機率: 化永恆於須臾的資訊表示法

Posted By Mr. Thursday

對於一般大眾來說,提到機率,或許最先想到的三件東西,不外乎就是銅板、骰子、以及撲克牌。對於數理背景的讀者來說,機率可能有各種應用,也是統計學的基礎,機率本身也有自己的理論基礎等等。然而今天想要探討的,是機率所代表的一般意義。

機率究竟代表什麼樣子的意義呢?譬如說0.5,譬如說50%、80%,這些數字,代表什麼事情呢?譬如說擲銅板,每次的結果,不是正面、就是反面,你說公正的銅板,正反兩面的機率是0.5,但是我每次出來的結果不是正面就是反面,不會是一半正面一半反面的銅板,那麼這個0.5有什麼樣子的意義呢?

beehive再繼續討論之前,也許先談談「資訊」的定義。資訊我們常常用文字來表達,譬如說新聞報導,也可以用數字表達,譬如說機率的數字。之所以用資訊來表達外界的事物或內在的想法,是因為這種溝通方式比較有效率。讓我們想像一下,如果今天我們晚上吃了一頓飯,並且唱歌跳舞很開心,回家後想要和家人分享。如果沒有文字,我們可能沒辦法一句話就講完這件事情,可能要比手畫腳,家人才會了解 (understand)。如果連比手畫腳這種濃縮訊息的溝通方式都不能用的話,唯一的方式大概就是,在家人面前吃一頓同樣的大餐,然後表演唱歌跳舞的樣子,家人看到才恍然大悟,原來你想表達的是「剛才吃了一頓大餐,同時有唱歌跳舞」。

如果每一件事情,都要重覆「做」一次才能讓對方了解,那溝通就會是一件非常累的事情了。好在無論是動物或人類,語言或非語言的溝通,我們都有辦法在不失去精準度和真實性的情況下,濃縮想要表達的訊息,傳遞給別人知道 (understand)。「資訊」用這種想法來說,就是任何一種表達事情的方法了。

機率表示永恆和大量情況的資訊

因此,如果「機率」也是一種「資訊」的表示方式,那麼機率想要表示什麼呢?為

coin

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什麼說銅板正反面機率各是0.5,出來的結果不是正面就是反面,而不是正反面各一半跑出來呢?原因就是,機率是表示「永恆」和「大量」情況下,事物出現的次數比例。譬如說銅板丟1000次,約略會有500次會出現正面,另外500次出現反面。都銅板10000000000次,出現正面次數會更接近5000000000次,反面次數更接近5000000000次。

除了「永恆」,「大量」的情況,也是機率可以表示的資訊,譬如說如果還是丟銅板,這一次一下子丟1000個銅板,約略會有500個銅板出現正面,500個銅板出現反面。每個銅板不是正面就是反面,但是把時間軸拉長,出現次數累積出來,就是機率所表示的0.5。每個銅板不是正面就是反面,但是把空間放大,一下子丟一大堆銅板,出現次數累積起來,也是機率可以表示的0.5。

因此,機率數字所代表的,不是當下的結果,而是在「長期」、「大量」的情況下,各種事件出現的比例。以銅板來說,就只有正反兩面,這兩種事件 (如果要考慮所有情況,可以多加一個事件代表任何例外情況,包括銅板立起來、丟不見、碎掉等各種例外情形,然後用極小的機率值來代表這些例外事件會出現的次數比例)。以公正的骰子來說,就是六面骰子出現,這六種事件需要給予機率值。以撲克牌來說,就是4種花色,每種花色13張牌,偶而加上鬼牌和小丑牌。

期望值:機率對行動的影響方式

所以或許會問,既然銅板每次不是正面就反面,那麼知道「長期」下來或是「大量」情況下,出現正反面機率各是0.5這項資訊,對我來說又有什麼影響呢?一件事情除了了解 (understand),似乎也要對我們的行動 (action) 產生影響,才會有意義 (meaning),而對行動的影響,又牽涉到我們的價值觀 (value) ,也就是對每一件事情所賦予的價值。當我們對每一件事情賦予價值 (value) ,無論是自己給的價值、社會要求的價值、後天學習的價值、與生俱來的價值觀、或是別人長期灌輸的價值觀,總之,經過價值觀,我們對每一件事情賦予了價值 (value)。

既然每一件事情有了價值,然後我們會追求最高的價值,那麼我們的行動就是要讓價值高的事件出現越多次越好。然後今天機率的資訊又告訴了我們每件事情出現的次數 (長期或是大量的情況下),因此我們在每一次做選擇,也就是付出行動的時候,即使出來的結果不是正面、就是反面,但是長期下來,如果我們參考了機率表示的資訊,我們可以知道長期下來,某個行動,會得到多少價值。這也就是「期望值」(expect value) 想要表達的事情了!

譬如說某一個遊戲,遊戲規則是,丟銅板出現正面,要給對方100,出現反面對方會給100,正反面出現機率是0.5,那麼我們根據機率資訊,計算期望值,會得到0.5*(-100) + 0.5*(100) = 0,也就是說,期望值是0,也就是說,我們如果玩這個遊戲,長期下來,不會賠、但是也不會賺。因此機率的功用也就在這邊顯現出來,根據機率的資訊,我們可以對不確定的事物,有個估算,進而影響我們的行動,但是這個估算的結果,都是在長期或是大量的情況下,才會顯出作用。

機率在各種不確定情況的應用

因此,有了機率,以及進一步的統計 (今天還未提到統計),在醫學上,我們可能根據病人各種檢驗結果,以及過去各種病人的資料,對癌症病人估計存活率,存活天數。或是經過各種檢驗報告,估計各種得到各種疾病的機率。但是當我們看到這些報告的時候,或許會有些困惑,我不是活著就是死去,不是有病就是沒病,我不會說70%的身體是活著,30%的身體是死的。如果我們也是用「長期」和「大量」來看待這些資訊的話,或許就比較能夠知道這些機率數字代表的意義,以及對行動和價值的影響 (如何治療?治療後的生活品質等等。)

diffraction之前在〈測不準原理淺介〉裡面,也提到「不確定性」這個詞,那麼不確定性要如何表示呢?或許在我們了解了「機率」這種數字表示法之後,也比較能夠知道「不確定性」要如何表達了。

另外一篇文章,則是 Mr. Saturday 曾經撰寫的〈別把隨機當必然〉,也是和機率有關的文章。如果可以的話,希望這一篇文章可以當成餐前的小菜,讓各位了解「機率」代表的意義之後,該篇文章讀起來也就比較能夠了解,也讀得更有味道了!

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  • 这个蛮难的

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  • 感謝 Mr. Thursday 又讓我把自己的文章重新審視了一遍 🙂

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  • 嗯嗯….有些不錯的文章時間一久可能也忘了
    重新閱讀一下或許也會有不一樣的心得
    以後再多找一些Mr. Saturday 的文章來回顧一下吧XD….
    —————————————
    順便補充一下剛才想到的相關電影: 決勝21點
    可以延伸觀賞
    預告片
    http://tw.movie.yahoo.com/videoplayer.html/id=2550&type=movie&play=3010&tab=r

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  • 芭樂

    這讓我想起來賭俠在賭桌上的那一幕… XD

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  • 路過,留個印記。

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