Posted By Mr. Thursday
拓樸 (topology) 在研究一種抽象轉換的關係，不管是函數、實數集合、或是普通離散物品的集合，拓樸的轉換都可以應用在上面。對於不是以數學為專業的讀者來說，要如何了解拓樸呢？就可以試著從上圖一目了然。上面這張圖有三列，每一列有三件物品，雖然這三件物品看起來外觀形狀都不相同，但是在拓樸學家的眼裡，這三件物品是等價的。等價英文用equivalent來表示，就是說三件物品，在壓縮扭曲拉開等各種變化之後，就可以變成另外一件東西的形狀，但是轉換的過程中，沒有「打斷」物品上面任何一個地方，所以是等價的轉換。所以第二列來看，在拓樸學家眼中，一個甜甜圈、有把手的茶杯、和捲筒，是等價的！但是拓樸的轉換，和語意又有甚麼樣子的關係呢？
我們在討論拓樸和語意的關係之前，已經了解拓樸，所以現在來解釋一下語意(semantics)。首先我們可以看看下面這張圖：
所謂語意，可以說是用語言來表達意義，因此在語意網路裡面，文字和意思，會有一些對應的關係。然而意思除了人頭腦自己想出來的意義，有些意義是有所指謂的，也就是說，有些意義是會對應的真實世界裡面的物體、事情、或是事情之間的關係。所以在上面這張圖裡面，我用實心的藍色圓，代表真實世界裡面的物體、事情、或是事情之間的關係。我用空心的藍色圓，代表人腦裡面，對這是事物產生的對應的「意義」。用實心的正方形，代表我們人類使用的語言，對這些「意義」所做的對應。這張圖就表達了我們人類要描述世間萬物的時候，先在大腦裡面產生「意義」來對應世間萬物，在用「語言」輔助我們讓意義更清晰、更細膩地被表示，或是幫助人與人之間可以用「語言」來溝通彼此大腦裡面所想到的「意義」。
世間萬物、意義、和語言之間的對應關係
上面那一張圖，除了從「世間萬物」、到「意義」、到「語言」有三層結構外，中間有三種不同顏色的線條，分別代表著不同層之間，三種不同的對應關係。綠色我用來代表「多對一」的關係，紅色我用來代表「一對多」的關係，咖啡色我用來代表「一對一」的關係。這些關係是甚麼意思呢？舉例來說，先看綠色「多對一」的關係：
這就是說「多個意思」，在語言裡面只用「一個字」來表達，也就是比較模糊，或是可能產生一語雙關的地方。一些「一字多義」的單字，像是 content，當名詞的時候表示「內容」的意思，當形容詞的時候，有「知足、滿足」的意思。紅色線條，則是代表「一對多」的關係，也就是說一個意思，可能用兩個以上的單字來描寫，讓一個概念更細膩的被描述，或是說在不同的場合，對同一個概念有不同的字，或是不同的人身上，同樣的概念用不同的單字。譬如說愛斯基摩人，因為長年接觸冰和雪，因此冰和雪不再是一個簡單的概念，而是可以詳細劃分的概念，譬如說薄冰、厚冰、和刨冰。咖啡色關係則是「一對一」的關係，也就是單字和意思，是一樣多，一樣細膩，每個概念，都有對應的單字來表示來形容。
這是單字層和意義層之間的關係。意義層和世間萬物層的對應關係，也和剛才提到的一樣，綠色的多對一，紅色的一對多，以及咖啡色的一對一關係。意義和單字的多對一代表頭腦裡面有把意思做區分，但是言語上面比較粗略。意義和單字的一對多，代表頭腦裡面某一個特定的意思，在言語上會隨著交談對象或是應用場合，有更細膩的文字區別，或者因為鑽研多年，有更詳細的區分。一對一則可以說整個系統很完備(complete)了。
一對一、多對一、一對多對應關係
愛斯基摩人的例子，則是同樣適用於意義與世間萬物對應的關係，因為同樣都是冰，在大腦裡面會詳細區分是哪一種冰，一種物體對應多種意思 (物體到意義的一對多)，此時如果概念在隨著交談場合，用更細膩的文字做區分，就會變成是一種意義對應多個單字了(意義到單字的一對多)，譬如說「我」的概念，可能有「我」、「吾」、「在下」、以及「朕」。相反地，多對一 (多個物體用一種意思代表)，就是模模糊糊，多個意思用一個單字，也是模模糊湖，或是同意字的關係了，譬如說「行」、「走」、「跑」，都用「移動」來表示，就是多種意思，只用一個單字來表示了。
語意和拓樸的關係
所以拓樸在不打斷物品的情況下扭曲後會等價，和語意的各種對應關係，有甚麼樣子的關聯呢？首先我們看一篇文章，一篇文章有一篇文章要表達的意思，然而同樣一篇文章，我們可以用中文寫，也可以用英文寫，但是對應的意思是一樣的。又或者同樣都是中文，我們可以改寫一篇文章，讓文章長度更長，或是言簡意賅，讓文章長度變短，然而意義上是等價的。這就是我覺得拓樸和語意之間有關聯的部分了。意義可以說是「概念」和「概念」之間的關聯性 (relation)，譬如說生物包括動物和植物的這種分類關係，或是行、走、跑，都是移動；移動和轉動，都是動作等抽象關係。然而一旦關係確定後，語言上面可以有不同的變化，可以有同義詞多對一，可以有細膩描述的一對多，也可以用類似數學符號一對一嚴謹的對應，用完備的系統來描述意義。這就和拓樸裡面的物品，只要物品表面上面點和點之間的關係 (relation)不變，也就是沒有「打斷」，物品扭曲擴張壓縮，形狀怎樣子不一樣外觀怎樣子不同，拓樸結構看起來，都是一樣的。
