聖彼德堡悖論

Danial Bernoulli (Source: http://www.benomics.org/)

Mr Thursday在介紹機率的一篇文章中,談及人們可以利用期望值的概念,對不確定的事情的價值進行估算。這次我想談談一個和期望值有直接關係的悖論 – 聖彼德堡悖論﹝St Petersburg Paradox﹞

聖彼德堡悖論所提及的情形是這樣的,如果現在有一個遊戲,首先擲一個銅板,如果擲出正面,你便會得到1元,這樣遊戲便結束了。但如果擲出反面,便要再擲一次,如果在這個時候擲出正面,便賺2元﹝2^1﹞,同樣,擲出反面的話便要再擲一次。在如果在這次才擲到正面,你便得到4元﹝2^2﹞,如果是反面則再擲,一直繼續,直到擲出正面才結算。

總括而言便是「出現反面便再擲,如果出現正面你便得到x元,x是2的n-1次方(x=2^(n-1)),而n則是一共擲了多少次」。

這個遊戲的結果是一種「不確定的事情」﹝因為我不知道會出現多少次反面啊﹞,人們如何估量這種事情的價值?換句話說,就假設這個個銅板真是是1/2 機會出現正面,1/2 機會出現反面,你會願意付出多少錢來換取可以參加這個遊戲的權利?

表面上好像沒有什麼特別,但如果我們利用期望值進行估算,這個遊戲的期望值竟然是…….

期望值=(1/2)*1 + (1/4)*2 + (1/8)*4 + (1/16)*8 + (1/32)*16 ……….= (1/2)+(1/2)+(1/2)+…… = 無限大?!

期望值的確是這樣計出來的,1/2 的機會得到1 元,1/4 機會得到2 元,1/8 機會得到4 元,如此類推……….最後把它們都加起來,不就是期望值了嗎?那就是說這個遊戲的期望值是無限大,但問題是,我猜沒有人會為了玩這個遊戲付出很多金錢吧,想想看啊,這個遊戲很有可能只會讓你得到1 ,2 或4 元,不要說「無限大」了,要付出100元去玩這個遊戲也嫌太多了吧。可是為什麼大家都不願意付出很多金錢去換取這個期望值是無限大的遊戲呢?

對於這個悖論,有很多人都提出過解釋,第一個是利用了期望功用理論,這和之前提及的功用理論是有點關係的。

期望功用理論

Log Function (Source: Wikipedia)

數學家Daniel Bernoulli提出,我們對一項物品的價值是由它帶給我們的功用而來的,即使是金錢或財富我們也可以用同樣的說法,就是說我們應估量的,是這個金錢或財富帶給我們的功用的期望值,而不是金錢本身的期望值。

他說我們可以用一個功用函數來表達金錢帶給人們的功用,然後把功用的期望值計算出來,他選用的功用函數是對數函數,即是說,擁有1元,帶給我們的功用數值是log(1),擁有2元,則是log(2),擁有x 元便是log(x),而這個log(x)才是我們真正要估量的價值。

如果利用這個函數把期望值重計一次,便知道那絕對不是「無限大」,某程度上是解答了聖彼德堡悖論。

可是,在云云這麼多的函數中,為什麼他偏偏要選擇對數函數?原來對數函數有一個重要的特性,就是它是不斷的上升,而且是越升越慢的,這個特性正好表達了一個窮光蛋得到5000元便高興得很,但一個億萬富豪得到5000元卻不覺得有什麼特別高興這種情況﹝註一﹞。而事實上,如果我們選其他會「越升越慢」的函數﹝例如平方根﹞,也有差不多的效果。

我明白說到這兒一定有很多人跑出來說這個函數有問題,但Daniel Bernoulli這個解答的漏洞還不止這一個。更嚴重的問題是,即使對數函數真的可以把功用表達出來,但只要我們把這個遊戲稍稍調整,例如由大家擲到正面時可以得到2^(n-1)元,改為exp(2^(n-1))元,那麼不管你是說這個遊戲的期望值,還是它的功用的期望值也好,通通都變成無限大了。但明顯地,即使這種調整是令這遊戲賞金提高了不少,仍然沒有人們會肯付出數萬元去換取玩這個很有可能只能得到少於數十元的遊戲的。

總括來說這個利用期望功用理論的解答是問題多多,但原來Daniel Bernoulli 的表親Nicolas Bernoulli 也對這個悖論提出了一個解釋,他是從人們對那些不太可能發生的事件的態度來看這個悖論的。

人們傾向不理會太可能發生的事件

Source: http://wowbox.tw/

Nicolas Bernoulli 所提出的是,當我們仔細看看期望值的計算︰
期望值= (1/2)*1 + (1/4)*2 + (1/8)*4 + (1/16)*8 + (1/32)*16 …….
期望值的確是無限大沒錯,但一開始的數項﹝(1/2)*1 + (1/4)*2 + (1/8)*4﹞已經把最有可能發生的數個情況寫出來了,餘下的﹝(1/16)*8或之後的﹞都是那些發生機率很低很低的事﹝機率是(1/32),(1/64),(1/128)………﹞,而人們會很重視機率大的數項﹝就是你很大機會會得到1 ,2 或4 元﹞,而不會理會後面那些不太可能發生的可能性。這樣看,他們當然就不肯付很多錢去參加這個遊戲啊。

