貝氏定理(上) – Monty Hall 的三扇門

現在你的眼前有三扇門1 2 3 ,其中一扇門背後的是巨額獎金,另外兩扇門的背後則是「很感謝你參加這個遊戲,祝你下次好運」,遊戲主持人示意你選擇其中一扇。在主持人和觀眾的喧鬧聲之中,你戰戰兢兢地選擇了1號 。這個時候遊戲主持人問︰「你真的要選擇1號門嗎?」你說︰「是的。」在這個時候,遊戲主持人沒有立刻揭盅,他把2號門打開了,你很緊張的往裡面看,幸而2號門並沒有你在造夢時也想得到的獎金,正當你鬆一口氣的時候,主持人對你說︰「我現在給你多一次機會,你要堅持選你的1號門,還是轉為選3 號門呢?」

這個便是十分有名的Monty Hall problem,這個名字來自當年美國一個類似遊戲的節目主持Monty Hall。

你會怎麼選? 第一感可能告訴你,選1號門 和選3號門 有分別嗎?中獎機會不是都是二分之一嗎?

答案是︰這樣的遊戲規則(你先選一扇門,主持人選一扇沒有獎金的門,把它打開,你可以重選一次)之下,如果你轉換你的選擇至3號門,你贏得獎金的機會會增加一倍。為什麼呢?(補充︰主持人是知道那一篇門有獎金的,所以他絕對不會開出有獎金的門)

在解決這個機率問題前,先和大家複習一下貝氏定理(Bayes Theorem)吧。

翻開統計學課本,貝氏定理是這樣說的

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

這個數式在說什麼呢?P(A)和 P(B) 分別是A 和B 兩個事件發生的機率,而P(A|B)就是在已知B 事件的情況下,A事件發生的機率。仍是很複雜嗎?還是看看例子吧。

現在有一堆人,當中有7/10 喜歡看書(這是定理中的P(A)),這堆人中有一半是女生 (這是定理中的P(B)),而且我們知道,在喜歡看書的人中有 4/7 是女生(這就是P(B|A))。這樣如果我們在這堆人中隨機選一個人,剛好選中了一個女生,這樣我們便可以利用貝氏定理把她喜歡看書的機率計出來。

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

P(喜歡看書|女)=P(女|喜歡看書)*P(喜歡看書)/P(女)

=(4/7)*(7/10)/(1/2)= 4/5=80%

好了好了,這和三扇門的問題有什麼關係呢? 仔細看看上面的例子,在還未知道那個人是男生或女生之前,如果我們要猜那個人喜歡看書的機率,我們會猜70% (就是本來的P(A))。但我們在知道那人是女生之後,基於喜歡看書的人大部份都是女生這一項資料,我們會把70% 這個機率向上調整(到80%),同理,如果知道那個是男生的話,我們便會把我們的估計向下調整。至於調整多少,則是用貝氏定理的公式計出來。換句話說,利用貝氏定理,我們便可以用「喜歡看書的人大部份都是女生」這一項資料幫助了我們可以更準確地估計某人喜歡看書的機率。 三扇門的問題的重點,在於我們如何可以利用主持人開門這個動作,更準確地估計「門後有獎金」的機率。

使用之前提及的公式,這次的事件A 是「1號門有獎金」,而事件B就是「主持人把2號門打開」。

P(A)=1/3︰P(A)就是1號門有獎金的機率,當然是1/3。

P(B|A)=1/2︰如果1 號門有獎金,主持人就要在2號和3 號之間隨便打開一扇,所以P(B|A)=1/2。 P(B)=1/2︰這是因為這兒有兩個可能性,第一個可能性是1號門有獎金,這樣「主持人把2號門打開」的可能性就是P(B|A),也就是1/2,第二個可能性是3號門有獎金,這樣主持人只可以打開2號門,所以機率是1,所以P(B)=(1/2)(1/3)+(1)(1/3)=1/2 (這個可能有點複雜,在下篇用一個表來解說好了。)

用公式就以可以計出 P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開)=(1/2)(1/3)/(1/2)=1/3

所以堅持選擇1號門,贏得獎金的機率就只有1/3 ,但選擇轉到3 號門,勝出機率就會是2/3。 和女生看書的例子一樣,本來每一扇門有獎金的機率都是1/3,但利用了「主持人把2號門打開」這一項資料,我們便把對3號門有獎金的機率估計上調了。

除了把機率計出來,還有很多不同的解釋方法,以下是我比較喜歡的一個︰

「如果你不會轉換選擇,那麼你便要一開始選中獎金才會贏,勝出機率就是1/3。但如果你轉換選擇,那你你一開始選中無獎金的門才會贏,所以勝出機率就是2/3。」

和用貝氏定理把機率計出來的方法相比,你比較喜歡哪一個解釋呢?

很多時候在解說一些抽象的概念時,都會用些數學工具幫助解說。可是有時候用的工具也有點抽象,有些人便會說「數是這樣計出來,但我就是不相信那個結果」。這個時候,請大家玩一下這個遊戲可能比教大家計算機率更實在。如果讀者們不認同上述的計算方法的話,不妨到以下這一個網址︰

http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm

試玩百多局之後,有沒有發現「轉換到另一扇門會令你得勝」的局數,大概是「堅持原來選擇會令你得勝」的局數的一倍呢?

最後,希望各位讀者明白,很多時候貝氏定理(或是很多其他機率有關的定理)都會得出一些和大家的想法不一樣的結果。真實情況下很多人都會說他們覺得不論是否轉換,得獎機率都是1/2,甚至大家有堅持本來的選擇的傾向。但這些定理只告訴我們「轉換選擇可使你中獎的機率加倍」,而不是「人們都應該轉換選擇」。

人們傾向堅持本來的選擇,有很多種不同的解釋,其中一個解釋是「主動責任」問題。意思是說如果我選擇了放棄本來的選擇,但後來發現了我本來的選檡來是對的,心靈上的傷害會很大。不知大家有沒有試過,在考試中答錯了題目可能沒有什麼特別難受,但如果本來答對了,後來又不知為什麼改了答案,後來發現本來答的才是正確的答案,這個時候會覺得很不好受。所以參加者們即使是選擇了1/3 的中獎機會而不是2/3 ,也不見得他們就很不理性。這些計算是讓我們更清楚勝出的機率,而不是讓我們批評其他人的行為是否理性的。

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  • bruse

    前陣子 補習班才上過
    感謝幫我複習
    不過那例子 不是車子跟羊嗎?

  • bruse

    前陣子 補習班才上過
    感謝幫我複習
    不過那例子 不是車子跟羊嗎?

  • 哇, 解釋的真好!!!

  • 哇, 解釋的真好!!!

  • 好文阿,大推!
    期待「mr.明天」的新文章!

