貝氏定理(上) – Monty Hall 的三扇門

現在你的眼前有三扇門1 2 3 ,其中一扇門背後的是巨額獎金,另外兩扇門的背後則是「很感謝你參加這個遊戲,祝你下次好運」,遊戲主持人示意你選擇其中一扇。在主持人和觀眾的喧鬧聲之中,你戰戰兢兢地選擇了1號 。這個時候遊戲主持人問︰「你真的要選擇1號門嗎?」你說︰「是的。」在這個時候,遊戲主持人沒有立刻揭盅,他把2號門打開了,你很緊張的往裡面看,幸而2號門並沒有你在造夢時也想得到的獎金,正當你鬆一口氣的時候,主持人對你說︰「我現在給你多一次機會,你要堅持選你的1號門,還是轉為選3 號門呢?」

這個便是十分有名的Monty Hall problem,這個名字來自當年美國一個類似遊戲的節目主持Monty Hall。

你會怎麼選? 第一感可能告訴你,選1號門 和選3號門 有分別嗎?中獎機會不是都是二分之一嗎?

答案是︰這樣的遊戲規則(你先選一扇門,主持人選一扇沒有獎金的門,把它打開,你可以重選一次)之下,如果你轉換你的選擇至3號門,你贏得獎金的機會會增加一倍。為什麼呢?(補充︰主持人是知道那一篇門有獎金的,所以他絕對不會開出有獎金的門)

在解決這個機率問題前,先和大家複習一下貝氏定理(Bayes Theorem)吧。

翻開統計學課本,貝氏定理是這樣說的

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

這個數式在說什麼呢?P(A)和 P(B) 分別是A 和B 兩個事件發生的機率,而P(A|B)就是在已知B 事件的情況下,A事件發生的機率。仍是很複雜嗎?還是看看例子吧。

現在有一堆人,當中有7/10 喜歡看書(這是定理中的P(A)),這堆人中有一半是女生 (這是定理中的P(B)),而且我們知道,在喜歡看書的人中有 4/7 是女生(這就是P(B|A))。這樣如果我們在這堆人中隨機選一個人,剛好選中了一個女生,這樣我們便可以利用貝氏定理把她喜歡看書的機率計出來。

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

P(喜歡看書|女)=P(女|喜歡看書)*P(喜歡看書)/P(女)

=(4/7)*(7/10)/(1/2)= 4/5=80%

好了好了,這和三扇門的問題有什麼關係呢? 仔細看看上面的例子,在還未知道那個人是男生或女生之前,如果我們要猜那個人喜歡看書的機率,我們會猜70% (就是本來的P(A))。但我們在知道那人是女生之後,基於喜歡看書的人大部份都是女生這一項資料,我們會把70% 這個機率向上調整(到80%),同理,如果知道那個是男生的話,我們便會把我們的估計向下調整。至於調整多少,則是用貝氏定理的公式計出來。換句話說,利用貝氏定理,我們便可以用「喜歡看書的人大部份都是女生」這一項資料幫助了我們可以更準確地估計某人喜歡看書的機率。 三扇門的問題的重點,在於我們如何可以利用主持人開門這個動作,更準確地估計「門後有獎金」的機率。

使用之前提及的公式,這次的事件A 是「1號門有獎金」,而事件B就是「主持人把2號門打開」。

P(A)=1/3︰P(A)就是1號門有獎金的機率,當然是1/3。

P(B|A)=1/2︰如果1 號門有獎金,主持人就要在2號和3 號之間隨便打開一扇,所以P(B|A)=1/2。 P(B)=1/2︰這是因為這兒有兩個可能性,第一個可能性是1號門有獎金,這樣「主持人把2號門打開」的可能性就是P(B|A),也就是1/2,第二個可能性是3號門有獎金,這樣主持人只可以打開2號門,所以機率是1,所以P(B)=(1/2)(1/3)+(1)(1/3)=1/2 (這個可能有點複雜,在下篇用一個表來解說好了。)

用公式就以可以計出 P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開)=(1/2)(1/3)/(1/2)=1/3

所以堅持選擇1號門,贏得獎金的機率就只有1/3 ,但選擇轉到3 號門,勝出機率就會是2/3。 和女生看書的例子一樣,本來每一扇門有獎金的機率都是1/3,但利用了「主持人把2號門打開」這一項資料,我們便把對3號門有獎金的機率估計上調了。

除了把機率計出來,還有很多不同的解釋方法,以下是我比較喜歡的一個︰

「如果你不會轉換選擇,那麼你便要一開始選中獎金才會贏,勝出機率就是1/3。但如果你轉換選擇,那你你一開始選中無獎金的門才會贏,所以勝出機率就是2/3。」

和用貝氏定理把機率計出來的方法相比,你比較喜歡哪一個解釋呢?