維基百科中提及Nicolas Bernoulli這個解釋的問題在於,很多心理學的展望理論﹝Prospect theory﹞或實驗經濟學到得到結論都說「人們是會過於重視那些不太可能發生的事件」,這和Nicolas Bernoulli 所提出的剛好相反。可是要留意一點,很多在心理學或實驗經濟學中提及的「人們是會過於重視那些不太可能發生的事件」,都是指造成損失的事件,好像是如果有一個遊戲是有0.0001% 你會損失很多錢,你便會感到過於害怕而不敢玩,即使只是0.0001%。但這不代表把事件換成是像聖彼德堡悖論中那種「賺錢事件」時,結果都會一樣﹝補充︰這兒我說得太武斷了,請看小光的回應﹞試想,同一個人,可以因為對出現很低機率的損失很重視,但同時又對很低機率的賺錢機會覺得沒什麼感覺吧。所以我不太贊同wikipedia中所說「現代的展望理論推番了Nicolas Bernoulli的解釋」的說法。可是我看過的心理學文獻實在很少,如果說錯了請指正。

是因為對方根本付不起

這個是在眾多對聖彼得堡悖論的解答中我最喜歡的一個,簡單說這個解答便是「人們不肯付錢玩這個遊戲,是因為對方賠不起」。也許你會說,難道你找一個極極極度有錢的人開設這個遊戲,人們就會付出數萬元去玩這個很可能只派1或2 元的遊戲嗎?答案是,是,但這個「極極極度有錢」是什麼意思?

如果我們假設對方有十億元,也就是說如果你真的十分好運,連擲29 次反面,到第30 次才擲正面,對方便會破產,那時只好賠你十億元了事。如果我們依照之前的說法,把期望值計算出來,又會得到什麼?
期望值=(1/2)*1 + (1/4)*2 + (1/8)*4 + (1/16)*8 + (1/32)*16 …….+ 1000000000*(1/2)^30 = 15.93

原來如果對方「只有」十億元這麼「少」的錢,我們對這個遊戲的期望值便由「無限大」跌至15.93 元,而在真實世界提供這種遊戲給我們的人,應該不會有十億元吧,如果他們最多只可以賠數十萬元﹝也不算是小數目了﹞,那麼期望值就真的只餘下數元了。如果說我們只願意付出數元去玩這個遊戲的話,看來期望值對於這個遊戲價值的估量也不是太差。

後記

維基百科對St Petersburg paradox還有更詳細的解釋,也有一些上面沒有提及的解答,有興趣的讀者可以去看看。原來寫這種paradox 也蠻難的﹝還以為會比較輕鬆﹞,本來還想在一篇裏寫完St Petersburg paradox, Allais Paradox 和Ellsburg Paradox,現在看來還是在另一篇才寫吧。

﹝註一﹞對數函數還表達了人們對風險的厭惡,這也解釋了為什麼用這個函數可以某程度上可以用來解答聖彼德堡悖論,如果用文字來說就相等於說「單用期望值的話沒有考慮風險因素,而人們不肯付出無限多的金錢去玩這個遊戲是因為他們不想承受這個遊戲的風險」

補充圖片

decision-weight-function

Source: Kahneman and Tversky "An Analysis of Decision Under Risk" Econometrica Vol 47 No 2(Mar1979)

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  • 小光

    『很多時在心理學或實驗經濟學中提及的「人們是會過於重視那些不太可能發生的事件」,都是指造成損失的事件,好像是如果有一個遊戲是有0.0001% 你會損失很多錢,你便會感到過於害怕而不敢玩,即使只是0.0001%。但這不代表把事件換成是像聖彼德堡悖論中那種「賺錢事件」時,結果都會一樣。』這句話是不對的。
    在Propect Theory裡面,無論賺錢(gain)或賠錢(loss),都會有「過於重視」的狀況出現。在1979年最原始的Propect Theory文獻中,作者(Kahneman & Tversky)便明確指出這件事。其中「賠錢」是以「買保險」當例子;「賺錢」則是用「樂透」當例子:明明中獎的機率那麼低、遠小於買彩卷的錢,大家心裡知道,還是樂於購買。

  • 小光

    『很多時在心理學或實驗經濟學中提及的「人們是會過於重視那些不太可能發生的事件」,都是指造成損失的事件,好像是如果有一個遊戲是有0.0001% 你會損失很多錢,你便會感到過於害怕而不敢玩,即使只是0.0001%。但這不代表把事件換成是像聖彼德堡悖論中那種「賺錢事件」時,結果都會一樣。』這句話是不對的。
    在Propect Theory裡面,無論賺錢(gain)或賠錢(loss),都會有「過於重視」的狀況出現。在1979年最原始的Propect Theory文獻中,作者(Kahneman & Tversky)便明確指出這件事。其中「賠錢」是以「買保險」當例子;「賺錢」則是用「樂透」當例子:明明中獎的機率那麼低、遠小於買彩卷的錢,大家心裡知道,還是樂於購買。

