你看到一套防毒軟件，這個軟件聲稱會對你下載的所有檔案都掃描一次，病毒偵測準確度達99%。
這個「99%」令你眼前一亮，心想︰「這個軟件看來相當可靠，準確度99%呢﹗﹗」於是你便把它買下，並成功把它安裝了。
安裝了這個軟件一段日子，有一天，這個軟件突然響起警報，這個時候最正常的問題便是「我下載的檔案真的帶有病毒嗎？」又或者說，這個軟件誤鳴的機率有多高？
你認為誤鳴率就是 1- 99% = 1% 嗎？
在探討這個防毒軟件問題前，先回到貝氏定理(上) – Monty Hall 的三扇門中的女生看書例子。還記得那個例子嗎？我們可以用這個表描述該例子的情況:
| 男 | 女 | 總和 | |
| 不喜歡看書 | 0.2 | 0.1 | 0.3 |
| 喜歡看書 | 0.3 | 0.4 | 0.7 |
| 總和 | 0.5 | 0.5 |
這個表的意思是 (事件A是喜歡看書，not A 是不喜歡看書，B是指女生，not B 是指男生):
有20% 的人既是男生，又不喜歡看書。 (P(not B|not A)*P(not A))
有10% 的人既是女生，又不喜歡看書。(P(B|not A)*P(not A))
有30% 的人既是男生，又喜歡看書。(P(not B|A)*P(A))
有40% 的人既是女生，又喜歡看書。(P(B|A)*P(A))
女生佔50% (0.4+0.1)
男生佔50% (0.3+0.2)
不喜歡看書的人佔 30% (0.2+0.1)
喜歡看書的人佔 70% (0.3+0.4)
所如果現在我隨機選一個人，剛巧選到一個女生，要估計這個女生喜歡看書的機率，用貝氏定理
P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
配合 P(B)=(P(B|A)*P(A)+P(B|not A)*P(not A))
只要把數字代進公式便得到 0.4/0.1+0.4 = 0.8，和上篇得到的答案一樣是80% 。(當然是一樣了，因為是同一個定理，只是從不同角度去看而己)
留意即使你不懂那些煩人的機率公式，這兒也有一個很直觀的理解方法，便是
「女生有兩種，一種是不喜歡看書，佔0.1 ，第二種是喜歡看書，佔0.4，喜歡看書的便是全部女生中的4/5 了，所以當我們剛巧選到一個女生，我們便知道有80% 的機會她是喜歡看書的。」
很多時候，用一個表把機率列出來，是理解機率問題的最佳辦法。
回到一開始的問題。首先，故事裏防毒軟件廣告中的99% 是指，當有病毒入侵時，有99% 會響起警報，而不是響起警報時，有99%機會是真的有病毒，這兩個概念是完全不同的。
如果下載的檔案有0.005 的機會是帶有病毒(這是為了簡化問題，就把它看們是平均每200個下載的檔案中便有一個帶有病毒吧)。上述的情況便可以用以下的表來描述:
| 警報響起 | 警報沒響起 | 總和 | |
| 有病毒 | 0.99*(0.005) | 0.01*(0.005) | 0.005 |
| 沒有病毒 | 0.01*(0.995) | 0.99*(0.995) | 0.995 |
有病毒的機率是 (0.005)，當中99%警報會響起，所以
「有病毒同時警報響起」的機率便是 0.99*(0.005)=0.00495
同理
「有病毒同時警報沒響起」的機率便是 0.01*(0.005)=0.00005
「沒有病毒同時警報響起」的機率便是 0.01*(0.995)=0.00995
「沒有病毒同時警報沒響起」的機率便是 0.99*(0.995)=0.98505
結果就是
| 警報響起 | 警報沒響起 | 總和 | |