很多時候在解說一些抽象的概念時,都會用些數學工具幫助解說。可是有時候用的工具也有點抽象,有些人便會說「數是這樣計出來,但我就是不相信那個結果」。這個時候,請大家玩一下這個遊戲可能比教大家計算機率更實在。如果讀者們不認同上述的計算方法的話,不妨到以下這一個網址︰

http://www.decisionhelper.com/montyhall.htm

試玩百多局之後,有沒有發現「轉換到另一扇門會令你得勝」的局數,大概是「堅持原來選擇會令你得勝」的局數的一倍呢?

最後,希望各位讀者明白,很多時候貝氏定理(或是很多其他機率有關的定理)都會得出一些和大家的想法不一樣的結果。真實情況下很多人都會說他們覺得不論是否轉換,得獎機率都是1/2,甚至大家有堅持本來的選擇的傾向。但這些定理只告訴我們「轉換選擇可使你中獎的機率加倍」,而不是「人們都應該轉換選擇」。

人們傾向堅持本來的選擇,有很多種不同的解釋,其中一個解釋是「主動責任」問題。意思是說如果我選擇了放棄本來的選擇,但後來發現了我本來的選檡來是對的,心靈上的傷害會很大。不知大家有沒有試過,在考試中答錯了題目可能沒有什麼特別難受,但如果本來答對了,後來又不知為什麼改了答案,後來發現本來答的才是正確的答案,這個時候會覺得很不好受。所以參加者們即使是選擇了1/3 的中獎機會而不是2/3 ,也不見得他們就很不理性。這些計算是讓我們更清楚勝出的機率,而不是讓我們批評其他人的行為是否理性的。

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  • zender

    答案是幾乎不變
    當大家考慮參賽者的最佳策略時
    怎麼都沒人考慮主持人的最佳策略
    用賽局理論就會知道不可能提升到 2/3 這麼誇張。

  • zender

    答案是幾乎不變
    當大家考慮參賽者的最佳策略時
    怎麼都沒人考慮主持人的最佳策略
    用賽局理論就會知道不可能提升到 2/3 這麼誇張。

  • nervterry

    為什麼 P(B)=1/2 而不是 1/3?

    P(B) = 主持人把2號門打開
    P(B) = P(獎金在A) * P(玩家選A) * P(主持人選B)
    + P(獎金在A) * P(玩家選C) * P(主持人選B)
    + P(獎金在C) * P(玩家選A) * P(主持人選B)
    + P(獎金在C) * P(玩家選C) * P(主持人選B)

    P(B) = 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    + 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    P(B) 會受玩家的影響吧? 如果沒有玩家 P(B) 才 = 1/2 吧?

  • nervterry

    為什麼 P(B)=1/2 而不是 1/3?

    P(B) = 主持人把2號門打開
    P(B) = P(獎金在A) * P(玩家選A) * P(主持人選B)
    + P(獎金在A) * P(玩家選C) * P(主持人選B)
    + P(獎金在C) * P(玩家選A) * P(主持人選B)
    + P(獎金在C) * P(玩家選C) * P(主持人選B)

    P(B) = 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    + 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    P(B) 會受玩家的影響吧? 如果沒有玩家 P(B) 才 = 1/2 吧?

  • nervterry

    為什麼 P(B)=1/2 而不是 1/3?

    P(B) = 主持人把2號門打開
    P(B) = P(獎金在1) * P(玩家選3) * P(主持人選2)
    + P(獎金在1) * P(玩家選3) * P(主持人選2)
    + P(獎金在3) * P(玩家選1) * P(主持人選2)
    + P(獎金在3) * P(玩家選4) * P(主持人選2)

    P(B) = 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    + 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    P(B) 會受玩家的影響吧? 如果沒有玩家 P(B) 才 = 1/2 吧?

    P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開) = 1/3
    如果沒玩家參與 當然是 1/3 …. 主持開那一道門..跟獎金出現率沒有關係…

  • nervterry

    為什麼 P(B)=1/2 而不是 1/3?

    P(B) = 主持人把2號門打開
    P(B) = P(獎金在1) * P(玩家選3) * P(主持人選2)
    + P(獎金在1) * P(玩家選3) * P(主持人選2)
    + P(獎金在3) * P(玩家選1) * P(主持人選2)
    + P(獎金在3) * P(玩家選4) * P(主持人選2)

    P(B) = 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    + 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    P(B) 會受玩家的影響吧? 如果沒有玩家 P(B) 才 = 1/2 吧?

    P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開) = 1/3
    如果沒玩家參與 當然是 1/3 …. 主持開那一道門..跟獎金出現率沒有關係…

  • nervterry

    為什麼 P(B)=1/2 而不是 1/3?

