Posted By Mr. Thursday
集合(Set)的概念可以在日常生活中常常見到。小時後我們可能都玩過「大風吹」的遊戲，大風吹，吹甚麼？吹有戴眼鏡的人，吹穿皮鞋的人，吹長頭髮的人。每講到一種特徵，符合這個特徵的人就要趕快起來換位置，但是因為原來講特徵的人也會搶位置，所以速度最慢的人，就變成下一個要講特徵的人了。因此每一個特徵，就形成一個集合。譬如說一個班級，考試成績大於70分的人，形成一群集合，考試成績小於90分的人，又形成另一群集合，我們如果要找成績大於70分又小於90分的人呢？只要把剛才兩個集合取交集(intersection)就可以了。除此之外，集合還有其他基本的運算，像是聯集(union)，補集(complement)，和差集(difference)。經由這些基本運算，可以幫我們處理不少事情，也讓數學家、統計學家、或是資訊科學家，可以在集合上面建立各種理論或應用。接下來就讓我們來看看，集合成為哪些理論的基礎或是延伸？下圖把一些集合的運算做視覺化(visualization)：
首先來介紹一下羅素 (Bertrand Russell)。羅素是一位現代的哲學家，但是他的著作除了在哲學上面，像是《西方的智慧》把西洋哲學史用比較白話卻又豐富的方式講解出來，另外還有政治上的著作，像是《權力論》、《中國的問題》，不過因為這是20世紀初期的著作，因此現在中國的問題已經和書本裡面的問題不大一樣了。更驚訝的是，他還有數學上面的著作，也就是《數學原理》(Principia Mathematica)，厚厚的一本，分成3卷，所以是厚厚三本，我沒有讀過，不過他主要完成的一件事情，就是證明1 + 1 = 2。1 + 1 = 2？這不是第一次學數學的時候就會學到的東西嗎？然而1 + 1 = 2要如何證明是真的呢？我們生活中用的好好的，不一定就表示整個算數系統是正確的！
因此羅素使用了集合和邏輯這兩大工具，用一大本書，證明了1 + 1 = 2這件事情。在這之前，我們對正整數系統是否正確，可能要用皮亞諾(peano不是piano)的正整數五大公設(axiom)，如果要問正整數系統對不對，我們就問題皮亞諾五大公設對不對。然而經過羅素的證明之後，我們如果要知道1+1=2對不對，只需要問「集合」和「邏輯」系統對不對，而不需要再證明其他東西對不對了。
在這邊羅素也建構出一個羅素謬論(Russell’s Paradox)，簡單地說，就是要找一個集合(大風吹)，集合裡面的元素，必須是不包含自己的一個集合。然而假設我們找出這個集合，就會矛盾，因為我們會問這個集合有沒有包括他自己？如果沒有包括，依照定義，必須把他自己列入，才算是我們要找的集合，但是把他自己列入，又違反定義，因為我們要找一個不包括自己的集合。如果要看數學符號來描述這件事情，可以參考維基百科的說明：
羅素悖論：設性質P(x)表示「
」，現假設由性質P確定了一個類A——也就是說「
」。那麼現在的問題是：
是否成立？首先，若
；其次，若
除了羅素對於集合在數學上面的貢獻，還有哪些理論是透過集合來建立呢？接下來讓我們看看群論(Group Theory)。群論就是使用集合作為基本的元素，在上面用一些公設(axiom)來限制，就變成一個有意義的運算單位，除了群(group)，還因為運算元從加法(additive)，推廣到乘法(multiplicative)，變成環(ring)和體(field)，最後成為向量空間(vector space)的基礎。因此不管是有理數、正整數，都可以用群論這個更基礎的理論來定義出來。
在統計方面，則是有Dempster-Shafer Theory。他們結合「機率」和「集合」兩個基礎的理論，發
展出信任的理論(belief theory)，也就是在一個集合的冪集合(powerset,包含所有集合元素的列舉子集合的集合)上面，進行機率的運算，讓一個機率事件除了「真」、「假」以外，還可以有「未知」的機率值，現在在網路服務的應用上，需要的信任學習(Trust Learning)，也可以運用Dempster-Shafer Theory來做延伸。下面列出Dempster-Shafer Theory最重要的公式：
最後最重要的是，流形(manifolds)。流形可以分成拓樸流形(topological manifolds)和代數流形(algebraic manifolds)。因為流形有全域的性質(global property)，但是區域上會和歐式空間相同(Locally Hemeophrism to Euclidean Space)，因此我個人覺得和語意(semantic)的處理滿有關係的。流形(manifolds)又是建立在拓樸(topology)上，拓樸又是建立在集合上，因此集合在這邊又顯現一次重要性了！下面是拓樸裡面常會看到的Mobius Strip
希望日後可以繼續和各位慢慢介紹，從集合，到拓樸(topology)，到流形(manifolds)。即使各位不一定都是數學專家，我也會嚐試用白話文來解釋，讓各位即使沒辦法用數學符號來使用拓樸和流形，至少都能夠有基本的概念，或許結合各位讀者自己本身的專業，又可以有新的啟發！
相關資料
- (Wikipedia) Set
- (Wikipedia) Bertrand Russell
- (Wikipedia) Russell’s Paradox
- (Wikipedia) Peano Axioms
- (Wikipedia) Principia Mathematica
- (Wikipedia) Group Theory, Ring, Field
- (Wikipedia) Dempster-Shafer Theory
- (Wikipedia) Topology
- (Wikipedia) Mobius Stsrip
- (Wikipedia) Manifolds
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