  • CHT

    沒想到居然會在這看到 Magic 牌 XD

  • CHT

    沒想到居然會在這看到 Magic 牌 XD

  • Mr. Tomorrow

    小光︰謝謝你的指正。
    但我對Propect Theory在有關這個題目的討論還是有數個問題,
    首先,Kahneman & Tversky 1979 中的實驗是有說不論賺錢或賠錢的事件人們都會過於重視,但他也有說在機率極端小的情況下,人們是會”either ignored or overweighted”,在好像聖彼德堡悖論中的那些(1/1024),(1/2048)等等的機率上,他的probability weighting function 是不被定義的吧。
    第二,Kahneman 之後還有很多後續研究去支持loss aversion,但相反在研究賺錢的一方的,好像有關favourite-longshot bias﹝意思是人們在賭賻時會過度投注那些不太可能出現賽果﹞的研究,則出現不少相反結論﹝如Woodland 1994﹞,或是提供了不少作者也不能分辨哪個才對的其他解釋﹝Thaler and Ziemba 1988﹞,又或是只研究比較沒有那麼極端的機率﹝Hurley and McDonough 1995﹞………….這些都令我認為wikipedia 中的”the proposed solution by Nicolas Bernoulli is nowadays not considered to be satisfactory.”這種說法對Nicolas Bernoulli 的解答並不公允。
    可是現在看回我自己的說法也武斷得很﹝因為我猜還有很多其他我沒看過的研究是反對Nicolas Bernoulli的解答吧﹞,所以還是謝謝小光的提醒。

    CHT︰哈哈,不過這牌的內容其實和這次的主題不是十分配合,只是剛剛想起而已。

  • laneser

    如果付一次錢參賽可以玩無限多次, 那麼這個期望值的確是很簡單的無限多大.
    但是如果付一次錢就只能玩一次(得到正面為止), 那麼要得到無限多大的錢, 你也必須要有無限多的金錢以及無限多的時間來玩才行…
    參考維基百科, 玩一千次, 平均每次莊家付五元 (從 $1 ~ $512 不等) , 哪你就知道, 如果你打算玩一千次, 而莊家要求每玩一次只要付低於五元, 那倒是可以考慮考慮…
    一百萬兆次 (trillon) 才平均 $20, 沒時間以及金錢想玩低於一百萬兆次的人, 就不用考慮每次 $20 的方案…
    當然以上前提是莊家錢無限多… 事實上莊家開這種遊戲, 一定會限制贏錢上限, 哪麼你很快能算出期望值了. (莊家一定算過是負的才敢開局吧!?)

  • laneser

    如果付一次錢參賽可以玩無限多次, 那麼這個期望值的確是很簡單的無限多大.
    但是如果付一次錢就只能玩一次(得到正面為止), 那麼要得到無限多大的錢, 你也必須要有無限多的金錢以及無限多的時間來玩才行…
    參考維基百科, 玩一千次, 平均每次莊家付五元 (從 $1 ~ $512 不等) , 哪你就知道, 如果你打算玩一千次, 而莊家要求每玩一次只要付低於五元, 那倒是可以考慮考慮…
    一百萬兆次 (trillon) 才平均 $20, 沒時間以及金錢想玩低於一百萬兆次的人, 就不用考慮每次 $20 的方案…
    當然以上前提是莊家錢無限多… 事實上莊家開這種遊戲, 一定會限制贏錢上限, 哪麼你很快能算出期望值了. (莊家一定算過是負的才敢開局吧!?)

  • 我觀察了一下這個等比級數
    公比是1…所以這個級數不會收斂 會是無限大
    所以期望值會是無限大
    而現在的問題就是期望值 和實際玩這個遊戲的結果差距太大
    因此沒有提供太多關於玩這個遊戲結果的資訊
    —————————–
    目前我想到的 也許是計算期望值變化版
    就是原本期望值是把每一種可能的嬴到的錢
    乘上該情況出現的機率
    我想到的變化形 則是每個數字再乘上一組加權weights
    weights加起來要等於1
    但是會依照時間遞減
    也許類似1/(e^t)這種函數可以拿來用 (需要normalize到加起來等於1)
    —————————–
    所以這樣子期望值就變成
    wt_1*p_1*X_1 + wt_2*p_2*X_2 + … + wt_n*p_n*X_n + …
    wt_i就是剛才提到的隨著時間遞減的函數
    p_i就是原來發生每種遊戲結局的機率
    X_i是每一種結局可以贏得的金額
    —————————–
    w_i主要就是想model這個遊戲 玩到無限多次的機會會越來越小
    另外如果可以選到好的w_i
    讓w_i/w_(i+1) 可以小於1 數列就不會變成無限大了
    不過算出來的變化期望值 是否就比較準確提供遊戲結局的相關資訊
    我可能要再想想了….
    w_i也要找一下比較適合的函數…
    —————————-
    因為期望值原來算法是無窮大
    代表長期下來 玩很多次這個遊戲 是穩賺 而且是穩賺無窮大
    但是每一次遊戲 都要有可能擲銅板無限多次 期望值無窮大這項資訊才有意義
    —————————-
    如果每一次玩遊戲 擲銅板的次數是有限次的
    那麼這就是w_t想要修正的
    變化形的期望值 就想代表說
    如果遊戲每次擲銅板的次數 不是無窮大
    而是每次遊戲裡面 只擲一次銅板就停下來(不管有無出現最後一次正面)的機率是w_1
    只擲t次銅板就停下來(不管有無出現最後一次正面)的機率是w_t 等等…
    那麼長期不斷玩這個遊戲可以贏的錢 就是趨近變化版的期望值 (有收斂的值) 了
    —————————-
    w_1, w_2, …, w_t, …
    就是一個機率分布 代表每次遊戲裡面
    擲銅板到第t次就累了 不管有無正面 這次遊戲都會停止的機率
    —————————-
    這樣子是否算是”二階期望值”呢…?
    還是高等數學已經有這類主題我還沒有學過…?
    我再想想 也請參考一下囉
    (我是有想到 一階邏輯 二階邏輯 的類似的地方…..)