  • 好文阿,大推!
    期待「mr.明天」的新文章!

  • 推最後兩段!!
    說得實在太好了!從枯燥的統計切入,講解卻淺顯易懂,又能夠得出這麼有sense的結論。
    期待下一篇統計文!

  • 推最後兩段!!
    說得實在太好了!從枯燥的統計切入,講解卻淺顯易懂,又能夠得出這麼有sense的結論。
    期待下一篇統計文!

  • Mr. Tomorrow

    謝謝大家。

    修改了一些typo 和數式。分數數式好像很難看,我應該用圖片嗎?但用圖片的的話就不能copy and paste..........大家有什麼意見?

    bruse︰ 對,本來的例子是車子和羊,但因為我怕有人喜歡羊比車子更多,所以故意改了….=p

  • peter

    我認為這裡的差異是”主觀機率”與”客觀機率”導致.
    簡單的說,根據一些被接受的機率運算原則:
    p(A)+p(B)-p(A&B)=p(A or B)
    p(A)+p(~A)=1
    加上機率函數對基本句(atomic formula)的賦值,
    我們就會有”一些”複雜句的值跑出來(並不是全部,因為有些複雜句是undefined),
    總之,這是一個理想的情況,使得我們可以計算一個事件發生的”客觀”機率.
    (例如:選擇第一個門的獲獎機率)

    但是實際上,人們的直覺卻可能有別於計算出來的結果,
    因為在機率裡,agent會有主觀上的預期,
    譬如說,當主持人將選項減少後,
    主觀上,獲獎機率當然提升了,
    (1/2>1/3)
    不過客觀上來看,在選擇的一開始,
    機率已經決定了.
    就好像擲硬幣,當有人連續擲出20次頭
    HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH,
    我們覺得很神奇一樣,
    實際上這樣的發生機率跟擲出
    HHHTTHTHHTTTTHTTHHHH
    是一樣的.

    另一個解釋是monotonicity,
    目前的機率理論是具有monotonicity的特徵,
    亦即:if A entails B, then A and X will entail B.
    然而這樣的特徵常是日常推論缺少的,
    因為日常推論是defeasible,
    換句話說,在新資訊的增加後,有可能推論不出原有的結論.
    亦即:if A entails B, then it is possible that A and X will not entail B.
    (for example, take X to be ~B)

  • peter

    我認為這裡的差異是”主觀機率”與”客觀機率”導致.
    簡單的說,根據一些被接受的機率運算原則:
    p(A)+p(B)-p(A&B)=p(A or B)
    p(A)+p(~A)=1
    加上機率函數對基本句(atomic formula)的賦值,
    我們就會有”一些”複雜句的值跑出來(並不是全部,因為有些複雜句是undefined),
    總之,這是一個理想的情況,使得我們可以計算一個事件發生的”客觀”機率.
    (例如:選擇第一個門的獲獎機率)

    但是實際上,人們的直覺卻可能有別於計算出來的結果,
    因為在機率裡,agent會有主觀上的預期,
    譬如說,當主持人將選項減少後,
    主觀上,獲獎機率當然提升了,
    (1/2>1/3)
    不過客觀上來看,在選擇的一開始,
    機率已經決定了.
    就好像擲硬幣,當有人連續擲出20次頭
    HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH,
    我們覺得很神奇一樣,
    實際上這樣的發生機率跟擲出
    HHHTTHTHHTTTTHTTHHHH
    是一樣的.

    另一個解釋是monotonicity,
    目前的機率理論是具有monotonicity的特徵,
    亦即:if A entails B, then A and X will entail B.
    然而這樣的特徵常是日常推論缺少的,
    因為日常推論是defeasible,
    換句話說,在新資訊的增加後,有可能推論不出原有的結論.
    亦即:if A entails B, then it is possible that A and X will not entail B.
    (for example, take X to be ~B)

  • Jeff

    印象中,影集「數字搜查線」好像也舉過相同的例子,只不過沒有提到「貝氏定理」而已。

    好吧,偶承認偶是電視兒童 :-)。

  • Jeff

    印象中,影集「數字搜查線」好像也舉過相同的例子,只不過沒有提到「貝氏定理」而已。

    好吧,偶承認偶是電視兒童 :-)。

  • array

    弔詭弔詭!!
    那網站是算 主持人打開的門後面沒有獎金
    如果主持人打開有獎金的門呢?

    我不懂統計, 但我用最老土的方式, 把換跟不換的所有可能性列出在這
    http://tinyurl.com/6nwhv3
    為什麼我看到的 是不管換還是不換, 贏的機率都只有 1/3
    如果主持人不知道大奬在哪個門
    所有參賽者有 1/3 的機會拿到大奬, 1/3 的機率大奬被主持人開掉, 1/3 打開是空門
    如果主持人知道大奬在哪個門
    所有參賽者有 1/2 的機會拿到大奬, 1/2 打開是空門

    美國現在流行的是 deal or no deal, 比這三個們複雜多了,
    主持人並不需要知道一百萬在哪, 那個 deal 的出價就只是剩下的機率

    看不懂這個貝式定律在那頭痛的 array

  • array

    弔詭弔詭!!
    那網站是算 主持人打開的門後面沒有獎金
    如果主持人打開有獎金的門呢?

    我不懂統計, 但我用最老土的方式, 把換跟不換的所有可能性列出在這
    http://tinyurl.com/6nwhv3
    為什麼我看到的 是不管換還是不換, 贏的機率都只有 1/3
    如果主持人不知道大奬在哪個門
    所有參賽者有 1/3 的機會拿到大奬, 1/3 的機率大奬被主持人開掉, 1/3 打開是空門
    如果主持人知道大奬在哪個門
    所有參賽者有 1/2 的機會拿到大奬, 1/2 打開是空門

    美國現在流行的是 deal or no deal, 比這三個們複雜多了,
    主持人並不需要知道一百萬在哪, 那個 deal 的出價就只是剩下的機率

    看不懂這個貝式定律在那頭痛的 array

  • 還在傷腦筋的 array

    我還在傷腦筋中, 看了那個 usc 的網站
    所以前提是, 如果你一開始就選道沒獎金的門,
    主持人就要打開另一扇沒獎金的門, 然後問你要不要換
    你不換就輸, 換了一定贏

    選到空門的可能性是 2/3, 所以換門, 就有 2/3 的可能性會贏, 不換就是 0/3
    選到獎金門的可能性是 1/3, 但這裡沒討論, 假設主持人還是會開一扇空門
    但換就 0/3, 不換就有 1/3 的可能性會贏