| 有病毒 | 0.00495 | 0.00005 | 0.005 |
| 沒有病毒 | 0.00995 | 0.98505 | 0.995 |
運用貝氏定理公式，我便知道
P(有病毒|警報響起)= 0.00495/(0.00495+0.00995)=33%
(又或者用文字說，警報響起有兩種情況，一是有病毒，佔0.00495，二是沒有病毒，佔0.00995，有病毒的情況佔總和的33%)
這便是說，即使病毒測試的準確度是99%，當警報響起時，仍然有67%機會是誤鳴。
這個例子告訴我們什麼呢？以下三個結論，是同等重要的。
- 軟件在病毒出現時有很大機會響起警報，並不代表軟件響起警報時很大機會是有病毒出現。
- 當有病毒時，軟件有大一點的機會響起警報的話，軟件響起警報時，真的是有病毒的機會也會提升。也就是說99%的確不代表「很準確」，但它仍是比80% 的準確度好一些。
- 不要單看99%這個數字，便說某個測試是不是「很準確」，我們要看這個測試是要測什麼才下定論。
為什麼我要特別提出這三個結論是同樣重要呢？因為通常人們在分析這種例子時，常常把重點放在第一點來解說。可能因為這是一個較令人驚奇的結論吧，很容易會使人想到「99% 不代表什麼!!原來這個這個機率是騙人的!!我們不要理會它!!」。但不要忘記這是因為故事中病毒出現率是0.005，所以才會造成這樣的效果。如果病毒出現率是5% 或10%，你會發現用這個99%準確的軟件是確實是很準確的。就像以下的例子:
如果病毒出現率是0.1 而不是0.005
| 警報響起 | 警報沒響起 | 總和 | |
| 有病毒 | 0.099 | 0.001 | 0.1 |
| 沒有病毒 | 0.009 | 0.891 | 0.9 |
這樣P(有病毒|警報響起)= 0.099/(0.099+0.009)=92%
在這個情況下，警報響起時，只有8% 機會是誤鳴，和剛才的67%差很遠。所以這個99%的準確度雖然不代表誤嗚率一定很低，但我們不可以說這個99%是完全沒有意義的。
所以較好的說法是，當我們要測試的事情出現率很低 (好像0.005)，這樣一個99% 準確度的測試仍然會造成很高的誤鳴率，但如果要測試的事情出現率較高(好像0.1)，這個一個99% 準確度的測試已經很好了。測試的準確度是相對要測試的事情而言的，沒有一個絕對的「準確」和「不準確」的分界。在不知道要測試的事情出現機率下，我們是不能說某個測試的「準確度」是不是很高的。
而在我們選購這些防護軟件時，通常人們都會留意防護軟件的準確度，但其實病毒出現的機率也很重要。例如A 軟件比B 軟件可以測出多20% 種病毒，但其實那20%種病毒都是那些極罕見的病毒，出現率只有0.0000001%，這樣A軟件也不見得比B 軟件好很多。這個情況很常見，因為一般防毒軟件都是先做到可以處理常見的病毒，才處理那些很少出現的病毒的。
換個角度看，我們在判斷防毒軟件是否誤鳴時，不能單靠軟件的準確度，也要配合「病毒出現的機率」這項資訊。簡單來說，如果防毒軟件警報是在平常作業時響起，你可能還會以為它是誤鳴。但如果它在你正在瀏覽某些危險網站時響起，即使我們是在仍用同一個防毒軟件，我們對這個軟件是誤鳴的機率估計也會降低很多。
另外，在選擇防毒軟件時，很多時候我們會傾向選擇多疑一點的。也就是說寧可它誤嗚多一點，但不要在真的病毒時測不出來。這是因為誤嗚對我們造成的不便，遠比電腦中毒來得小。在上面的計算中，我是沒有理會這個分別的(正如在上篇中我也沒有把「主動責任」計算在Monty Hall problem中一樣)。但這涉及到所謂Type 1 error 和Type2 error，另文再說好了。