  • 我觀察了一下這個等比級數
    公比是1…所以這個級數不會收斂 會是無限大
    所以期望值會是無限大
    而現在的問題就是期望值 和實際玩這個遊戲的結果差距太大
    因此沒有提供太多關於玩這個遊戲結果的資訊
    —————————–
    目前我想到的 也許是計算期望值變化版
    就是原本期望值是把每一種可能的嬴到的錢
    乘上該情況出現的機率
    我想到的變化形 則是每個數字再乘上一組加權weights
    weights加起來要等於1
    但是會依照時間遞減
    也許類似1/(e^t)這種函數可以拿來用 (需要normalize到加起來等於1)
    —————————–
    所以這樣子期望值就變成
    wt_1*p_1*X_1 + wt_2*p_2*X_2 + … + wt_n*p_n*X_n + …
    wt_i就是剛才提到的隨著時間遞減的函數
    p_i就是原來發生每種遊戲結局的機率
    X_i是每一種結局可以贏得的金額
    —————————–
    w_i主要就是想model這個遊戲 玩到無限多次的機會會越來越小
    另外如果可以選到好的w_i
    讓w_i/w_(i+1) 可以小於1 數列就不會變成無限大了
    不過算出來的變化期望值 是否就比較準確提供遊戲結局的相關資訊
    我可能要再想想了….
    w_i也要找一下比較適合的函數…
    —————————-
    因為期望值原來算法是無窮大
    代表長期下來 玩很多次這個遊戲 是穩賺 而且是穩賺無窮大
    但是每一次遊戲 都要有可能擲銅板無限多次 期望值無窮大這項資訊才有意義
    —————————-
    如果每一次玩遊戲 擲銅板的次數是有限次的
    那麼這就是w_t想要修正的
    變化形的期望值 就想代表說
    如果遊戲每次擲銅板的次數 不是無窮大
    而是每次遊戲裡面 只擲一次銅板就停下來(不管有無出現最後一次正面)的機率是w_1
    只擲t次銅板就停下來(不管有無出現最後一次正面)的機率是w_t 等等…
    那麼長期不斷玩這個遊戲可以贏的錢 就是趨近變化版的期望值 (有收斂的值) 了
    —————————-
    w_1, w_2, …, w_t, …
    就是一個機率分布 代表每次遊戲裡面
    擲銅板到第t次就累了 不管有無正面 這次遊戲都會停止的機率
    —————————-
    這樣子是否算是”二階期望值”呢…?
    還是高等數學已經有這類主題我還沒有學過…?
    我再想想 也請參考一下囉
    (我是有想到 一階邏輯 二階邏輯 的類似的地方…..)

  • Mr. Tomorrow

    Mr Thursday 說的,正正說是Kahneman的Prospect theory,或是Nicolas Bernoulli 的解答啊。
    Kahneman稱這個w 為probability weighting function,而他們二人就是因為選了不同的probability weightings 所以有不同的結論。

    值得留意的是「w_i主要就是想model這個遊戲 玩到無限多次的機會會越來越小」這個不可以算是一個解釋,因為 「機會會越來越小」這回事在p 己經計算了﹝不要忘了那些1/2,1/4,1/8 是怎樣算出來的﹞,如果加一個w 是double counting。如果要說擲銅板的次數是有限的話,例如擲銅板到第t次就累了之類,直接修改p 就可以了,不用加一個w。所以如果你真的要加w 進你的期望值計算中,必須要另有解釋才行。

    Nicolas Bernoulli和Kahneman解釋為什麼他們要在機率以外加權,都是由人的心理去解釋的,前者說「人們不會注意細小機率」所以w_i是increasing in p_i。而後者則說「人們會過度重視細小機率」所以w_i是decreasing in p_i。而後者更有實驗結果支持,前者我沒有看過原文,不敢肯定。

  • atr

    人類也是一種動物。
    大腦發展趕不上文明進步,
    在這個例題中數學統計機率等數值,
    已超過人類原始大腦對於簡單數字的”直覺概念”。

    過於悲觀而投資必定賠錢的保險、
    過於樂觀而投入以為可賺錢的賭博。

    類似以包裹式的行銷概念,吸引原始人類大腦參與,
    樂透亦然、保險亦然。

  • atr

    人類也是一種動物。
    大腦發展趕不上文明進步,
    在這個例題中數學統計機率等數值,
    已超過人類原始大腦對於簡單數字的”直覺概念”。

    過於悲觀而投資必定賠錢的保險、
    過於樂觀而投入以為可賺錢的賭博。

    類似以包裹式的行銷概念,吸引原始人類大腦參與,
    樂透亦然、保險亦然。

  • 小光

    To Mr. Tomorrow, 回應你在3樓的留言:

    1.
    這是我第一次知道聖彼德堡悖論,先謝謝你的介紹。為了回應你的留言,我又把Kahneman & Tversky的文章翻出來看了一下,粗略看過去,倒是沒找到你說的”either ignored or overweighted”是寫在哪裡(可以跟我說一下嗎?) 以我的理解,”overweighting of low probabilities”應該是Kahneman & Tversky的重要論述之一(不過我的理解也常常有誤啦^^a)