    難道你上面的數字 是把兩個狀況加起來
    不換
    空門的 0/3 + 獎金門的 1/3 = 1/3

    空門的 2/3 + 獎金門的 0/3 = 2/3

    可是兩者的條件不同, 怎麼可以這樣加阿
    弔詭弔詭 這是玩數字遊戲

  • 還在傷腦筋的 array

    我還在傷腦筋中, 看了那個 usc 的網站
    所以前提是, 如果你一開始就選道沒獎金的門,
    主持人就要打開另一扇沒獎金的門, 然後問你要不要換
    你不換就輸, 換了一定贏

    選到空門的可能性是 2/3, 所以換門, 就有 2/3 的可能性會贏, 不換就是 0/3
    選到獎金門的可能性是 1/3, 但這裡沒討論, 假設主持人還是會開一扇空門
    但換就 0/3, 不換就有 1/3 的可能性會贏

    難道你上面的數字 是把兩個狀況加起來
    不換
    空門的 0/3 + 獎金門的 1/3 = 1/3

    空門的 2/3 + 獎金門的 0/3 = 2/3

    可是兩者的條件不同, 怎麼可以這樣加阿
    弔詭弔詭 這是玩數字遊戲

  • Mr. Tomorrow

    首先,因為peter 的話,我想起了在統計學中主觀機率(subjective probability) 和客觀機率(objective probability)是有一個特別定義,而不是直接解作「主觀上的機率」和「客觀計算的機率」的。所以我也文中最後的「客觀的」刪去了,以免誤會。而peter 的討論我是大致贊成的。文中P(A) 和P(B) 是來自主觀機率,在這個討論下我們給它一個名字叫先驗機率(Prior),在下篇會更詳細討論。

    array︰要澄清的是,主持人是知道獎金在哪的(所以也不存在主持人開到有獎金的門的問題),如果主持人不知道,整個問題就變得完全完全不同了。

    而對於認為這只是數字遊戲的人,我傾向希望他們不要糾纏在貝氏定理的計算中。你可以先去上述的網站 http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm ,玩這個遊戲一百次(不斷click 的話很快,我試過),看看你轉換會贏的局數多,還是不換才贏的局數多。再不然自己在紙上模擬一次,找個朋友試玩。只要局數有四五十次,便大概可以看到2/3 和1/3 機率的不同了。

    這也是我十分鼓勵的學習統計學的方法,不要硬要跟公式定理糾纏,先把遊戲模擬很多次,看看結果,之後才回頭看公式,可能會有意想不到的效果。也許不論你試多少次在統計學家眼中也不是証明了什麼,但對學習定理來說這個方法實在很好。

    array在google doc 中分享的的文件,這個列表應該沒錯,不過因為主持人沒有可能開到獎金(他知道獎金在哪的),只要把所有標示為”out” 的都不作考慮,應該可以看到更清楚的結果。

    我不是在玩數孛遊戲,單純的數字遊戲,絕對經不起大家在真實世界試玩一百次一千次的考驗的。

  • 鑽牛角尖的 array

    我懂了, 我在原來的機率表格外, 加了一個理論 tab
    http://tinyurl.com/3nxn6p
    所以當主持人已經知道獎金在哪, 而且只開空的門時
    選擇換門的機率, 是會比較高, 節目裡主持人不會去開有獎金的門
    但現實生活中可沒那麼好

    想通要去睡覺的 array

  • 鑽牛角尖的 array

    我懂了, 我在原來的機率表格外, 加了一個理論 tab
    http://tinyurl.com/3nxn6p
    所以當主持人已經知道獎金在哪, 而且只開空的門時
    選擇換門的機率, 是會比較高, 節目裡主持人不會去開有獎金的門
    但現實生活中可沒那麼好

    想通要去睡覺的 array

  • 其實如果要討論Monte hall problem
    直覺的想法是
    把三個門延伸成100個門
    而主持人會開啟98個沒有獎的門
    這樣推論
    在心理上就會覺得玩家是應該要換選擇

  • 其實如果要討論Monte hall problem
    直覺的想法是
    把三個門延伸成100個門
    而主持人會開啟98個沒有獎的門
    這樣推論
    在心理上就會覺得玩家是應該要換選擇

  • mesmerli

    http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm
    如果一直選1,勝率是百分之百?

  • mesmerli

    http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm
    如果一直選1,勝率是百分之百?

  • Mr. Tomorrow

    謝謝willy 的分享。在構思這篇文章時我也有考慮這個解釋,我覺得這個解釋方法和文中的「如果你不會轉換選擇,那麼你便要一開始選中獎金才會贏,勝出機率就是1/3。但如果你轉換選擇,那你你一開始選中無獎金的門才會贏,所以勝出機率就是2/3」 是各有優劣的。

    補充一下,把3 扇門延伸成100 扇門的話,不單是心理上更明顯覺得要轉換選擇,如果用上述的公式計算一次,你會發現不轉換的話勝率是1/100 ,轉換的話是99/100 ,比 1/3 和2/3 的距離更明顯。

    如果大家有更好的解釋方法,歡迎分享。

    mesmerli: 怎會呢?有時候汽車是在第二或第三扇門的啊。

  • 我又來了 讓我這個看到 algorithm 就想哭的人, 試著用文字邏輯來詮釋

    你第一個選到的, 有 1/n 的機會有獎品
    剩下的 n-1 個門, 每個也都有 1/n 的機會有獎品

    如果主持人不知道獎金在哪, 像電視 deal or no deal 那個節目
    你選的那個門有 1/n 的可能性, 剩下的每個門也都有 1/n,
    所以主持人從你挑剩的門裡, 開 (n-1)-1 個門, 就有 n-2 的可能性會把獎金開走
    1/n 你選的 : 1/n 另一個 : (n-2)/n 主持人開的
    門越多, 你贏的可能性越低, 主持人開到講金門的可能性更高
    如果主持人開了 n-2 個門, 都沒開到獎金, 那剩下的兩個機率就大增, 變成
    1/2 你選的 : 1/2 另一個, 這時不管你換還是不換, 可能性都是相同的

    但如果主持人知道哪個門有獎品, 當主持人拿掉 (n-1)-1 個沒獎品的門
    從你挑剩的理去挑, 只開沒獎品的開, 然後留一個給你選
    那些機率就通通落在剩下主持人沒開的那一個門, 1/n x (n-1)
    所以主持人沒選的那個, 就有 n-1/n 的機會有獎金
    如果三個門, 你選的那個有 1/3 的可能性, 主持人挑剩的有 2/3 的可能性
    所以挑主持人挑剩的, 可能性比較高

    所以重點在主持人知道還是不知道,
    因為你自己挑的那個, 你又不知道答案, 是隨機挑的, 機率就是 1/n
    但主持人挑的, 不是機率, 而是依照事先知道的答案, 所以機率比你隨機高很多