    P(B) = 主持人把2號門打開
    P(B) = P(獎金在1) * P(玩家選1) * P(主持人選2)
    + P(獎金在1) * P(玩家選3) * P(主持人選2)
    + P(獎金在3) * P(玩家選1) * P(主持人選2)
    + P(獎金在3) * P(玩家選3) * P(主持人選2)

    P(B) = 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    + 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    P(B) 會受玩家的影響吧? 如果沒有玩家 P(B) 才 = 1/2 吧?

    P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開) = 1/3
    如果沒玩家參與 當然是 1/3 …. 主持開那一道門..跟獎金出現率沒有關係…

  • nervterry

    為什麼 P(B)=1/2 而不是 1/3?

    P(B) = 主持人把2號門打開
    P(B) = P(獎金在1) * P(玩家選1) * P(主持人選2)
    + P(獎金在1) * P(玩家選3) * P(主持人選2)
    + P(獎金在3) * P(玩家選1) * P(主持人選2)
    + P(獎金在3) * P(玩家選3) * P(主持人選2)

    P(B) = 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    + 1/3 * 1/3 * 1/2
    + 1/3 * 1/3 * 1
    P(B) 會受玩家的影響吧? 如果沒有玩家 P(B) 才 = 1/2 吧?

    P(A|B)=P(1號門有獎金|主持人把2號門打開) = 1/3
    如果沒玩家參與 當然是 1/3 …. 主持開那一道門..跟獎金出現率沒有關係…

  • Mr. Tomorrow

    nervterry: P(B)的計算方法,你試看貝氏定理下篇那個表,會清楚一點。簡單來說,P(B) 的計算中玩家已選定了一號門了,所以不用考慮(玩家選3)。

  • Mr. Tomorrow

    Zender 說得好!! 只是留意在這個遊戲中,主持人是沒有選擇權的 (和真人的monty hall在節目中不同),因為主持人只是一個機械人,所以便不存在能用賽局理論的地方。

    可是如果我們把規則改一改,說主持人可以選擇開,或是不開門,而主持人的目的又是和參賽者相反(就是要令參賽者得不到獎金)的話,那麼換不換門對中獎機會的影響就是如zender 所說的沒有影響

    至於為什麼是沒有影響呢,便真的要用一點賽局理論來說了。(我好像沒有在這兒寫過賽局理論,其實也是可以考慮的)

  • nervterry

    如 P(B) = P(主持人把2號門打開|玩家選1) 而不是 P(主持人把2號門打開)
    那 P(B|A) 該是 P( (主持人把2號門打開|玩家選1) | 1號門有獎金) = 1/3

    還是我那裡想錯?

  • nervterry

    如 P(B) = P(主持人把2號門打開|玩家選1) 而不是 P(主持人把2號門打開)
    那 P(B|A) 該是 P( (主持人把2號門打開|玩家選1) | 1號門有獎金) = 1/3

    還是我那裡想錯?

  • Mr. Tomorrow

    nervterry: 不是你想錯,而是我寫得不好,整個計算都是基於玩家已選了一號門之後發生的事情。因為整個問題中玩家不是決擇選哪一個門(他只是隨機選),問題是在選了之後,主持人開另一扇門,他要決擇「換」和「不換」,所以我沒有把”|玩家選1″ 寫出來。

    (也是因為這個原因,所以你不用考慮他選了3 之後的事情,因為你可以把那些門重新定名,把1 改成3 ,3 改成1,也會得到同樣結果)

    P( (主持人把2號門打開|玩家選1) | 1號門有獎金) = 1/2 才對 ,用文字寫出來就是,當玩家選1時,而1 有獎金的話,那麼主持人就會在2 和3 隨機選一扇門,所以剛好選到2 的機會是1/2。正如文中所說P(B|A)=1/2

  • nervterry

    其實問題最最想問 怎選會有比較大的勝出機會吧

    我個人覺得 換不換門 得獎概率 都是一樣
    與其說玩家選擇換與不換, 不如說 當2門開了 玩家該選1還是3, 當中有一個會中獎
    玩家第一次選門本來就是多此一舉
    玩家所選只有減少主持開門的選擇, 最後得出的組合 只有 1門有獎 跟 3門有獎
    當玩家重選的時侯 概率只剩 1/2
    再說 主持一定是開沒獎的一個, 所以 由始至終 玩家只有2道門可以選

    如果換一下說法, 3道門 主持先開一道一定沒有獎的, 那玩家開3號門 也會有 66%勝出率 ??

