算術平均數(上)

Apr 17th, 2008 by Mr. Tomorrow

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統計學工具，可以協助我們把多餘的資訊刪減，令人們可以更清楚方便地看到他們需要的資訊。以大家一定懂得的「算術平均數」(Arithmetic Mean)為例，如果你編寫了一個改圖程式，為了測試它的速度。你在不同的環境，不同的時間，重複運行某功能1000次，然後把所需時間記下來。這個時候，如果有人問及你一些有關你的程式的運行速度的資料，你可以把你的測試告訴他。在報告測試結果的時候，你可以選擇說︰

1. 第1次︰38秒，第2次︰36秒，第3次︰37秒，第4次︰38秒….(把所有記下來的時間讀出來)………..
或
2. 平均運行時間是37秒。

這兩個答案沒有誰對誰錯，要回答哪一個就取決於對方想要什麼？想要仔細的資訊？還是想要一個簡潔，但又具代表性的數字？但可以肯定的是，2.的資訊比1. 的要少。因為如果我得到1. 中的資訊，我可以把2.所提及的平均數計出來，但我只知道2.的話，卻不可以把1.的資料計出來。換句話說，為了換取簡潔，我們使用「平均數」這個工具，把一些我們認為是多餘的資訊刪去了。

讀者可能會說，這只是小朋友都懂的算術題，有必要說得這樣複雜嗎？如果這些說話只是在一般朋友間的對話中，可能問題不大，反正大家在很多時候都只是想看個大概，細節上有什麼誤解也無傷大雅。但當這些平均數被廣泛用在廣告、公共資訊(如天氣預告)和資訊紀綠(如成績單)中，我們就得費點工夫去了解，這些平均數是在說些什麼了，或者他們刪除了什麼了。

回到上述的故事，誠實的你把「平均運行時間是37秒。」和其他資料如測試環境，你測試時所用的圖像之類寫在你的網頁上。不久，你突然發現了另一個網站，某人編寫了另一個同類的程式，在相同的環境下進行測試，還寫著「平均運行時間是26秒。」你的臉色一黑，立刻下載他的程式和圖片來試試看，怎料這個程式慢得很，等了兩分鐘…………你不禁在想，「他的統計數字一定是編造出來的!他是騙子!」

於是你用盡辦法把那人找出來，追問他為什麼要欺騙大眾。那人不慌不忙的說︰「那是真的啊。我運行了它三次，用了20秒，第二次42秒，第三次16秒。(20+42+16)/3=26 ，我沒有算錯吧。」

你很氣憤地說︰「你只試了三次，那個統計數字怎可以作準？!」

這就是為什麼很多統計數字都要寫明樣本量(sample size)的原因。因為如果我們只是試很少次，便計出一個統計數字，這個數字可能只是偶然得出來的，不能作準。從另一個角度看，「平均數」是把測試結果中的一些資訊用一個數字表達出來，樣本量較多，得出來的平均數也更具代表性。

除了樣本量之外，測試結果的方差(Variance)也很重要，比較以下兩個情況
1. 試了100次，結果全都是35秒，36秒或37杪，平均36秒
2. 試了100次，結果從10秒到60秒都有，平均36秒
不管是1. 還是2.，平均數都是36秒。但兩個情況所表達的事情卻不大相同，從1. 的資料中，我們有理由相信如果我們真的把那個程序運行一次，用36 秒便可以完成，但2. 則告訴我們，平均來說是36秒，但真正運行一次的話，得到和36秒差很遠的時間的機會仍是頗大的。

很多有關電腦的測試都附有類似測試環境之類的資料，好像是「測試平台︰Windows XP，Mac OS X，測試次數2000 次」之類。但在2000 次的測試中，到底有多少次是用Windows XP ，有多少次是用Mac OS X 呢？還有如果某程式在Windows XP 中的測試平均需要30 秒完成，但在Mac OS X 中則平均需要10秒，即使2000次的測試中，Windows XP 真的佔了一半，如果讀者看到的只是「平均20 秒」這一個數字，對Windows XP 的用家來說這個數字仍是有一定的誤導性的。

由於每一個統計學工具都不是完美的，很多時候為求簡潔，我們總要犧牲一些資訊。所以我們要做的不是動不動就說人家用的工具不夠好，資料不夠齊全，而是要弄清各種工具的含意，知道它們的限制，並正確地閱讀它們。

修改︰加上專有名詞的英文名。

過去的今天：

10 Responses to “算術平均數(上)”

on 17 Apr 2008 at 11:58 am1» MMDays - admin - Welcome Mr. Tomorrow!

[...] 網路, 產業, 資訊, 觀察, 生活, 電影, 技術, 新知, 科技, 媒體, 趨勢, Web 2.0 «« 算術平均數(上) [...]
on 17 Apr 2008 at 12:27 pm2Zing

這篇文章真不錯，感謝 Mr. Tomorrow 的撰文。

期待您的算術平均數下篇。
on 17 Apr 2008 at 12:53 pm3Hippo

淺顯易懂的好文！
on 17 Apr 2008 at 2:25 pm4chainchung

讓我對算術平均數又多了更深一層的了解, 且讀起來完全沒負擔, 很希望讀很多文章都是這樣 Friendly 啊.
on 17 Apr 2008 at 5:52 pm5xof

淺顯易懂+1
期待看到下篇
on 17 Apr 2008 at 9:55 pm6cycer

所以統計學工具還有一個很重要的母數叫「變異數」
只有看平均數是沒有多大的義意的
on 18 Apr 2008 at 1:59 am7Mr. Tomorrow

謝謝大家。

變異數是指variance﹝(文中的”方差”)嗎？(不好恴思，我很有可能會弄錯一些中文譯名，有錯的話煩請指正)

如果大家喜歡的話，環繞variance 的特性和用途我也可以寫一篇呢。
on 18 Apr 2008 at 6:30 am8bruse

這令在補習班工作的我想起

幾何平均數樣本點研究 $#%$#%#$/等等…..(台灣高中第4冊第三章)

呵呵

這篇文章寫的很不錯唷
on 18 Apr 2008 at 5:42 pm9Ziv

非常高興看到有人用如此深入淺出的方式介紹統計學，小弟也是學數學出身的，但已經荒廢多時(平日是以寫程式維生)，看了這篇文章，好像有重溫了統計學第一章，感謝Mr. Tomorrow.

不過有個小建議，就是不妨將專有名詞的原文和海峽兩岸的譯名都列出，可以更加方便所有華人觀看，如果不知道譯名，至少列出原文，方便讀者查找進一步資料。

再次感謝看到好文。
on 19 Apr 2008 at 3:31 pm10» MMDays - Mr. Tomorrow - 算術平均數(下)

[...] 在算術平均數(上)文中，我一開始便說算術平均數(Arithmetic mean)是刪掉資訊來換取簡潔的表達，但文中就只簡單提及在用平均數時我們失去了方差(variance)的資訊，這次就讓大家看看平均數在不同的