    所以這裡不是換還是不換的機率, 應該是隨機的機率跟刻意挑選的機率差異

  • 我又來了 讓我這個看到 algorithm 就想哭的人, 試著用文字邏輯來詮釋

    你第一個選到的, 有 1/n 的機會有獎品
    剩下的 n-1 個門, 每個也都有 1/n 的機會有獎品

    如果主持人不知道獎金在哪, 像電視 deal or no deal 那個節目
    你選的那個門有 1/n 的可能性, 剩下的每個門也都有 1/n,
    所以主持人從你挑剩的門裡, 開 (n-1)-1 個門, 就有 n-2 的可能性會把獎金開走
    1/n 你選的 : 1/n 另一個 : (n-2)/n 主持人開的
    門越多, 你贏的可能性越低, 主持人開到講金門的可能性更高
    如果主持人開了 n-2 個門, 都沒開到獎金, 那剩下的兩個機率就大增, 變成
    1/2 你選的 : 1/2 另一個, 這時不管你換還是不換, 可能性都是相同的

    但如果主持人知道哪個門有獎品, 當主持人拿掉 (n-1)-1 個沒獎品的門
    從你挑剩的理去挑, 只開沒獎品的開, 然後留一個給你選
    那些機率就通通落在剩下主持人沒開的那一個門, 1/n x (n-1)
    所以主持人沒選的那個, 就有 n-1/n 的機會有獎金
    如果三個門, 你選的那個有 1/3 的可能性, 主持人挑剩的有 2/3 的可能性
    所以挑主持人挑剩的, 可能性比較高

    所以重點在主持人知道還是不知道,
    因為你自己挑的那個, 你又不知道答案, 是隨機挑的, 機率就是 1/n
    但主持人挑的, 不是機率, 而是依照事先知道的答案, 所以機率比你隨機高很多

    所以這裡不是換還是不換的機率, 應該是隨機的機率跟刻意挑選的機率差異

  • Mr. Tomorrow

    鑽牛角尖的 array: 你說得很對,重點的確是主持人知不知道。

    我在想,環繞deal or no deal 也可以寫一篇說risk posture(這個詞怎樣譯?)的文章吧……….構思中

  • Pingback: » MMDays - Mr. Tomorrow - 貝氏定理(下) - 99%的準確度()

  • Steven

    這個結論太違反經驗了, 而且與我實際模擬後的結果也不符.
    在我做多次的100次試驗下, 1號門是對的約1/3, 2或3號門是對的有2/3 . 這是unconditional下亂數的設定.
    但是依據條件, 2號門已經被打開了, 所以在我的100次試驗裏, 我應該把2號門是對的事件剔除掉, 因此約剔掉了1/3的次數. 所以, 在試驗裏, 我一開始選1號門, 且1號門是對的之機率便是1/2 (conditional). 而不是1/3.

    這樣的試驗同樣的可以延伸成100個門, 因為其中98個門都被打開了, 所以試驗裏面在這98扇門是對的的情況都要剔除掉, 剩下2扇門機率仍然相等. 是1/2. 也就是轉換猜對的機率不會加倍才是.

    假設 事件A 是「1號門有獎金」,而事件B就是「主持人把2號門打開」
    因此P(A)=1/3 沒問題. 但 P(B)應該是2/3, 也就是P(B)是 1- Pr(2號門有獎金)=1 – 1/3 = 2/3. (主持人要打開2號門的機率等於2號門沒有獎金的機率.)
    而且P(B|A)應該等於1才對, 因為1號門有獎金的條件下, 主持人肯定會打開2號門的, 因此這個條件機率是1. 所以 P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = 1/2.

    直覺上, 2號門打開後, 不應該只會增加3號門有獎金的機率, 應該連1號門有獎金的機率也會提高. 我認為上面的推論比較合乎現實. 還請Tomorrow先生指點這個推論的正確性.

  • Steven

    這個結論太違反經驗了, 而且與我實際模擬後的結果也不符.
    在我做多次的100次試驗下, 1號門是對的約1/3, 2或3號門是對的有2/3 . 這是unconditional下亂數的設定.
    但是依據條件, 2號門已經被打開了, 所以在我的100次試驗裏, 我應該把2號門是對的事件剔除掉, 因此約剔掉了1/3的次數. 所以, 在試驗裏, 我一開始選1號門, 且1號門是對的之機率便是1/2 (conditional). 而不是1/3.

    這樣的試驗同樣的可以延伸成100個門, 因為其中98個門都被打開了, 所以試驗裏面在這98扇門是對的的情況都要剔除掉, 剩下2扇門機率仍然相等. 是1/2. 也就是轉換猜對的機率不會加倍才是.

    假設 事件A 是「1號門有獎金」,而事件B就是「主持人把2號門打開」
    因此P(A)=1/3 沒問題. 但 P(B)應該是2/3, 也就是P(B)是 1- Pr(2號門有獎金)=1 – 1/3 = 2/3. (主持人要打開2號門的機率等於2號門沒有獎金的機率.)
    而且P(B|A)應該等於1才對, 因為1號門有獎金的條件下, 主持人肯定會打開2號門的, 因此這個條件機率是1. 所以 P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = 1/2.

    直覺上, 2號門打開後, 不應該只會增加3號門有獎金的機率, 應該連1號門有獎金的機率也會提高. 我認為上面的推論比較合乎現實. 還請Tomorrow先生指點這個推論的正確性.

  • Mr. Tomorrow

    steven:
    問題出在你不應把2號門是對的事件剔除掉。

    你的計法是在計算「先選 1 號門 之後 轉換到3 號門」的勝率,而不是「先選 1 號門 之後 轉換到主持人沒有開的門」的勝率。

    因為是主持人先打開一扇門,我們才決定要轉到哪個門,所以所謂「轉換選擇」,是包含了「如果主持人開2 號門,我就轉到3 號」和「如果主持人開3 號門,我就轉到2 號」的。所以你不應在2 號門是對的時候把事件剔除掉,因為當2 號門是有獎金的話,主持人便會去開3 號門。

    我假設你做了90 次實驗,比如說有30 次是1 號門有獎金,30 次是2 號門,30 次是3 號門。如果我選了1 號︰
    在「1 號門有獎金」的情況下,我一旦「轉換」的話就輸了。有30 次我就是轉換便輸了。
    在「2 號門有獎金」的情況下,主持人一定要開3 號門,我「轉換」的話,意思就是我會轉到2 號,所以就贏了。有30 次我是轉換贏了。
    在「3 號門有獎金」的情況下,主持人一定要開2 號門,我「轉換」的話,意思就是我會轉到3 號,所以就贏了。又有30 次我是轉換而贏了。

    這樣想的話,會不會容易明白一點?因為所謂「轉換」是包括了兩個情況的,所以在任何一個情況下都不用剔除。這也顯示了在90 次的試驗中,你會有約60 次是以「轉換」勝出的。
    =====================================
    而最後一句,我不可以說你說得不對,請細讀以下兩句句子的分別。(留意「隨機」、「剛巧」和「故意」)
    1. 如果主持人一開始隨機抽一扇門打開,剛巧那門沒有獎金,這樣餘下兩門有獎金的機會都會提升。
    2. 如果主持人在玩家選了一扇門後,故意選餘下沒有獎金的那扇門去打開,情況就很不同。

  • Steven

    這個結果仍是讓我傷透腦筋而不解.
    假想一個狀況是, 我一開始猜1號門, 而主持人打開了2號門. 那麼依據定理, 我這時改以選擇3號門猜中的機率將成為2/3.

