今天看了倫倫貢獻的決勝21點，賭桌上的手法沒有拍得很清楚～咕狗了一下，這是真實故事改編自MIT的故事。底下有discovery拍的特輯，共有19部分：另外…

因為「丟一顆骰子，出現押注的點數，賠6倍獎金」和「報名費100元，那麼獎金應該是 150」 都是所謂 actuarially fair 的(這個詞怎樣譯)，意思是用機率把payoff 計出來的話，遊戲的期望獎金(expected payoff)，剛好和報名費相同。

但是不是所有遊戲都應該要actuarially fair呢?這是另一個問題，大概這個問題會受人們的risk posture (又，這個怎樣譯好?對風險的看法?)和他們要想到最好的策略有多難影響。當然還有他們會否從中得到娛樂影響。你想想看，你有見到賭場的獎金是設定成「丟一顆骰子，出現押注的點數，賠6倍獎金」這樣「公平」的嗎？

但這個問題實在太大，我之後有機會開一篇新文章寫寫吧。

列舉的方法重點是每一層(是每一層!!!!)都要是完全隨機(就好像擲硬幣，不論擲多少次，每一次都是隨機的)，因為主持人不是隨機選的，所以在這兒便出問題了。

我在26 樓回應的問題，用擲毫的例子也可以說一次，如果有人對我說擲兩枚硬幣得到正正的機會是1/3 ，因為有三個可能性
1. 正正
2. 正反
3. 反反
相信大家都知道這是錯的，因為正反其實包括了「正反，反正」，不可以當成是一個可能性。但我也可以用另一個方法去道出這個方法的錯誤之處，便是問︰「為什麼當第二枚硬幣是正的話，第一枚硬幣便一定要是正？ (但第二枚是反的時候，第一枚則可正可反)」
這個問題和我在26 樓問的「為什麼當在獎金在1 號門時，參賽者會較多選一號門嗎？ 」是完完全全一樣的。

所以解決辦法也是一樣，只要把出問題的地方找出來，分成真正隨機的可能性便可以了，所以便有
1. 正正
2. 正反
3. 反正
4. 反反

熊說的24 個可能性也是一樣，留意主持人在參賽者一開始選中獎金門的話，便會在餘下兩個個問隨機選，所以沒有問題，但當參賽者一開始選中空門時，主持人便不是隨機在選，所以這兒漏數了一個可能性。以下粗體的的部份(和之前的粗體不同的)便是要當成兩個可能性去數的部份(一共有12 個)。

參賽者選1號門，獎金在1號門，主持人開2號門，不換　Ｗ
參賽者選1號門，獎金在1號門，主持人開2號門，換門　Ｌ
參賽者選1號門，獎金在1號門，主持人開3號門，不換　Ｗ
參賽者選1號門，獎金在1號門，主持人開3號門，換門　Ｌ
參賽者選1號門，獎金在2號門，主持人開3號門，不換　Ｌ
參賽者選1號門，獎金在2號門，主持人開3號門，換門　Ｗ
參賽者選1號門，獎金在3號門，主持人開2號門，不換　Ｌ
參賽者選1號門，獎金在3號門，主持人開2號門，換門　Ｗ

參賽者選2號門，獎金在1號門，主持人開3號門，不換　Ｌ
參賽者選2號門，獎金在1號門，主持人開3號門，換門　Ｗ
參賽者選2號門，獎金在2號門，主持人開1號門，不換　Ｗ
參賽者選2號門，獎金在2號門，主持人開1號門，換門　Ｌ
參賽者選2號門，獎金在2號門，主持人開3號門，不換　Ｗ
參賽者選2號門，獎金在2號門，主持人開3號門，換門　Ｌ
參賽者選2號門，獎金在3號門，主持人開1號門，不換　Ｌ
參賽者選2號門，獎金在3號門，主持人開1號門，換門　Ｗ

參賽者選3號門，獎金在1號門，主持人開2號門，不換　Ｌ
參賽者選3號門，獎金在1號門，主持人開2號門，換門　Ｗ
參賽者選3號門，獎金在2號門，主持人開1號門，不換　Ｌ
參賽者選3號門，獎金在2號門，主持人開1號門，換門　Ｗ
參賽者選3號門，獎金在3號門，主持人開1號門，不換　Ｗ
參賽者選3號門，獎金在3號門，主持人開1號門，換門　Ｌ
參賽者選3號門，獎金在3號門，主持人開2號門，不換　Ｗ
參賽者選3號門，獎金在3號門，主持人開2號門，換門　Ｌ

可以看成主持人仍然是在兩個門中「隨機」抽一個，但不論抽到那一扇門他仍會故意選沒有獎金的門，舉例說
「參賽者選1號門，獎金在2號門，主持人開3號門，不換　Ｌ」
便會變成
「參賽者選1號門，獎金在2號門，主持人隨機抽到3號門，結果開3號門，不換　Ｌ」
和
「參賽者選1號門，獎金在2號門，主持人隨機抽到2號門，但結果開3號門，不換　Ｌ」
兩個可能性。
(這是用人工的方法去達致「每一層都要隨機選」的條件)