    另外,在Kahneman & Tversky所提出的Prospect Theory中,所謂的”low probabilities”是一個general且相對的觀念;也就是說,到底多小的機率才叫做”low”,是相對的。我不太確定你說「不被定義」是什麼意思,但如果要用Prospect Theory去計算任何一個機率的weighting,像是(1/1024)或是(1/2048),應該都是本來就辦不到的,因為沒有個比較,很難說多小才叫做low。

    2.
    我在wikipedia找到了你說的那句”the proposed solution by Nicolas Bernoulli is nowadays not considered to be satisfactory”。它是接在”their (Kahneman & Tversky’s) experiments indicated that, very much to the contrary, people tend to overweight small probability events”後面的。Kahnman和Tversky的實驗指出人會過度重視極小的機率,和Bernoulli說的「人會忽略不容易發生的事件」,兩種說法不合,因此接著說Bernoulli的論述不夠完滿。我感覺這樣說下來並沒有什麼不妥。

    後人因為有前人的智慧為基礎,而能把理論說得更精確完整,相較之下,前人的理論顯得”not considered to be satisfactory”,我倒是覺得這沒有什麼好不公允的 (笑) 以學術研究的角度來看,任何一個研究的不夠完備,都是引導後續研究的重要導師,Bernoulli在1738年提出聖彼德堡悖論,240年之後(1979)有晚輩提出更完備的論述,Bernoulli應該不會覺得有何不妥(吧…XD)

    再說,如果從卡爾波普的科學哲學裡「證偽」的角度來看,本來就不會有任何一個理論可以做到完全的完備。

    況且,既然這句話是來自wikipedia,從wikipedia看來也並非引述自任何權威性的言論,其實你大可去編輯它,改成你覺得對Bernoulli的說法 :PPP

    3.
    最後是我自己想的(哈)。

    其實我覺得Bernoulli在聖彼德堡悖論裡說的「人會忽略不容易發生的事件」和Prospect Theory裡說的「極小的機率會被過度重視」並沒有什麼衝突。

    在Bernoulli故事裡的多項式中,機率是慢慢地變小,你很難說多小之後的機率是叫做很小,但我們確實覺得後面的那些事情不太可能發生,也就忽略它們了。

    我不知道後來的學者有沒有對「逐漸變小」的機率提出其他論述(後來的許多文章我也沒看過XD),但在1979年Kahneman & Tverskey最早的Prospect Theory文章裡面,「極小的機率」是單一的事件。Kahnman和Tversky的實驗是這麼說的:相對於「你一定會得到5塊錢」,跟「你有千分之一的機率可以得到5000塊」,許多人選擇了後者。因此他們提出「極小的機率會被過度重視」的論述。它並不是說「w_i是decreasing in p_i」(借用Mr. Thursday和Mr. Monday在5、6樓討論的用詞),而只是「在機率極小的時候,會被過度重視」。

    也就是說,看完這兩個論述,問題不在於哪一個說法才是對的,而是在於什麼時候適用哪一個論點。愈小的機率確實愈不可能發生,當機率很小的時候我們也確實會忽略它(反正不太可能發生);但到底在什麼時候機率小到一個極致,反而讓我們覺得「其實也不是完全不可能」,而看在它「有那麼一點可能」帶來的龐大利潤,而決定「賭一把」?

    我的猜測是,這可能跟「參考點」有關。在這個遊戲,你有1/2的機會只得到1元。OH MY GOD!1元而已耶!然後有1/4的機會只得到2元,2元而已耶!也許思緒的參考點就在這個時候被設定了。回過頭來想樂透,如果改成一注55元,但另外設一個小小普獎卻只有10元,而且還有1/2的機會會中這個獎,而大獎的機率和金額都不變… 這麼一來,久而久之,會不會讓買樂透的人變少?我是覺的會啦,不知道大家覺得會不會?(真想做個實驗…成功了我就紅了,哈哈XDDD)

  • 小光

    To Mr. Tomorrow, 回應你在3樓的留言:

    1.
    這是我第一次知道聖彼德堡悖論,先謝謝你的介紹。為了回應你的留言,我又把Kahneman & Tversky的文章翻出來看了一下,粗略看過去,倒是沒找到你說的”either ignored or overweighted”是寫在哪裡(可以跟我說一下嗎?) 以我的理解,”overweighting of low probabilities”應該是Kahneman & Tversky的重要論述之一(不過我的理解也常常有誤啦^^a)

    另外,在Kahneman & Tversky所提出的Prospect Theory中,所謂的”low probabilities”是一個general且相對的觀念;也就是說,到底多小的機率才叫做”low”,是相對的。我不太確定你說「不被定義」是什麼意思,但如果要用Prospect Theory去計算任何一個機率的weighting,像是(1/1024)或是(1/2048),應該都是本來就辦不到的,因為沒有個比較,很難說多小才叫做low。

    2.
    我在wikipedia找到了你說的那句”the proposed solution by Nicolas Bernoulli is nowadays not considered to be satisfactory”。它是接在”their (Kahneman & Tversky’s) experiments indicated that, very much to the contrary, people tend to overweight small probability events”後面的。Kahnman和Tversky的實驗指出人會過度重視極小的機率,和Bernoulli說的「人會忽略不容易發生的事件」,兩種說法不合,因此接著說Bernoulli的論述不夠完滿。我感覺這樣說下來並沒有什麼不妥。