最後，拓樸裡面有一種結構叫做流形，英文叫做 manifolds。這是一種拓樸結構，所以全域 (globally)來看，他和拓樸結構一樣，扭曲擴張壓縮，都可以維持等價。然而流形 (manifolds) 特別的地方在於，區域 (locally) 來看，他可以轉換成歐氏空間(Euclidean Space)。不管歐氏空間是甚麼東西，只要能夠轉換成歐氏空間，就代表現在各種機器演算法都可被處理，因為距離的衡量，就是直接相減就可以得到，不過在這個時候扭曲壓縮擴張，距離就會跟著變，關係就會亂掉了。但是流形 (manifolds) 可以全域上扭曲壓縮擴張，保持原來的關係等價，區域上又可以轉換成歐氏空間用相減來計算距離，因此我才會猜測 (postulate)，流形 (manifolds) 這個結構，是適合處理語意相關的問題的。
不過光是猜測，可能不大足夠。如果是數學家，要寫出證明才算數；如果是電腦科學家，要寫出程式可以跑出結果才算數；如果是企業家，要變成成品，有使用者開始使用才算數。無論如何，總是有個起點，接下來就是繼續努力往前跑了！共勉之。
相關資料
- (Wikipedia) Semantics
- (Princeton University) WordNet 可以查同意字反義字相似字的字典免費軟體
- (Wikipedia) Topology
- (Wikipedia) Manifold
- (維基百科) 歐氏空間
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星期四是學數學的吧？:)
這篇文章讓我想起Saussure的binary order…
(真是一場夢魘orz)
「愛斯基摩人的語言裡，冰與雪有許多單字」，按照Steven Pinker所著的《語言本能》一書（中文版商周出版，洪蘭譯）的說法，是一個廣為人知的「謠言」。該書裡說，愛斯基摩人的語言裡，冰雪的單字和英文的數量差不多。所以，這可能不是個好例子。
多謝指正….本人不是語言學家
還請語言學的專家們多多指導
稍微google到一個blog…如果該作者沒有解釋錯誤…應該也是講這一件事
另外本人也不是數學家…(算是學資訊科學, 然後剛接觸神經生物方面)
所以如果有不正確的地方也請數學的專家多多給予指導
非常感激!
http://blog.chinatimes.com/passing/archive/2006/10/28/1436.html
我不是很會數學
不然的話看到這篇文章我會很想學拓墣的
有點不知所云…
[...] 在《探討拓樸和語意之間的關係》這篇文
我大致同意拓樸和語義有關這件事，雖然和你的理由不太一樣。不過在 manifold 那方面， homeomorphism 是不保距的，所以討論 map 到歐氏空間後的距離可能意義不大。更重要的是，幾何中「距離」的概念在語義學中可以發揮什麼作用？我以為這一件事應該才是這個 proposal 需要釐清的論點。
如果你要考慮幾何物件的其他 local 性質，或許也可以從微分幾何裡找點靈感。
我想到manifolds主要是因為距離函數的關係
目前各種電腦的演算法或資料結構
通常都需要資料之間的距離,才能判斷是否相似或是進行排序等動作
然而文字之間的距離,和意思之間的距離,比較像是manifolds的關係
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也就是說,一件事情的意思,好像整個地球的表面
但是不同的文章和文字,就好像地球在東西南北各個方向不同的投影地圖 (projection)
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這些文章和文字,不管是用頻率(TF-IDF),文字筆劃,或是直接比對符合的文字個數
都沒辦法比對出,他們是形容同一件事,同一個意思,也就是意義上距離很近
這些文章使用的文字語言可能不同,因此在文字語言的空間上距離很
但是在意義的空間裡面,這些文章應該是距離很接近的點
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歐式空間的距離,和目前各種演算法使用的距離函數比較接近
而manifolds有local hemeomorphic to 歐式空間的性質
global又可以讓各種投影合而為一的性質
因此我會覺得在語意問題的處理上
manifolds可以當成一種資料結構來使用
剩下的問題…大概就是如何讓電腦自己從閱讀文章的過程裡面
學習出manifolds
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因為數學家定義了manifolds….卻沒有提到怎樣從data建立一個manifolds…?
另外因為manifolds本身又不大容易理解…我也非數學本科出身
因此是否有從data學出manifolds的方法我還沒有完全清楚…
有錯誤還請多指正…謝謝!
: 歐式空間的距離,和目前各種演算法使用的距離函數比較接近
: 而manifolds有local hemeomorphic to 歐式空間的性質
我再解釋一次：local homeomorphism 並不保距也不唯一，同一個 manifold 上的同一個點的同一個 neighborhood 有無限多個 homeomorphism 映到 R^n。它們 map 過去之後的歐氏距離是沒有意義的，因為你選不同的 homeomorphism 就會有不同的結果。
謝謝補充!有時間的時候我會再仔細研究一下homeomorphism的定義
thanks!