    假設就在這個時候, 從天上掉下來一個人, 這個人沒有看到之前節目的進行, 也不知道我由1號門改選為3號門. 因此他目前看到的只是2號門被打開來, 並且他也知道剩下2個門後, 只有一個有大獎. 在這個時候, 這個人不約而同的跟我一樣選擇了3號門, 但是, 吊詭的這個人雖然跟我選相同的門, 但是他猜中的機率只有1/2, 而我猜中的機率卻有2/3.

    為何面對相同的客觀環境, 卻會出現不同的機率? 在這個機率世界裏, 也出現了相對論?
    能否請Tomorrow先生開釋之. 謝謝.

  • Steven

    這個結果仍是讓我傷透腦筋而不解.
    假想一個狀況是, 我一開始猜1號門, 而主持人打開了2號門. 那麼依據定理, 我這時改以選擇3號門猜中的機率將成為2/3.

    假設就在這個時候, 從天上掉下來一個人, 這個人沒有看到之前節目的進行, 也不知道我由1號門改選為3號門. 因此他目前看到的只是2號門被打開來, 並且他也知道剩下2個門後, 只有一個有大獎. 在這個時候, 這個人不約而同的跟我一樣選擇了3號門, 但是, 吊詭的這個人雖然跟我選相同的門, 但是他猜中的機率只有1/2, 而我猜中的機率卻有2/3.

    為何面對相同的客觀環境, 卻會出現不同的機率? 在這個機率世界裏, 也出現了相對論?
    能否請Tomorrow先生開釋之. 謝謝.

  • Mr. Tomorrow

    這是一個好問題!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    留意上述的全都是主觀機率,如果你用客觀機率來說也行,但這就要不斷重複試驗了。

    所謂客觀機率,我們是要重複試驗某個事件的。所以那個天上掉下來的人,如果他什麼都不知道,他大概不可能每一次都「不約而同」的跟你一樣選擇了3號門(或2 號門如果剛好主持人開的是3 號) 吧。所以當你試驗1000 次時,大概有500 次他會有2/3 機會中獎,有500 次他會有1/3 機會中獎,所以在1000 次的試驗中,他會大概有500 次中獎,結果他的中獎客觀機率仍是1/2。

    但你是一個參賽者的話,你知道你自己選了一個門,你知道主持人開什麼門,如果你每次都選擇轉換,重複這個遊戲1000 次,你會發現你大概勝出了667 局,所以你的中獎客觀機率是2/3。

    要留意,如果那個天掉下來的人,不是亂選,而是每次都跟著你選的話,不論他有沒有經過節目的進行,他的中獎機率仍是2/3。

    相同的客觀環境的下,相同的事件,的確會有相同的客觀機率,但那個參加者和天掉下來的人的選擇不是一樣的,當你試把測試重複做1000 次便會看到。

    ===================================================

    一個和這個回應有關的問題,現在在骰盅中搖一顆六面骰,你來猜搖到什麼,你把你猜的寫到紙上「我猜 1」,那你猜中的機率便是1/6。 而我則偷偷趁你不知道時打開骰盅看,看到是1 ,所以找也寫在紙上「我猜 1」,但我猜中的機率是1。

    那你來說,為什麼同一個骰盅,同一個客觀環境,我和你「猜中」的機率會不同?

    這也是因為,你猜1 和我「猜」1 是不同的。客觀機率是要試驗很多次才有意思的。

  • 哈哈 不是只有我一個人轉不過來喔
    ———————————————
    假設就在這個時候, 從天上掉下來一個人, 這個人沒有看到之前節目的進行, 也不知道我由1號門改選為3號門. 因此他目前看到的只是2號門被打開來, 並且他也知道剩下2個門後, 只有一個有大獎. 在這個時候, 這個人不約而同的跟我一樣選擇了3號門, 但是, 吊詭的這個人雖然跟我選相同的門, 但是他猜中的機率只有1/2, 而我猜中的機率卻有2/3.
    ——————————————————

    天上掉下來的人不知道前面的選擇, 以為大奬不是在一號就是在三號, 機率是一半一半

    但一號是你隨機選的, 所以有 1/3 的可能, 而三號是主持人特地挑選留下來的,
    已經去掉二號的不可能, 所以二號原來有大奬的 1/3 可能, 就全加到 三號門 上
    三號門原本就有 1/3 的可能有大獎, 二號沒中那三號的可能性就增加成 2/3
    只是天上人不知道

    就像買股票, 美國媒體常玩的模擬遊戲, 讓資深分析師刻意挑選 跟小孩隨機亂選來比
    通常分析師還是會賺得多一點 (也是有爆過冷門啦) 因為他們比別人知道多一點
    同樣選門 你就會比天上人多一點點機會, 因為你知道 三號的機率比較高
    而對天上人, 一號跟三號是一樣的, 他不知道哪一個的機會比較好

    回到最把人搞混的, 就是主持人知道還是不知道
    這裡的前提是, 主持人知道答案, 所以才會有不同的機率
    如果主持人不知道, 隨便打開二號門, 發現沒有大獎,
    那大獎不是在一號就是在三號, 這時不管是你還是天上人
    選一號跟三號贏奬的機率, 都是 1/2 : 1/2

  • 哈哈 不是只有我一個人轉不過來喔
    ———————————————
    假設就在這個時候, 從天上掉下來一個人, 這個人沒有看到之前節目的進行, 也不知道我由1號門改選為3號門. 因此他目前看到的只是2號門被打開來, 並且他也知道剩下2個門後, 只有一個有大獎. 在這個時候, 這個人不約而同的跟我一樣選擇了3號門, 但是, 吊詭的這個人雖然跟我選相同的門, 但是他猜中的機率只有1/2, 而我猜中的機率卻有2/3.
    ——————————————————

    天上掉下來的人不知道前面的選擇, 以為大奬不是在一號就是在三號, 機率是一半一半

    但一號是你隨機選的, 所以有 1/3 的可能, 而三號是主持人特地挑選留下來的,
    已經去掉二號的不可能, 所以二號原來有大奬的 1/3 可能, 就全加到 三號門 上
    三號門原本就有 1/3 的可能有大獎, 二號沒中那三號的可能性就增加成 2/3
    只是天上人不知道

