n^2))^2，或是神經連結有k種狀態的話，要大於等於(k^(n^2))^2。這邊或許可以估算出STDP (spike-timing dependent plasticity)，需要多少時間t以前的影響，來決定現在這一秒鐘，神經連結的改變。

以上是一些對於神經網路，活動影響連結變化，以及連結影響活動變化，的一些複雜度估算，供數理背景的讀者參考。

神經網路的人文哲思: 自由的產生與意義

在人文哲學的部分，我想要探討的是「自由」如何產生？以及「自由」的意義這兩個重點。

首先「自由」如何產生的這一部分，主要是從閱讀文獻的過程中產生的想法。在神經科學的研究文獻裡面，常常看到一些研究成果，是把某個神經細胞，給予某種刺激，或是某種化學物質，會有哪些反應，而且實驗是可以重現 (reproducable)，無論是世界上的哪一個地方，只要在同樣的環境條件下面，同樣的刺激，就有同樣的反應。

然而令我好奇的是，這種看起來沒有自由的神經細胞，組合起來之後，居然出現了自由的行為。所謂自由在這邊就是指無法被確定的行為模式。譬如說在電影《墨攻》有一幕是在找出奸細，城內居民事先約定好，聚集在一起，眼睛閉起來，鐘聲一敲，全部蹲下來。但是如果後來才混進人群的奸細，不知道這個約定，就會站著馬上被認出來。然而這種約定，只要奸細有聽說，或是使用過一次，下次就無法在使用了。因為人就是有這種學習能力和自由度。

一個神經細胞，我們不用擔心其他細胞會因為這次實驗，互相通報，學起來，下次碰到這個化學物質或電刺激，故意選擇另一種反應。首先神經細胞的反應雖然有機率成份，但是似乎還沒有到自由選擇的地步，其次，神經細胞彼此之間，沒有類似這種情報的溝通，頂多只有生物訊息的傳遞，仍舊在必然性的範圍內。

因此，自由如何從這種可以在實驗中被控制的，沒有自由的物質，在變成一個複雜系統之後，成為一個有自由的系統，必須要用機率才能描述行為的因果關係？而這一項特點，我想也是社會科學和其他科學不同的地方。譬如說某項研究顯示某某情況人會做某件事情。但是研究結果一出來，人可以開始改變自己，或是偏偏選擇另一種事情。人有這個自由選擇，也可以在得到某項消息後作出改變，也就是說，即使環境條件都一樣，人卻可以做不同選擇，彷彿有自由做選擇，而不是必然作出某件事情。

但是每一個細胞，卻又是可以在被控制的環境裡面，必然地產生某種反應。從無自由中生出自由的生命系統，是我感到神奇的一個地方。

第二個想要探討的重點，是自由與責任的關聯。延伸前面的討論，人到底是否真的具有自由，還是只是因為不確定性變大，彷彿有自由，實際上還是受到環境產生必然的反應，而不是彷彿有個我可以自由選擇？這關聯到一個問題，就是「責任歸屬」的問題。

因為有了自由，有了選擇，人們才需要為自己的行為負責，因為這麼多選擇，你選了其中一項，讓世界運轉的方向，從眾多可能中走向其中一種世界。這個後果，必須要讓做決定的人來承擔，無論是功是過，也就是責任有所歸屬。

但是如果今天人並沒有自由，一切都是必然發生的，從小到大，到這一秒鐘，我就是注定要做出這件事情，必然發生而沒有選擇的自由，那麼我似乎就不用負起責任，因為有選擇自由，才需要負責任。

因此未來可能發生的問題就是：如果有一天，一個決定性 (deterministic) 的模型被找出來，可以決定性地，解釋人每一秒鐘的行為，預測每一秒鐘的行為，那麼人是否還需要負責？因為看起來的自由選擇，其實都在細胞的層次，必然地被解釋和預測出來了。

結語

在〈機器學習與腦機介面的願景〉裡面，提到了研究神經科學的願景目標，在〈神經科學研究的各個層次〉也稍微蜻蜓點水式地簡介神經科學，從細胞到系統到認知層次的各項研究主題。今天這一篇直觀介紹，希望各位看的懂，也希望沒有錯誤才好。總之，希望各位看完這篇以後，看到「神經網路」四個字，可以有比較豐富的印象，讓自己不但歲數增長，知識也增長一些。後面的數學和哲學討論，也希望對有興趣的讀者有所幫助！祝福大家新年快樂！萬事如意！新年新希望！

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