這兩篇有關貝氏定理的文章我羅列了很多不同的角度去看這個定理，我也不厭其煩地多說一遍，在學習定理時，不要只固守一個方式。有些人愛用數式証明，因為它們嚴謹清晰；有些人愛用直觀解說，因為它能把定理和日常的思考方法連在一起。我則有點偏愛模擬的方法，把統計問題中的情況用電腦甚至是用紙筆模擬運作數百次，讓我可以把結果看清楚。每個人都可以選擇自己喜歡的方式。
但當用自己喜歡的方式學懂了一個概念之後，便要嘗試看看自己是否明白其他角度的想法。畢竟如果我們真的明白一個定理的話，總不會因為它轉換了皮膚不認得它的。最常見的說法便是因為不喜歡用數式便每事都只用文字說過便算，又或是覺得計出了答案之後，便不用管內裏的原理。對我來說，嚴謹的計算和直觀的解說也是同樣重要的。硬要用一個不合自己的方法和定理糾纏，和用懂了一個方法便認為不用理會其他，同樣是對學習有害的。
補充1︰
運用和這篇中的列表方式，我們可以把上篇中的monty hall problem用這個表描述一次，假設你選了一號門
| 主持人打開2號門 | 主持人打開3號門 | 總和 | |
| 1 號門中有獎金 | 1/6 | 1/6 | 1/3 |
| 2 號門中有獎金 | 0 | 1/3 | 1/3 |
| 3 號門中有獎金 | 1/3 | 0 | 1/3 |
| 總和 | 1/2 | 1/2 |
解說:
「1 號門中有獎金」同時「主持人打開2號門」的機率是 (1/2)(1/3)=(1/6)
「1 號門中有獎金」同時「主持人打開3號門」的機率是 (1/2)(1/3)=(1/6)
「2 號門中有獎金」同時「主持人打開2號門」的機率是 0，因為當2號門有獎金時，主持人便不會選2 號門了。如此類推。
所以，你選了1號門，在主持人打開2 號門之後，1號門有獎金的機率是 (1/6)/((1/6)+1/3))=1/3，而3號門有獎金的機率是 (1/3)/((1/6)+1/3))=2/3，同樣得到轉換結果可以使得獎機率加倍的結果。
和女生看書的例子同一原理，我們也可以把貝氏定理的計算解釋為︰
「主持人打開2號門，有以下兩種可能，第一是「1 號門中有獎金」，機率1/6 ，第二是「3 號門中有獎金」，機率1/3，所以「1 號門中有獎金」便在這兩個可能性中佔了1/3 了」
補充2:
這篇文章中我沒有詳細解釋貝氏定理如何把先驗機率(prior) 轉換成後驗機率(posterior)，畢竟一篇文章不可能什麼都寫完，相信在將來的文章中總有機會回到這個主題上的。現在可以說的是，貝氏定理不是憑空把一個機率算出來的，而是一個討論如何把機率估計上調或下調的定理。意思是我們本來對門後有獎金的機率有一個想法，好像1/2 (這便是先驗機率)，之後我們用貝氏定理，利用「主持人開門」的資訊把估計上調到2/3，(這便是後驗機率)。又或者是本來我們知道70%的人愛看書(先驗機率)，知道那人是女生之後，利用這個資訊我們把估計上調到80%(後驗機率)。而因為貝氏定理只是在說如何把先驗機率變成後驗機率，所以我一直都把先驗機率當成一項已知的資訊，沒有討論它的由來。
另外，由於先驗機率是主觀機率(subjective probability)，那麼計出來的後驗機率也是一個主觀機率。統計學中客觀機率(objective probability)是指我們經過反覆試驗得出的機率。當我們在遊戲之中，面對兩個門的選擇，這個情景如果不會重複出現，不能重複試驗，不論你是用貝氏定理把機率計出來，還是憑空亂猜一個機率，那個機率都是主觀機率，使用定理不會使你的機率變「客觀」了啊。(笑)
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