    就像買股票, 美國媒體常玩的模擬遊戲, 讓資深分析師刻意挑選 跟小孩隨機亂選來比
    通常分析師還是會賺得多一點 (也是有爆過冷門啦) 因為他們比別人知道多一點
    同樣選門 你就會比天上人多一點點機會, 因為你知道 三號的機率比較高
    而對天上人, 一號跟三號是一樣的, 他不知道哪一個的機會比較好

    回到最把人搞混的, 就是主持人知道還是不知道
    這裡的前提是, 主持人知道答案, 所以才會有不同的機率
    如果主持人不知道, 隨便打開二號門, 發現沒有大獎,
    那大獎不是在一號就是在三號, 這時不管是你還是天上人
    選一號跟三號贏奬的機率, 都是 1/2 : 1/2

  • 對於這篇文章,有一點不同的看法,提出來和大家一起討論,

    首先,同樣假設三道門,主持人知道獎金位置,參賽者選擇1號門,會有以下可能性:

     1號門有獎金,主持人開2號門,不換 win
     1號門有獎金,主持人開2號門,換門 lose
     1號門有獎金,主持人開3號門,不換 win
     1號門有獎金,主持人開3號門,換門 lose
     2號門有獎金,主持人開3號門,不換 lose
     2號門有獎金,主持人開3號門,換門 win
     3號門有獎金,主持人開2號門,不換 lose
     3號門有獎金,主持人開2號門,換門 win

    以上總共8種可能結果
    P(不換 win)=2/8=1/4
    P(換門 win)=2/8=1/4
    P(不換 lose)=2/8=1/4
    P(換門 lose)=2/8=1/4

    再假設100道門的情況,(簡化列表)
    1號門有獎金,主持人開98道非獎金門,不換 win *98
    1號門有獎金,主持人開98道非獎金門,換門 lose *98
    X號門有獎金,主持人開97道非獎金門,不換 lose *98
    X號門有獎金,主持人開97道非獎金門,換門 win *98
    (X=2~100)
    以上總共392種可能
    P(不換 win)=98/392=1/4
    P(換門 win)=98/392=1/4
    P(不換 lose)=98/392=1/4
    P(換門 lose)=98/392=1/4

  • 對於這篇文章,有一點不同的看法,提出來和大家一起討論,

    首先,同樣假設三道門,主持人知道獎金位置,參賽者選擇1號門,會有以下可能性:

     1號門有獎金,主持人開2號門,不換 win
     1號門有獎金,主持人開2號門,換門 lose
     1號門有獎金,主持人開3號門,不換 win
     1號門有獎金,主持人開3號門,換門 lose
     2號門有獎金,主持人開3號門,不換 lose
     2號門有獎金,主持人開3號門,換門 win
     3號門有獎金,主持人開2號門,不換 lose
     3號門有獎金,主持人開2號門,換門 win

    以上總共8種可能結果
    P(不換 win)=2/8=1/4
    P(換門 win)=2/8=1/4
    P(不換 lose)=2/8=1/4
    P(換門 lose)=2/8=1/4

    再假設100道門的情況,(簡化列表)
    1號門有獎金,主持人開98道非獎金門,不換 win *98
    1號門有獎金,主持人開98道非獎金門,換門 lose *98
    X號門有獎金,主持人開97道非獎金門,不換 lose *98
    X號門有獎金,主持人開97道非獎金門,換門 win *98
    (X=2~100)
    以上總共392種可能
    P(不換 win)=98/392=1/4
    P(換門 win)=98/392=1/4
    P(不換 lose)=98/392=1/4
    P(換門 lose)=98/392=1/4

  • Mr. Tomorrow

    熊︰
    我們通常不會數有多少個可能性,之後就把機率均等分配吧。
    1. 1號門有獎金,主持人開2號門,不換 win
    2. 1號門有獎金,主持人開2號門,換門 lose
    3. 1號門有獎金,主持人開3號門,不換 win
    4. 1號門有獎金,主持人開3號門,換門 lose
    5. 2號門有獎金,主持人開3號門,不換 lose
    6. 2號門有獎金,主持人開3號門,換門 win
    7. 3號門有獎金,主持人開2號門,不換 lose
    8. 3號門有獎金,主持人開2號門,換門 win
    如果我們相信獎金是隨機設置,這八個可能性中,第1, 2, 3, 4 個可能性出現的總機率是1/3,第5,6 個出現的總機率也是1/3 ,第7,8 個出現的總機率也是1/3 ,這8 個可能性又怎會有相同的機率?

    正如我們不會說「買彩票有兩個可能性,「中獎」或「不中獎」,所以「中獎」的機率便是1/2 吧。」

    ================================================
    array: 你只是誤會了前提,而不是轉不過來吧。

  • 那是因為在假設的時候,為了簡單計算,固定討論參賽者選1號門的情況,
    所以會有「獎金出現1號們的次數較多」的假象。

    由於參賽者同樣是隨機選擇,因此真實結果如下:

    假設獎金隨機落於1~3號門,主持人知道獎金位置,參賽者隨機選擇,
    因此遊戲會出現以下可能

    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開2號門,不換 W
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開2號門,換門 L
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開3號門,不換 W
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開3號門,換門 L
    參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 L
    參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,換門 W
    參賽者選1號門,獎金在3號門,主持人開2號門,不換 L
    參賽者選1號門,獎金在3號門,主持人開2號門,換門 W

    參賽者選2號門,獎金在1號門,主持人開3號門,不換 L
    參賽者選2號門,獎金在1號門,主持人開3號門,換門 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開1號門,不換 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開1號門,換門 L
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開3號門,換門 L
    參賽者選2號門,獎金在3號門,主持人開1號門,不換 L
    參賽者選2號門,獎金在3號門,主持人開1號門,換門 W

    參賽者選3號門,獎金在1號門,主持人開2號門,不換 L
    參賽者選3號門,獎金在1號門,主持人開2號門,換門 W
    參賽者選3號門,獎金在2號門,主持人開1號門,不換 L
    參賽者選3號門,獎金在2號門,主持人開1號門,換門 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開1號門,不換 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開1號門,換門 L
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開2號門,不換 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開2號門,換門 L

    也就是說,這個遊戲會有以上24種可能性發生,
    同時1~3號門,參賽者各選擇8次,獎金各出現8次,並不違背原始假設,
    P(不換 win)=6/24=1/4
    P(換門 win)=6/24=1/4
    P(不換 lose)=6/24=1/4
    P(換門 lose)=6/24=1/4