    後人因為有前人的智慧為基礎,而能把理論說得更精確完整,相較之下,前人的理論顯得”not considered to be satisfactory”,我倒是覺得這沒有什麼好不公允的 (笑) 以學術研究的角度來看,任何一個研究的不夠完備,都是引導後續研究的重要導師,Bernoulli在1738年提出聖彼德堡悖論,240年之後(1979)有晚輩提出更完備的論述,Bernoulli應該不會覺得有何不妥(吧…XD)

    再說,如果從卡爾波普的科學哲學裡「證偽」的角度來看,本來就不會有任何一個理論可以做到完全的完備。

    況且,既然這句話是來自wikipedia,從wikipedia看來也並非引述自任何權威性的言論,其實你大可去編輯它,改成你覺得對Bernoulli的說法 :PPP

    3.
    最後是我自己想的(哈)。

    其實我覺得Bernoulli在聖彼德堡悖論裡說的「人會忽略不容易發生的事件」和Prospect Theory裡說的「極小的機率會被過度重視」並沒有什麼衝突。

    在Bernoulli故事裡的多項式中,機率是慢慢地變小,你很難說多小之後的機率是叫做很小,但我們確實覺得後面的那些事情不太可能發生,也就忽略它們了。

    我不知道後來的學者有沒有對「逐漸變小」的機率提出其他論述(後來的許多文章我也沒看過XD),但在1979年Kahneman & Tverskey最早的Prospect Theory文章裡面,「極小的機率」是單一的事件。Kahnman和Tversky的實驗是這麼說的:相對於「你一定會得到5塊錢」,跟「你有千分之一的機率可以得到5000塊」,許多人選擇了後者。因此他們提出「極小的機率會被過度重視」的論述。它並不是說「w_i是decreasing in p_i」(借用Mr. Thursday和Mr. Monday在5、6樓討論的用詞),而只是「在機率極小的時候,會被過度重視」。

    也就是說,看完這兩個論述,問題不在於哪一個說法才是對的,而是在於什麼時候適用哪一個論點。愈小的機率確實愈不可能發生,當機率很小的時候我們也確實會忽略它(反正不太可能發生);但到底在什麼時候機率小到一個極致,反而讓我們覺得「其實也不是完全不可能」,而看在它「有那麼一點可能」帶來的龐大利潤,而決定「賭一把」?

    我的猜測是,這可能跟「參考點」有關。在這個遊戲,你有1/2的機會只得到1元。OH MY GOD!1元而已耶!然後有1/4的機會只得到2元,2元而已耶!也許思緒的參考點就在這個時候被設定了。回過頭來想樂透,如果改成一注55元,但另外設一個小小普獎卻只有10元,而且還有1/2的機會會中這個獎,而大獎的機率和金額都不變… 這麼一來,久而久之,會不會讓買樂透的人變少?我是覺的會啦,不知道大家覺得會不會?(真想做個實驗…成功了我就紅了,哈哈XDDD)

  • Tim wu

    看完第一個想到的例子就是保險.
    保險公司就是深知prospect theory, 設計了一張張保費高昂但理賠機率很低的保單, 賣給一般人.

  • Tim wu

    看完第一個想到的例子就是保險.
    保險公司就是深知prospect theory, 設計了一張張保費高昂但理賠機率很低的保單, 賣給一般人.

  • Mr. Tomorrow

    小光︰
    有關你的第一點和第三點,我先澄清我所說的Kahneman and Tversky 1979 是Kahneman and Tversky “An Analysis of Decision under Risk” Econometrica, Vol. 47, No. 2 (Mar., 1979), pp. 263-291 (這應該不會有錯吧﹞
    而那句引文是出現在”weighting function”的一部份,page 283 中,原文是
    “Because people are limited in their ability to comprehend and evaluate extreme probabilities, highly unlikely events are either ignored or overweighted, and the difference between high probability and certainty is either neglected or exaggerated. Consequently, (pi) is not well-behaved near the end-points.”
    pi 就是那個decision probability。我的理解是,他認為由他的實驗結果看來人們是過度重視細小機率的事件﹝你說得對,這的確是他的重要論述﹞,但他也說這不適用在極端細小的機率(所謂extreme prob)上。

    「不被定義」我指的是上面說是”not well-behaved”,這個我寫得很差,對不起。

    在同一個section中,他把stated prob(真實的機率)和decision prob(人們如何看這個機率) 關聯起來,說人們對不同大小的機率會有不同程度的加權,他的實驗的確是只用了一個stated prob 出來,但在他的理論(又或是廣一點說展望理論)中他決不是只想說我們要定義一個叫”low”的機率, 之後才說那會被過度重視的,而是想說人們對不同大小的機率都有一個不同的想法,也就是一條連續的prob weighting function。而你也猜對了,後來是有不少研究嘗試把整條pro weighting function 測出來,例子嘛…..Prelec 1998, econometrica….(我是很久之前看這篇文章了,這不是什麼代表性的文章,只是剛好想到的例子)
    ====================================
    你的第二點我是很贊同的,我也覺得即使說Bernoulli 真的錯了他也不會不滿。可是我不會去把wiki中人家的意見改掉了﹝我覺得你是說笑的=p﹞,因為我猜編輯wiki的人比我看的文章多也看得清楚,我沒有資格去改它,可是我會把我的意見寫在網誌中,讓大家知道有一個mr tomorrow 是這樣看bernoulli解答 和prospect theory的,我覺得這比在wiki看到和自己想的不太一樣便去改它好一點,特別這又不是我很認識的領域。
    ====================================
    我沒有看過有關參考點影響prob weighting function的形狀的研究,但那應該是可以的啦,如果你真的可以做一個實驗看看便好了,說不定會是個很好的研究呢。^_^