這樣便一共有36 個可能性，而你會發現，得出的機率便會和用貝氏定理計出來的一樣了。

我這裡想再問一下，
像是「丟一顆骰子，出現押注的點數，賠6倍獎金」，
如果要為這個遊戲定價(報名費、獎金)，並使其報名費等於獎金期望值，
假設報名費100元，
那麼獎金應該是 150嗎？

你的簡單例子是沒有問題的，因為沒有主持人的動作，我們便不用用貝氏定理把這個動作附帶的資訊計算在機率中。

我已經無辦法了，這個問題有很多解法，我最喜歡的數個解法我己經在文中和回應中說了，既然你也去了維基百科找reference，那不如去一去以下這個 (我猜也沒有必要做文抄公吧)
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C
http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
相信你會得到比我說得好的解釋的。

你的「正正，正反，反反」的例子是相當好的，你那「24 個可能性」的例子剛好就是好像 把
正反和反正視為同一個「可能性」去數一樣。

如果P(不換 贏)=1/3、P(換門 贏)=2/3
也就是說 P(不換 贏) + P(換門 贏)=1/3 +2/3=1
無論參賽者怎麼選擇，贏得獎金的機率都是100%！？

討論簡單的例子，
如果兩道門，其中一道門有獎金，參賽者自由選擇，
1號門有獎金，參賽者選1號，不換　Ｗ
1號門有獎金，參賽者選1號，換門　Ｌ
2號門有獎金，參賽者選1號，不換　Ｌ
2號門有獎金，參賽者選1號，換門　Ｗ
1號門有獎金，參賽者選2號，不換　Ｌ
1號門有獎金，參賽者選2號，換門　Ｗ
2號門有獎金，參賽者選2號，不換　Ｗ
2號門有獎金，參賽者選2號，換門　Ｌ

P(不換　Ｗ)=2/8=1/4
P(換門　Ｌ)=2/8=1/4
P(不換　Ｗ)=2/8=1/4
P(換門　Ｌ)=2/8=1/4
總和為1

我想從這個簡單的例子，再去延伸思考應該會比較容易。

回到我原本的文章，
之所以會有1號門多選2次的假象，
正如投擲兩枚硬幣，會有「正正、反反、正反、反正」
其中「正反、反正」是兩件不同的事件，
不能說「正反=反正」，結果只討論「正正、反反、正反」，
變成
P(正正)=1/3
P(反反)=1/3
P(正反)=P(反正)=1/3

但依據你的說法，請看看以下粗體的部份︰

*參賽者選1號門，獎金在1號門，主持人開2號門，不換　Ｗ
*參賽者選1號門，獎金在1號門，主持人開2號門，換門　Ｌ
*參賽者選1號門，獎金在1號門，主持人開3號門，不換　Ｗ
*參賽者選1號門，獎金在1號門，主持人開3號門，換門　Ｌ
參賽者選1號門，獎金在2號門，主持人開3號門，不換　Ｌ
參賽者選1號門，獎金在2號門，主持人開3號門，換門　Ｗ
參賽者選1號門，獎金在3號門，主持人開2號門，不換　Ｌ
參賽者選1號門，獎金在3號門，主持人開2號門，換門　Ｗ

*參賽者選2號門，獎金在1號門，主持人開3號門，不換　Ｌ
*參賽者選2號門，獎金在1號門，主持人開3號門，換門　Ｗ
參賽者選2號門，獎金在2號門，主持人開1號門，不換　Ｗ
參賽者選2號門，獎金在2號門，主持人開1號門，換門　Ｌ
參賽者選2號門，獎金在2號門，主持人開3號門，不換　Ｗ
參賽者選2號門，獎金在2號門，主持人開3號門，換門　Ｌ
參賽者選2號門，獎金在3號門，主持人開1號門，不換　Ｌ
參賽者選2號門，獎金在3號門，主持人開1號門，換門　Ｗ

*參賽者選3號門，獎金在1號門，主持人開2號門，不換　Ｌ
*參賽者選3號門，獎金在1號門，主持人開2號門，換門　Ｗ
參賽者選3號門，獎金在2號門，主持人開1號門，不換　Ｌ
參賽者選3號門，獎金在2號門，主持人開1號門，換門　Ｗ
參賽者選3號門，獎金在3號門，主持人開1號門，不換　Ｗ
參賽者選3號門，獎金在3號門，主持人開1號門，換門　Ｌ
參賽者選3號門，獎金在3號門，主持人開2號門，不換　Ｗ
參賽者選3號門，獎金在3號門，主持人開2號門，換門　Ｌ

在獎金在1 號門的8個「可能性」中(粗體和有星號的部份)，有4 次參賽者選了1 號門，有2 次選2 號，2次選3號。如果這些「可能性」真是有均等機率(其實不是的)，你可以告訴我為什麼當在獎金在1 號門時，參賽者會較多選一號門嗎？ (同樣的事情也出現在2 號和3 號門上，在你的計算中你讓參賽者在某門有獎金時，一開始便會多選了該扇門，間接增加了「不換而贏」的機率，才會出到1/4 ,1/4, 1/4,1/4 的結果)