  • 那是因為在假設的時候,為了簡單計算,固定討論參賽者選1號門的情況,
    所以會有「獎金出現1號們的次數較多」的假象。

    由於參賽者同樣是隨機選擇,因此真實結果如下:

    假設獎金隨機落於1~3號門,主持人知道獎金位置,參賽者隨機選擇,
    因此遊戲會出現以下可能

    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開2號門,不換 W
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開2號門,換門 L
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開3號門,不換 W
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開3號門,換門 L
    參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 L
    參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,換門 W
    參賽者選1號門,獎金在3號門,主持人開2號門,不換 L
    參賽者選1號門,獎金在3號門,主持人開2號門,換門 W

    參賽者選2號門,獎金在1號門,主持人開3號門,不換 L
    參賽者選2號門,獎金在1號門,主持人開3號門,換門 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開1號門,不換 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開1號門,換門 L
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開3號門,換門 L
    參賽者選2號門,獎金在3號門,主持人開1號門,不換 L
    參賽者選2號門,獎金在3號門,主持人開1號門,換門 W

    參賽者選3號門,獎金在1號門,主持人開2號門,不換 L
    參賽者選3號門,獎金在1號門,主持人開2號門,換門 W
    參賽者選3號門,獎金在2號門,主持人開1號門,不換 L
    參賽者選3號門,獎金在2號門,主持人開1號門,換門 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開1號門,不換 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開1號門,換門 L
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開2號門,不換 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開2號門,換門 L

    也就是說,這個遊戲會有以上24種可能性發生,
    同時1~3號門,參賽者各選擇8次,獎金各出現8次,並不違背原始假設,
    P(不換 win)=6/24=1/4
    P(換門 win)=6/24=1/4
    P(不換 lose)=6/24=1/4
    P(換門 lose)=6/24=1/4

  • Mr. Tomorrow

    我仍然要鄭重的說,用數有多少個可能性的方法來計算機率是十分危險的,很容易導致錯誤。特別是我們不是可以直接把可能性的數字直接擺在機率的分母,這個是十分普遍的錯誤。

    熊︰
    「參賽者各選擇8次,獎金各出現8次,並不違背原始假設」這是出錯的部份,因為原始假設除了參賽者各選擇8次 和 獎金各出現8次 之外,還有「參賽者不知道哪扇門後有獎金」,意思是不論獎金在哪一扇門,參賽者都不會因此而多選某一扇門。

    但依據你的說法,請看看以下粗體的部份︰

    *參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開2號門,不換 W
    *參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開2號門,換門 L
    *參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開3號門,不換 W
    *參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開3號門,換門 L

    參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 L
    參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,換門 W
    參賽者選1號門,獎金在3號門,主持人開2號門,不換 L
    參賽者選1號門,獎金在3號門,主持人開2號門,換門 W

    *參賽者選2號門,獎金在1號門,主持人開3號門,不換 L
    *參賽者選2號門,獎金在1號門,主持人開3號門,換門 W

    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開1號門,不換 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開1號門,換門 L
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開3號門,換門 L
    參賽者選2號門,獎金在3號門,主持人開1號門,不換 L
    參賽者選2號門,獎金在3號門,主持人開1號門,換門 W

    *參賽者選3號門,獎金在1號門,主持人開2號門,不換 L
    *參賽者選3號門,獎金在1號門,主持人開2號門,換門 W

    參賽者選3號門,獎金在2號門,主持人開1號門,不換 L
    參賽者選3號門,獎金在2號門,主持人開1號門,換門 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開1號門,不換 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開1號門,換門 L
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開2號門,不換 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開2號門,換門 L

    在獎金在1 號門的8個「可能性」中(粗體和有星號的部份),有4 次參賽者選了1 號門,有2 次選2 號,2次選3號。如果這些「可能性」真是有均等機率(其實不是的),你可以告訴我為什麼當在獎金在1 號門時,參賽者會較多選一號門嗎? (同樣的事情也出現在2 號和3 號門上,在你的計算中你讓參賽者在某門有獎金時,一開始便會多選了該扇門,間接增加了「不換而贏」的機率,才會出到1/4 ,1/4, 1/4,1/4 的結果)

  • 機率,又稱或然率、機會率或概率,是數學機率論的基本概念,
    是一個在0到1之間的實數,是對隨機事件發生的可能性的度量。
     <<維基百科>>

    如果P(不換 贏)=1/3、P(換門 贏)=2/3
    也就是說 P(不換 贏) + P(換門 贏)=1/3 +2/3=1
    無論參賽者怎麼選擇,贏得獎金的機率都是100%!?

    討論簡單的例子,
    如果兩道門,其中一道門有獎金,參賽者自由選擇,
    1號門有獎金,參賽者選1號,不換 W
    1號門有獎金,參賽者選1號,換門 L
    2號門有獎金,參賽者選1號,不換 L
    2號門有獎金,參賽者選1號,換門 W
    1號門有獎金,參賽者選2號,不換 L
    1號門有獎金,參賽者選2號,換門 W
    2號門有獎金,參賽者選2號,不換 W
    2號門有獎金,參賽者選2號,換門 L

    P(不換 W)=2/8=1/4
    P(換門 L)=2/8=1/4
    P(不換 W)=2/8=1/4
    P(換門 L)=2/8=1/4
    總和為1

    我想從這個簡單的例子,再去延伸思考應該會比較容易。

    回到我原本的文章,
    之所以會有1號門多選2次的假象,
    正如投擲兩枚硬幣,會有「正正、反反、正反、反正」
    其中「正反、反正」是兩件不同的事件,
    不能說「正反=反正」,結果只討論「正正、反反、正反」,
    變成
    P(正正)=1/3
    P(反反)=1/3
    P(正反)=P(反正)=1/3

  • 機率,又稱或然率、機會率或概率,是數學機率論的基本概念,
    是一個在0到1之間的實數,是對隨機事件發生的可能性的度量。
     <<維基百科>>

    如果P(不換 贏)=1/3、P(換門 贏)=2/3
    也就是說 P(不換 贏) + P(換門 贏)=1/3 +2/3=1
    無論參賽者怎麼選擇,贏得獎金的機率都是100%!?