  • Mr. Tomorrow

    tim︰我也是立刻想到保險,當然你可以說保險業深明propect theory 之道所以騙了一般人的錢。但我也可以說只是一般人真的很害怕這種機率很低但損失很大的事件,但保險公司不怕,所以他們就做個買賣啦,這就變成大家買賣普通物品一樣,亙惠亙利而已。

    atr: 這也是一種看法,但我還是傾向相信人們是聰明的。(這句話好像說得太多了,但仍然想不斷說 XD)……

  • 小光

    To Mr. Tomorrow: 你說的我大致都同意,是那一篇文章沒錯,我也找到那一句了,只是我原本認為那只是為了說明他所繪製的decision weight vs. sated probability關係圖時,為解釋曲線兩端的空白而說,並非主要論述,所以忽略了。但你的說法是沒有錯的。

    但我忍不住還是要追問你說的「連續的」prob weighting function。在1979這篇文章裡頭,那條曲線不只兩端空白,中間也是斷開的呢? 但看到你說後來真有學者計算整條weighting,也許這條曲線是否「連續」,是有答案的。想想不同背景的思考方式真的很有趣,我現在會覺得這線曲線缺頭缺尾中間斷一截,是一種很美妙的畫法,但也許其他背景的人會因為它不夠嚴謹而坐立難安吧?

    另外,對於7樓的說法(如果atr大不介意我comment的話)和Mr. Tomorrow的回覆,我的想法是,人的直覺判斷是最複雜而神奇的。atr大說的沒錯,人是用很原始的簡單想法去參與這些活動。雖然他自己覺得原始簡單,有些人在旁觀看卻覺得難以理解,於是這些人試圖用他們能夠理解的語言去解釋人的直覺,但又因為這些直覺實在太難懂了,所以才會搞得這麼複雜。也就是說,現在並不是人要放棄直覺去學習使用這些複雜理論,而是這些理論跟著人跑,亦步亦趨地想要知道人的直覺是怎麼回事。無論樂透或保險,本來就是先有這些活動與直覺行動,才有理論想要解釋它。其他許多社會科學的理論也都是這樣的。

  • 小光

    To Mr. Tomorrow: 你說的我大致都同意,是那一篇文章沒錯,我也找到那一句了,只是我原本認為那只是為了說明他所繪製的decision weight vs. sated probability關係圖時,為解釋曲線兩端的空白而說,並非主要論述,所以忽略了。但你的說法是沒有錯的。

    但我忍不住還是要追問你說的「連續的」prob weighting function。在1979這篇文章裡頭,那條曲線不只兩端空白,中間也是斷開的呢? 但看到你說後來真有學者計算整條weighting,也許這條曲線是否「連續」,是有答案的。想想不同背景的思考方式真的很有趣,我現在會覺得這線曲線缺頭缺尾中間斷一截,是一種很美妙的畫法,但也許其他背景的人會因為它不夠嚴謹而坐立難安吧?

    另外,對於7樓的說法(如果atr大不介意我comment的話)和Mr. Tomorrow的回覆,我的想法是,人的直覺判斷是最複雜而神奇的。atr大說的沒錯,人是用很原始的簡單想法去參與這些活動。雖然他自己覺得原始簡單,有些人在旁觀看卻覺得難以理解,於是這些人試圖用他們能夠理解的語言去解釋人的直覺,但又因為這些直覺實在太難懂了,所以才會搞得這麼複雜。也就是說,現在並不是人要放棄直覺去學習使用這些複雜理論,而是這些理論跟著人跑,亦步亦趨地想要知道人的直覺是怎麼回事。無論樂透或保險,本來就是先有這些活動與直覺行動,才有理論想要解釋它。其他許多社會科學的理論也都是這樣的。

  • Mr. Tomorrow

    我在上文補充了Kahneman and Tversky 1979 那幅圖片,中間沒有斷開啊?????

    他的確是為了解釋曲線兩端的空白而說,並非他的主要論述,你說得對…….只不過我認為聖彼德堡悖論所說的情況剛好就是踏在這個本來就不是Kahneman and Tversky主要論述的地方而己。 (因為這個悖論的重點就正是在於那些極小的機率上,指的可能是(1/2)^20 ……應該算是extermely small吧﹞

    我的看法是,以一個理論來說,這個function是不可能斷開的,比如說你不會說「我這個理論認為人們會對0.5,0.6,0.7這數個probability加權,但0.60001 或是0.59999呢,就不知道了」,這不可能吧。正常來說寫一個理論,都是會寫「人們會對probability 加權」或是「人們會對某範圍的probability 加權」,而不會指明是哪幾個probability啊。

    但相反,做實驗的話,則是不可能是連讀的,因為資源有限,即使我們的理論預測一條連續的function,在做實驗時也只可以選若干個數字來試。這是理論層面和實驗層面的分別,我覺得是要說清楚的。