  • nervterry

    其實問題最最想問 怎選會有比較大的勝出機會吧

    我個人覺得 換不換門 得獎概率 都是一樣
    與其說玩家選擇換與不換, 不如說 當2門開了 玩家該選1還是3, 當中有一個會中獎
    玩家第一次選門本來就是多此一舉
    玩家所選只有減少主持開門的選擇, 最後得出的組合 只有 1門有獎 跟 3門有獎
    當玩家重選的時侯 概率只剩 1/2
    再說 主持一定是開沒獎的一個, 所以 由始至終 玩家只有2道門可以選

    如果換一下說法, 3道門 主持先開一道一定沒有獎的, 那玩家開3號門 也會有 66%勝出率 ??

  • Mr. Tomorrow

    nervterry: 短的答案是,「我這篇文章就正正是想說這種想法是不對的」

    當然文章中除了講述為什麼換門會比較好之外,也有說很多人都認為換不換都一樣,(甚至很多人都傾向不換),這是沒有問題的,不過當你玩很多局(100局),你會發現你每次都換門的話,會比你每次都不換勝多約一倍的次數。 你可以一直都認為不換更好,但實情會告訴你你是贏得比較少的次數。你可以click那個link 試玩這個遊戲,試玩一次比一切的解釋都來得有說服力。(當然回應中也有不同的理解法,而我則最喜歡先試玩,後理解這個方法)

    但這個「如果換一下說法, 3道門 主持先開一道一定沒有獎的, 那玩家開3號門 也會有 66%勝出率 ??」便一定要回應一下,如果主持人先開,那麼玩家無論開哪一扇門勝率都是1/2 ,因為這和在兩扇門中選一扇沒有分別。

  • nervterry

    我知道我自己的思考盲點在那裡了
    因為玩家第2次選擇時 獎金不會再隋機更改, 所以再選擇時已經不是fair game.
    那遊戲應該說成, 玩家 可以選一道門, 而莊家 可以選兩道門, 莊家打開一道沒中獎的門
    然後玩家可選擇 用1門與莊家對換2,3門.
    所以不換門 玩家只有1門 中獎的機率是1/3,
    換牌,玩家變相多了一次中獎機會, 一個是開的2門, 一個是未開的3門
    即是換的話, 玩家等於選擇了兩道門 中獎的機率是2/3

  • nervterry

    我知道我自己的思考盲點在那裡了
    因為玩家第2次選擇時 獎金不會再隋機更改, 所以再選擇時已經不是fair game.
    那遊戲應該說成, 玩家 可以選一道門, 而莊家 可以選兩道門, 莊家打開一道沒中獎的門
    然後玩家可選擇 用1門與莊家對換2,3門.
    所以不換門 玩家只有1門 中獎的機率是1/3,
    換牌,玩家變相多了一次中獎機會, 一個是開的2門, 一個是未開的3門
    即是換的話, 玩家等於選擇了兩道門 中獎的機率是2/3

  • Sylvia Chen
  • Sylvia Chen
  • Yujenchn

    依照題目的原意,也就是說,一開始,主持人沒有講清楚規則,他會打開另一個不是獎金的門,則選擇換不換的機率都是1/2,解釋如下
    從原著的意思來看,採取換的獲勝機率是2/3,不換的獲勝機率是1/3,這就好像有兩台拉把機,一台中獎機率是1/3,一台中獎機率是2/3,你選擇那一台來玩?當然是選擇2/3的來玩,但是如果你一開始不知道這個訊息,你只能以1/2機率來選擇那一台來玩,所以獲勝機率是1/2*1/3+1/2*2/3=1/2
    所以,如果主持人一開始有說他會在剩下的門中,打開一個沒中的門,那麼當然是選擇更換這個策略,如果主持人沒說,那麼就要把主持人會不會採取這樣玩法的機率1/2也考量進去,前提是主持人會採用這種玩法的機率也是1/2。
    所以這根直覺的經驗是相符的,當主持人打開不中的門後,已經發生的事就沒有機率可言,此時換或不換,中獎機率就是1/2
    如果把主持人會開不中的門這個訊息加入考量,則必須加上主持人會打開門的這個機率,而不是認定他一定會打開,除非主持人一開始就講了,他會打開一個不中的門,這樣就好像是主持人跟你講那一台的拉把機的中獎機率是2/3,如果你還選擇1/3的拉把機,表示你不理性,或是數學不好^_^

  • 路人甲

    其實本題遊戲主持人的開門前提有兩個
    一、不開有獎的門
    二、不開玩家選的門
    第二點應該要說明進去的
    如果只有前提一。沒有前提二
    也就是說遊戲主持人祇是不開有獎的門 但也會隨機打開玩家的門的話
    遊戲主持人開門的舉動
    對於剩下的兩個門的選擇 並沒有提供有差異價值的訊息 機率還是各半
    本題三分之二的結論是要前提一、二都在才成立