    討論簡單的例子,
    如果兩道門,其中一道門有獎金,參賽者自由選擇,
    1號門有獎金,參賽者選1號,不換 W
    1號門有獎金,參賽者選1號,換門 L
    2號門有獎金,參賽者選1號,不換 L
    2號門有獎金,參賽者選1號,換門 W
    1號門有獎金,參賽者選2號,不換 L
    1號門有獎金,參賽者選2號,換門 W
    2號門有獎金,參賽者選2號,不換 W
    2號門有獎金,參賽者選2號,換門 L

    P(不換 W)=2/8=1/4
    P(換門 L)=2/8=1/4
    P(不換 W)=2/8=1/4
    P(換門 L)=2/8=1/4
    總和為1

    我想從這個簡單的例子,再去延伸思考應該會比較容易。

    回到我原本的文章,
    之所以會有1號門多選2次的假象,
    正如投擲兩枚硬幣,會有「正正、反反、正反、反正」
    其中「正反、反正」是兩件不同的事件,
    不能說「正反=反正」,結果只討論「正正、反反、正反」,
    變成
    P(正正)=1/3
    P(反反)=1/3
    P(正反)=P(反正)=1/3

  • Mr. Tomorrow

    熊:
    我還是澄清一下好了,文中的1/3, 2/3 是指 P(贏|不換)=1/3 和P(贏|換門)=2/3 (而不是你說的P(不換 贏)和P(換門 贏)) ,把它們加起來不會無端變成了 P(贏)的。

    你的簡單例子是沒有問題的,因為沒有主持人的動作,我們便不用用貝氏定理把這個動作附帶的資訊計算在機率中。

    我已經無辦法了,這個問題有很多解法,我最喜歡的數個解法我己經在文中和回應中說了,既然你也去了維基百科找reference,那不如去一去以下這個 (我猜也沒有必要做文抄公吧)
    http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C
    http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
    相信你會得到比我說得好的解釋的。

    你的「正正,正反,反反」的例子是相當好的,你那「24 個可能性」的例子剛好就是好像 把
    正反和反正視為同一個「可能性」去數一樣。

  • 嗯嗯,總算知道我思考的盲點在哪裡了,
    謝謝明天的解說 ^^

    我這裡想再問一下,
    像是「丟一顆骰子,出現押注的點數,賠6倍獎金」,
    如果要為這個遊戲定價(報名費、獎金),並使其報名費等於獎金期望值,
    假設報名費100元,
    那麼獎金應該是 150嗎?

  • 嗯嗯,總算知道我思考的盲點在哪裡了,
    謝謝明天的解說 ^^

    我這裡想再問一下,
    像是「丟一顆骰子,出現押注的點數,賠6倍獎金」,
    如果要為這個遊戲定價(報名費、獎金),並使其報名費等於獎金期望值,
    假設報名費100元,
    那麼獎金應該是 150嗎?

  • Mr. Tomorrow

    說來我也有點慚愧,我在貝氏定理下篇說過,如果真正明白一個定理,就應該可以用不同的方法去理解也沒有問題,所以我是不應該不斷叫人不要用列舉可能性的方法的。以下我嘗試從列舉的方法去解說。

    列舉的方法重點是每一層(是每一層!!!!)都要是完全隨機(就好像擲硬幣,不論擲多少次,每一次都是隨機的),因為主持人不是隨機選的,所以在這兒便出問題了。

    我在26 樓回應的問題,用擲毫的例子也可以說一次,如果有人對我說擲兩枚硬幣得到正正的機會是1/3 ,因為有三個可能性
    1. 正正
    2. 正反
    3. 反反
    相信大家都知道這是錯的,因為正反其實包括了「正反,反正」,不可以當成是一個可能性。但我也可以用另一個方法去道出這個方法的錯誤之處,便是問︰「為什麼當第二枚硬幣是正的話,第一枚硬幣便一定要是正? (但第二枚是反的時候,第一枚則可正可反)」
    這個問題和我在26 樓問的「為什麼當在獎金在1 號門時,參賽者會較多選一號門嗎? 」是完完全全一樣的。

    所以解決辦法也是一樣,只要把出問題的地方找出來,分成真正隨機的可能性便可以了,所以便有
    1. 正正
    2. 正反
    3. 反正
    4. 反反

    熊說的24 個可能性也是一樣,留意主持人在參賽者一開始選中獎金門的話,便會在餘下兩個個問隨機選,所以沒有問題,但當參賽者一開始選中空門時,主持人便不是隨機在選,所以這兒漏數了一個可能性。以下粗體的的部份(和之前的粗體不同的)便是要當成兩個可能性去數的部份(一共有12 個)。

    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開2號門,不換 W
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開2號門,換門 L
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開3號門,不換 W
    參賽者選1號門,獎金在1號門,主持人開3號門,換門 L
    參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 L
    參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,換門 W
    參賽者選1號門,獎金在3號門,主持人開2號門,不換 L
    參賽者選1號門,獎金在3號門,主持人開2號門,換門 W

    參賽者選2號門,獎金在1號門,主持人開3號門,不換 L
    參賽者選2號門,獎金在1號門,主持人開3號門,換門 W

    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開1號門,不換 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開1號門,換門 L
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 W
    參賽者選2號門,獎金在2號門,主持人開3號門,換門 L
    參賽者選2號門,獎金在3號門,主持人開1號門,不換 L
    參賽者選2號門,獎金在3號門,主持人開1號門,換門 W

    參賽者選3號門,獎金在1號門,主持人開2號門,不換 L
    參賽者選3號門,獎金在1號門,主持人開2號門,換門 W
    參賽者選3號門,獎金在2號門,主持人開1號門,不換 L
    參賽者選3號門,獎金在2號門,主持人開1號門,換門 W

    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開1號門,不換 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開1號門,換門 L
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開2號門,不換 W
    參賽者選3號門,獎金在3號門,主持人開2號門,換門 L

    可以看成主持人仍然是在兩個門中「隨機」抽一個,但不論抽到那一扇門他仍會故意選沒有獎金的門,舉例說
    「參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人開3號門,不換 L」
    便會變成
    「參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人隨機抽到3號門,結果開3號門,不換 L」

    「參賽者選1號門,獎金在2號門,主持人隨機抽到2號門,但結果開3號門,不換 L」
    兩個可能性。
    (這是用人工的方法去達致「每一層都要隨機選」的條件)

    這樣便一共有36 個可能性,而你會發現,得出的機率便會和用貝氏定理計出來的一樣了。

  • Mr. Tomorrow

    而報名費定價的問題,我的答案是「不是」

    因為「丟一顆骰子,出現押注的點數,賠6倍獎金」和「報名費100元,那麼獎金應該是 150」 都是所謂 actuarially fair 的(這個詞怎樣譯),意思是用機率把payoff 計出來的話,遊戲的期望獎金(expected payoff),剛好和報名費相同。

    但是不是所有遊戲都應該要actuarially fair呢?這是另一個問題,大概這個問題會受人們的risk posture (又,這個怎樣譯好?對風險的看法?)和他們要想到最好的策略有多難影響。當然還有他們會否從中得到娛樂影響。你想想看,你有見到賭場的獎金是設定成「丟一顆骰子,出現押注的點數,賠6倍獎金」這樣「公平」的嗎?

    但這個問題實在太大,我之後有機會開一篇新文章寫寫吧。