    而事實上Kahneman 在80年代的研究中也不斷在補充他的理論,所以即使這篇有什麼不夠嚴謹是可以理解,畢竟理論還是不斷要研究者去補充豐富,而這篇是屬於在研究領域上開疆僻土的那一種文章吧。

    我十分贊成你對社會科學理論的看法,謝謝你的分享。

  • 小光

    1.我從不同source也找到了沒斷開的圖,仔細閱讀內文也沒有提及,看來是我誤會了(真是誤會大了),多謝你了,不然我不知道要誤解多久 😛

    2.我仍然不覺得聖彼德堡悖論的點是落在Kahneman and Tversky的極端值,因為它是逐漸變小的,跟Kahneman and Tversky所聲稱的會被忽略的極端值,意義不同。回頭再看你的原文,似乎本來也就沒有人要用Prospect Theory來解釋聖彼德堡悖論,所以它也不需要落在那裡就是了

    3.就一個理論來說,圖形是「有可能」斷開的。它並不一定要像你說的、是由分離的點所組成的函數,但仍然有可能在某些「此理論無法解釋」或「此理論並未試圖解釋」的地方斷開。一個理論並沒有必要解釋世界上所有的情形呀…

  • 小光

    1.我從不同source也找到了沒斷開的圖,仔細閱讀內文也沒有提及,看來是我誤會了(真是誤會大了),多謝你了,不然我不知道要誤解多久 😛

    2.我仍然不覺得聖彼德堡悖論的點是落在Kahneman and Tversky的極端值,因為它是逐漸變小的,跟Kahneman and Tversky所聲稱的會被忽略的極端值,意義不同。回頭再看你的原文,似乎本來也就沒有人要用Prospect Theory來解釋聖彼德堡悖論,所以它也不需要落在那裡就是了

    3.就一個理論來說,圖形是「有可能」斷開的。它並不一定要像你說的、是由分離的點所組成的函數,但仍然有可能在某些「此理論無法解釋」或「此理論並未試圖解釋」的地方斷開。一個理論並沒有必要解釋世界上所有的情形呀…

  • Mr. Tomorrow

    對對對,我明白一個理論並沒有必要解釋世界上所有的情形,而且在寫一個理論時我們可以選擇它試圖解釋的部份。我只是想說即使我們做實驗時只有0.5 0.6 0.7,也不代表理論中我們是不埋會0.55 而己……SORRY…辭不達意。

  • someone

    “相對於「你一定會得到5塊錢」,跟「你有千分之一的機率可以得到5000塊」,許多人選擇了後者。因此他們提出「極小的機率會被過度重視」的論述。”
    如果是「你一定會得到5億」,跟「你有千分之一的機率可以得到5000億」,我猜大部分人會選前者,因此「極小的機率會被過度重視」的論述似乎有待商榷。

    By the way,講到玩的時間,如果把此遊戲改成一翻兩瞪眼的摸彩,機率與獎金不變,玩家依舊不願意花大錢玩,時間函數在此狀況下說不通。

  • someone

    “相對於「你一定會得到5塊錢」,跟「你有千分之一的機率可以得到5000塊」,許多人選擇了後者。因此他們提出「極小的機率會被過度重視」的論述。”
    如果是「你一定會得到5億」,跟「你有千分之一的機率可以得到5000億」,我猜大部分人會選前者,因此「極小的機率會被過度重視」的論述似乎有待商榷。

    By the way,講到玩的時間,如果把此遊戲改成一翻兩瞪眼的摸彩,機率與獎金不變,玩家依舊不願意花大錢玩,時間函數在此狀況下說不通。

  • alien

    我同意樓上的說法。我認為機率大小未必有不同的權重,反而是過大的金額和過小的金額,例如5塊和5000億,兩者的價值都確定會被低估。也許這樣一句話就可以同時解釋聖彼德堡悖論和Prospect Theory裡的實驗。
    關於聖彼德堡悖論裡大金額被低估,用對數函數或其他其他越昇越慢的效用函數來解釋有可能會失敗,也許只是因為變慢的不夠多而已。以極端的情況來看,如果有用一個有上限的效用函數,也就是假設遊戲的報酬或是金錢不能無止盡的增加對我的效用,那麼期望值就不會是無限大了。這種情形也就和原作最後所提到的解釋”因為莊家付不起”是等價的。
    至於較小的金額部分,人們會願意拿來”玩玩”。 花50元買樂透大家願意,花五十萬賭個有1/2機率拿一百萬的賭盤,可能願意賭的人就沒那麼多了。

  • alien

    我同意樓上的說法。我認為機率大小未必有不同的權重,反而是過大的金額和過小的金額,例如5塊和5000億,兩者的價值都確定會被低估。也許這樣一句話就可以同時解釋聖彼德堡悖論和Prospect Theory裡的實驗。
    關於聖彼德堡悖論裡大金額被低估,用對數函數或其他其他越昇越慢的效用函數來解釋有可能會失敗,也許只是因為變慢的不夠多而已。以極端的情況來看,如果有用一個有上限的效用函數,也就是假設遊戲的報酬或是金錢不能無止盡的增加對我的效用,那麼期望值就不會是無限大了。這種情形也就和原作最後所提到的解釋”因為莊家付不起”是等價的。
    至於較小的金額部分,人們會願意拿來”玩玩”。 花50元買樂透大家願意,花五十萬賭個有1/2機率拿一百萬的賭盤,可能願意賭的人就沒那麼多了。

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